新高考藝術生數(shù)學基礎復習講義 考點43 橢圓（教師版含解析）

1、28/28考點43 橢圓知識理解一橢圓的定義平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)2a(2a|F1F2|)的動點P的軌跡叫做橢圓，這兩個定點F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點. 二橢圓的標準方程(1)中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓的標準方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)(2)中心在坐標原點，焦點在y軸上的橢圓的標準方程為eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)焦點在x軸上標準方程中x2項的分母較大；焦點在y軸上標準方程中y2項的分母較大.橢圓的幾何性質標準方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1 (ab0)eq f(y2,a2)eq f(x

2、2,b2)1(ab0)圖形性質范圍axabybbxbaya對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點坐標A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距F1F22c離心率eeq f(c,a)(0,1)a，b，c的關系a2b2c2直線與橢圓的位置關系判斷直線l與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線l的方程AxByC0(A，B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)0，消去y(或x)得到一個關于變量x(或y)的一元方程例：由eq blcrc (avs4alco1(AxByC

3、0，,Fx，y0)消去y，得ax2bxc0.當a0時，設一元二次方程ax2bxc0的判別式為，則：0直線與圓錐曲線C相交；0直線與圓錐曲線C相切；0直線與圓錐曲線C相離五弦長的求解方法(1)當弦的兩端點坐標易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解(2)當直線的斜率存在時，斜率為k的直線l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個不同的點，則弦長公式的常見形式有如下幾種：|AB|eq r(1k2)|x1x2|=eq r(1k2x1x224x1x2)；|AB| eq r(1f(1,k2)|y1y2|(k0)= eq r(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,k2)y1y224y1y2

4、).考向分析考向一 橢圓的定義及應用【例1-1】(2021全國課時練習)下列命題是真命題的是_.(將所有真命題的序號都填上)已知定點，則滿足|PF1|PF2|的點P的軌跡為橢圓；已知定點F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，則滿足|PF1|PF2|4的點P的軌跡為線段；到定點的距離相等的點的軌跡為橢圓.【答案】【解析】中，因為，可得，因為，所以點的軌跡不存在；中，因為，所以點P的軌跡是線段；中，由定點的距離相等的點的軌跡是線段的垂直平分線，即.故答案為：【例1-2】(2021上海市奉賢中學)若過橢圓上焦點的直線交橢圓于點A，B，為橢圓下焦點，則三角形的周長為_.【答案】16【解析】在橢圓中， 由橢圓

5、的定義得所以即故答案為：16【例1-3】(2021安徽六安市六安一中高三月考(理)已如是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，則的面積等于( )A24B26CD【答案】A【解析】由橢圓方程可得焦點在軸上，由橢圓定義可得，又，則可解得，滿足，則，.故選：A.【舉一反三】1(2021廣西桂林市)設是橢圓上的動點，則到該橢圓的兩焦點距離之和為_.【答案】8【解析】由，得，由橢圓的定義可得到該橢圓的兩個焦點的距離之和為.故答案為：2(2021浙江高三其他模擬)已知橢圓上一點到其左焦點的距離為1，則的中點到坐標原點的距離為( )A3BC1D【答案】B【解析】易知橢圓的標準方程為設橢圓的長軸長為，則，設橢圓的右

6、焦點為，連接，則由橢圓的定義得在中，易知為的中位線，所以，故選：B3(2020黑龍江哈爾濱市哈九中)已知是橢圓上的任意一點，若，則_.【答案】4【解析】由橢圓的方程知：，由橢圓的定義知：，所以故答案為：4(2021陜西安康市)已知點，P為橢圓上的動點，B是圓上的動點，則的最大值為_.【答案】2【解析】由橢圓，可得，設右焦點為，因為P為橢圓上的動點，B是圓上的動點，所以，當且僅當共線時取等號，故答案為：2.5(2021全國課時練習)已知是橢圓上的一點，、是橢圓的兩個焦點，且，則的面積是_.【答案】【解析】在橢圓中，由橢圓的定義可得，在中，由余弦定理可得，解得，因此，.故答案為：.考向二 橢圓的標

