高二數(shù)學(xué)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算知識(shí)精講

1、高二數(shù)學(xué)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【本講主要內(nèi)容】空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算空間直角坐標(biāo)系，空間向量的坐標(biāo)表示，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，空間向量平行，垂直的 坐標(biāo)表示形式。【知識(shí)掌握】【知識(shí)點(diǎn)精析】.空間直角坐標(biāo)系(1)單位正交基底，空間直角坐標(biāo)系，右手直角坐標(biāo)系(2)坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對(duì)空間任一點(diǎn) A,對(duì)應(yīng)一個(gè)向量 OA ,于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 x、v、z,使OA =xi +yj +zk ,則實(shí)數(shù)組(x, y, z)叫做點(diǎn)A在 此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè) a=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3)貝U a b = (a1 b1 , a2 b2 , a

2、3 b3)a - b= (a1 -b1，a2 -b2 , a3 - b3)a b =a1bl a2 b2 - a3b3a/bu a1 =Xb1 , a2 =b2 ， a3=?ub3,九wr或電=絲=曳b1 b2 b3a_b：二 ab1 a2b2 a3b3 =0. 夾角和距離公式(1)夾角公式：設(shè) a = (a1, a2, a3) , b =(b1, b2 , b3)貝U cos :二 a,ah a2 b2a3b3.a；a2 2a32b；b22b32(2)距離公式：設(shè) A(x1, y1, z1) , B(x2, y2 , z2)則 dAB = (x1 -x2)2 (y1 72)2 (z1 -z2

3、)2a ,則稱這個(gè)向(3)平面的法向量：如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面量垂直于平面a ,記作a_L。如果al支，那么向量3叫做平面”的法向量?！窘忸}方法指導(dǎo)】. 在證明線線平彳T時(shí)，利用 a/bu 2 =小即(21, a2, 23)=(油1,油2,如3)，在證 明線面平行或面面平行時(shí)，需轉(zhuǎn)化為線線平行問題。. 在證明線線垂直時(shí)，利用 aibu a b =0即a1bl +a2b2 +a3b3 =0 ,在證明線面垂直 或面面垂直時(shí)，需轉(zhuǎn)化為線線垂直問題。.在計(jì)算異面直線所成角時(shí)，車t化為求向量的夾角，cose=-a-b|a|b|ai bi a2b2 a3b3 cos ? 222,2,2

4、,2,a1 a2 a3 b1 b2 b3.利用平面的法向量解決立體幾何的角和距離的問題應(yīng)首先了解如何利用空間坐標(biāo)求法 向量，方法是：設(shè) n是平面ABC垂直的一個(gè)向量，已知 A(ai，bi，Ci) , B(a2，b2, c?),_ t n，AB=0 、，一-C(a3, b3, c3),可通過斛方程組 5，求得法向重 n (其中可設(shè)n = (x, y, i)或n AC =0(i, x, y)或(x, i, y)利用平面的法向量可以解決以下幾個(gè)方面的問題：(i)求線面角，如圖， AB為平面”的斜線，n為平面”的法向量，如果 AB與A之間所成的角中為銳角，則斜線 AB與平面a所成的角日=中。2(2)求

5、二面角，如圖，設(shè) 0表示欲求的二面角 a l 3的平面角，又設(shè) ni, n2分別表示平面a及3的法向量，這兩個(gè)法向量的方向應(yīng)當(dāng)滿足如下條件：當(dāng)a或3半平面繞其棱n n-轉(zhuǎn)動(dòng)到與另一半平面重合時(shí)，這兩個(gè)向量的方向應(yīng)當(dāng)一致，在此條件下cose = ni n2 。|ni|n2|(3)求點(diǎn)到面的距離，求點(diǎn) P到平面M的距離d,可以在平面 M上任取一點(diǎn) A,則PA在M的單位法向量n0上的射影長就是所求的距離:T _AP nd MAP筋0| = 亍(n為平面M的一個(gè)法向量)|n|例 1.如圖，在長方體 OABCQAiBiG 中，|OA| =2, |AB| =3, |AAi| =2, E是 BC的中點(diǎn)(1)