7、準方程【例2-1】(2021全國單元測試)已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是(0，3)和(0，3)，且橢圓經過點(0，4)，則該橢圓的標準方程是( )ABCD【答案】B【解析】橢圓的焦點在y軸上，可設它的標準方程為a4，又c3，b2a2c21697，故所求的橢圓的標準方程為故選：B【例2-2】(2021黑龍江大慶市)已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍為( )ABCD【答案】D【解析】依題意程表示焦點在軸上的橢圓列不等式，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D【舉一反三】1(2021全國課時練習)經過點P(3，0)，Q(0，2)的橢圓的標準方程為( )ABCD【答案】A【解析】依題意

8、可知且橢圓焦點在軸上，故橢圓方程為.故選：A2(2020黑龍江哈爾濱市哈九中)若方程x2ky22表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是( )A(0，)B(0，2)C(1，)D(0，1)【答案】D【解析】因為方程，即 表示焦點在軸上的橢圓，所以 ，即 ，所以實數(shù)的取值范圍是故選：D3(2021湖南岳陽市岳陽一中)橢圓的一個焦點是，那么( )ABCD【答案】B【解析】因為橢圓上的一個焦點為，在軸上，所以，所以則.故選：B4(2021浙江麗水市)“”是“曲線表示橢圓”的( )A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為曲線為橢圓，所以，解得且，所

9、以“”是“且”的必要而不充分條件.故選：B考向三 直線與橢圓的位置關系【例3】(2021全國課時練習)已知橢圓與直線有公共點，則實數(shù) 的取值范圍是 _ .【答案】【解析】由，得因為直線與橢圓有公共點，所以，即，解得故答案為：【舉一反三】1.若直線ykx1與橢圓eq f(x2,5)eq f(y2,m)1總有公共點，則m的取值范圍是_【答案】1,5)(5，)【解析】方法一由于直線ykx1恒過點(0,1)，所以點(0,1)必在橢圓內或橢圓上，則00且m5，m1且m5.2直線ykxk1與橢圓eq f(x2,9)eq f(y2,4)1的位置關系是_【答案】相交【解析】由于直線ykxk1k(x1)1過定點

10、(1，1)，而(1,1)在橢圓內，故直線與橢圓必相交3(2021安徽省泗縣第一中學)已知橢圓的長軸長是，焦點坐標分別是，.(1)求這個橢圓的標準方程；(2)如果直線與這個橢圓交于兩不同的點，求m的取值范圍.【解析】(1)由已知得，解得， 橢圓的標準方程為(2)由，解方程組并整理得，有兩個不同的交點 解不等式得考向四 弦長【例4】(2020上海市進才中學高二月考)過橢圓的左焦點，斜率為的直線被橢圓截得的弦長為_【答案】【解析】設直線與橢圓相交的兩個交點坐標為橢圓的左焦點為所以直線的方程為則所以所以該直線別橢圓所截的弦長為故答案為：【舉一反三】1(2021全國課時練習)求過點(3，0)且斜率為的直

11、線被橢圓所截得的線段的長度【答案】【解析】過點(3，0)且斜率為的直線方程為，設直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程代入橢圓方程得，即x23x80.x1x23，x1x28.2(2021安徽省泗縣第一中學)已知橢圓的長軸長是，焦點坐標分別是，.(1)求這個橢圓的標準方程；(2)如果直線與這個橢圓交于兩不同的點，若，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由已知得，則又因為， 所以橢圓的標準方程(2)由消除得因為有兩個不同的交點，所以得的取值范圍為 由韋達定理得： ，所以解得考向五 離心率【例5】(2021全國課時練習)若橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點構成一個正三

12、角形，則該橢圓的離心率為( )ABCD 【答案】A【解析】不妨設橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，B為橢圓的上頂點依題意可知，BF1F2是正三角形在RtOBF2中，|OF2|c，|BF2|a，OF2B60，即橢圓的離心率.故選：A【舉一反三】1(2021全國高三月考(文)已知點是橢圓上的一點，是橢圓的左、右焦點，若為等腰三角形，則該橢圓的離心率為( )ABC或D或【答案】D【解析】由為等腰三角形知：當，而，則，整理得，解得或(舍)，而，故，此時；當，而，則，整理得，解得或(舍)，而，故，此時；故選：D.2(2021浙江高三其他模擬)已知橢圓()的左、右焦點分別是，點在橢圓上，是坐標原點，則橢圓

13、的離心率是( )ABCD【答案】D【解析】根據(jù)以及，得，于是，所以，又，所以在中，由余弦定理，得，即，所以，因為，所以橢圓的離心率故選D3(2021江蘇啟東市)已知橢圓短軸上的兩個三等分點與兩個焦點構成一個正方形，則該橢圓的離心率是( )ABCD【答案】A【解析】由題意可知：，即，所以所以離心率.故選：A強化練習1(2021江西高三其他模擬(文)如圖，是橢圓上的一點，是橢圓的右焦點且，則( )A2BC3D4【答案】A【解析】由可得： 因為，所以點是線段的中點，設橢圓的右焦點為，則是的中點，所以，由橢圓的定義可知：，所以，故選：A.2(2021全國課時練習)已知橢圓的左焦點是F1，右焦點是F2，

14、點P在橢圓上，如果線段PF1的中點在y軸上，那么|PF1|PF2|( )A35B34C53D43【答案】C【解析】由1可知，所以，所以F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，線段PF1的中點M在y軸上，且原點為線段的中點，所以，所以軸，可設P(2，y)，把P(2，y)代入橢圓，得.|PF1|，|PF2|.故選：C3(2021上海市莘莊中學)平面內有兩個定點和一動點，設命題甲：是定值，命題乙：點的軌跡是橢圓，則命題甲是命題乙的( )A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若點的軌跡是以為焦點的橢圓，則根據(jù)橢圓的定義可知動點到兩定點的距離之和 ，且為常數(shù))成立是定

15、值若動點到兩定點的距離之和 ，且為常數(shù))，當，此時的軌跡不是橢圓甲是乙的必要不充分條件故選：4(2021重慶)已知橢圓在第一象限上的一點與橢圓的左、右焦點、恰好構成頂角為的等腰三角形，則橢圓的離心率為( )ABCD【答案】A【解析】因為點是橢圓上位于第一象限的點，所以，為銳角，因為是頂角為的等腰三角形，但，故，所以，由余弦定理可得，由橢圓定理可得，故.故選：A.5(2021江蘇南通市)設，是橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點滿足，則的取值范圍是( )ABCD【答案】C【解析】由題意可知，若焦點在軸上，則，橢圓上存在點滿足，如圖所示，則，即，所以，即，得；若焦點在軸上，則，則，即，所以，即，得；所以

16、的取值范圍是.故選：C.6(2021江西高三其他模擬(文)若橢圓的一個焦點坐標為，則實數(shù)的值為( )A9B6C4D1【答案】C【解析】因為橢圓的焦點在軸上，所以，所以，所以，解得.故選：C7(2021福建龍巖市)已知橢圓的一個焦點為，則這個橢圓的方程是( )ABCD【答案】C【解析】解：橢圓的一個焦點為，橢圓方程為故選：8(2021江西贛州市)已知橢圓的右焦點為，則( )ABCD【答案】C【解析】因為右焦點為，故焦點在軸上且，故，故選：C.9(2021廣西百色市)“”是“方程表示焦點在軸的橢圓”的( )A充分非必要條件B必要非充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題意，方

17、程表示焦點在軸上的橢圓，則滿足，解得；又由當則必有，但若則不一定有成立，所以“”是“方程表示焦點在軸上的橢圓”的必要非充分條件故選：B10(2021河南鄭州市)設、分別是橢圓的左、右焦點，為坐標原點，點在橢圓上且滿足，則的面積為( )ABCD【答案】D【解析】在橢圓中，則，所以，設點，則，可得，解得，因此，的面積為.故選：D.11(2021全國高三專題練習)已知，分別是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在點，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是( )ABCD【答案】A【解析】由得：，點在以為直徑端點的圓上，由此可得該圓的半徑，即，.故選：A.12(2020江蘇)若橢圓+=1(ab0)的焦距為2，且其離

18、心率為，則橢圓的方程為( )ABCD【答案】B【解析】由題意可知：，即，由橢圓的離心率，解得：， 橢圓的標準方程：故選：B13(2021全國課時練習)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1，0)，離心率等于，則C的方程是( )A BCD【答案】C【解析】依題意知，所求橢圓的焦點位于x軸上，且，因此橢圓的方程是.故選：C14(多選)(2021山東濱州市高三一模)已知橢圓的左、右焦點分別是，左、右頂點分別是，點是橢圓上異于，的任意一點，則下列說法正確的是( )AB直線與直線的斜率之積為C存在點滿足D若的面積為，則點的橫坐標為【答案】BD【解析】由題意，短軸一個頂點，A錯；設，則，所以，B正確；因為

19、，所以，從而，而是橢圓上任一點時，當是短軸端點時最大，因此不存在點滿足，C錯；，則，D正確故選：BD15(多選)(2020武岡市第二中學)已知點在直線上，則圓錐曲線的離心率為( )ABCD【答案】AC【解析】在直線上，所以,即,解得或,當時，圓錐曲線,為中心在原點，焦點在軸上的橢圓，離心率,當時，圓錐曲線,為中心在原點，焦點在軸上的橢圓，,故選:AC.16(多選)(2021山東聊城市)已知五個數(shù)1，16成等比數(shù)列，則曲線的離心率可以是( )ABCD【答案】AC【解析】由題意，曲線方程為或，方程為時，離心率為，方程為，離心率為故選：AC17(2021陜西西安市高三月考(理)已知橢圓左、右焦點分別

20、為、，過且傾斜角為的直線與過的直線交于點，點在橢圓上，且則橢圓的離心率_【答案】【解析】如下圖所示：由已知條件可知，在中，則，由橢圓的定義可得，即，.故答案為：.18(2021安徽蕪湖市)已知F1，F(xiàn)2為橢圓的左右焦點，點P在橢圓C上，則_.【答案】【解析】由橢圓定義可得|PF1|PF2|4，利用余弦定理可得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2，所以，解得3|PF1|PF2|4，即，故答案為：19(2021上海市西南位育中學)已知為橢圓上的點，、，是橢圓的兩個焦點，且，則_【答案】【解析】由橢圓，可得、由條件可得由余弦定理可得 所以，即所以故答案為：20(20

21、21江蘇南通市)已知橢圓的左、右焦點分別為、，點，若點P為橢圓C上的一個動點，則的最小值為_.【答案】1【解析】由已知得，因為，所以，所以，所以當三點共線時，最小，即.故答案為：1.21(2021廣西百色市)已知橢圓的左右焦點分別為，焦距為，若直線與橢圓的一個交點滿足，則該橢圓的離心率等于_【答案】【解析】設直線的傾斜角為，則，在直角三角形中，令，則由橢圓定義得橢圓的離心率 故答案為：22(2021內蒙古赤峰市高三期末(理)已知橢圓的兩個焦點分別為，離心率為，點在橢圓上，且，則的面積為_【答案】【解析】由已知得，所以，由橢圓定義得，由余弦定理得，即，則的面積為.故答案為：.23(2021廣東梅

22、州市)已知過點的橢圓C的焦點分別為，則橢圓C的標準方程是_.【答案】【解析】由題意，所以,所以橢圓方程為故答案為：24(2021安徽省臨泉第一中學)橢圓的離心率等于_.【答案】【解析】由題意，所以，離心率為故答案為：25(2021湖南常德市一中高三月考)寫一個離心率是橢圓的離心率4倍且焦點在軸上的雙曲線標準方程：_.【答案】(答案不唯一)【解析】有橢圓方程可知，則，所以橢圓的離心率，則雙曲線的離心率，則雙曲線中，即，得，令，則，所以滿足條件的一個雙曲線方程是.故答案為：(答案不唯一)26(2020全國高三專題練習)過點的直線被圓截得的弦長為2，則直線的斜率為_【答案】【解析】根據(jù)題意，圓的標準方程為，其圓心為，半徑，過點的直線被圓截得