6、求直線AO與BiE所成角的大小(2)作OD AC于D,求點(diǎn)O到D的距離z小思路：建立空間坐標(biāo)系，把向量坐標(biāo)化。解：(1)由題意：A (2,0,0),O(0,0,2),Bi(2, 3,2),E (1, 3,0)fAO1 =(-2,0, 2) , BiE =(-1, 0, -2)-f cos : AO 1 ,B1E =T TAO1 B1E|AOi|BiE|，AO與BE所成角為arccos010.1010(2)由題意：O；D_AC, AD/AC. C (0, 3, 0),設(shè) D (x, y, 0) OD =(x, v, -2), AD = (x 2, y, 0)AC =(-2, 3, 0)18131

7、213-2x 2y =0 x - 2 y 3x解得y1812、D( , 一 , 0)13132.286 , |OiD|-|OiD| = 13點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是將空間幾何向量化，將向量坐標(biāo)化，從而使問題代數(shù)化，即將 問題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算推理。例2.如圖，已知棱長為 求Ai到平面DBEF的距離。的正方體 ABCD- ABiCiD中，E、F分別是 BiG和CiD的中點(diǎn),思路：本題可以通過解出 Ai到平面DE的垂線段來求；也可以利用幾何體的性質(zhì)，建立 坐標(biāo)系，通過平面的法向量以及向量在法向量上的射影，求點(diǎn)到平面的距離。解：如圖，建立坐標(biāo)系則 Ai (i, 0, i), B (i, i, 0), D (0

8、, 0, 0), F (0, TOC o 1-5 h z 二1 . 一 T1一.j.DB=(i, i, 0), DF=(0, - , i) , A1B= (0, i, -i) 設(shè)平面DBEF的法向量是n =(i, y, z)r_ tn DB =0 i /則有、t ，可信x=i,y = in DF =0-1n =(i, 一i, 一) 2-1(i, -i ) (0, i -i)則Ai到平面DBEF勺距離為n =2=i1n|l(i f J|點(diǎn)評(píng)：通過平面的法向量以及向量在法向量上的射影是求點(diǎn)到平面距離的常用方法?！究键c(diǎn)突破】【考點(diǎn)指要】從近年以來的新課程高考試題中可以看出，在新增內(nèi)容中，立體幾何為必

9、考內(nèi)容， 而空間向量法解決立體幾何問題可以大大簡化分析證明的過程，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想?！镜湫屠}分析】例i.如圖，在長方體 ABCD-ABCD中，已知 DA= DC= 4, DD=3,求異面直線 AiB與BiC 所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）DiCi剖析：方法1:平移法方法2:向量法，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求解。解：(只提供方法2)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA DC DD所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo) 系。則 Ai (4,0), Bi (4, 4,0, 3), B (4, 4,3), C (0, 4, 0)T以A1B= (0, 4 , 3)BQ=(-

10、4, 0, -3)以A7b與Bic夾角為9cos 二TfA1B B1c|AiB|BiC|9259，異面直線 AiB與BC所成的角為arccos一25例2.如圖，直二面角 D-AB-E中，四邊形 ABCD邊長為2的正方形，AE= EB, F為CE 上的點(diǎn)，且BFL平面ACE(1)求證：AE1平面BCE(2)求二面角 B-AC-E(3)求點(diǎn)D到平面ACE的距離z證明：(1) BF，平面 ACE - BF AE二面角 A AB- E是直二面角，且 CB AB.CBL平面 ABE 1 CBL AE.AE平面 BCE(2)以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn) O, OE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，過O點(diǎn)平 行

11、于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyzo,. AEX面 BCE BEU 平面 BCE，AE! BE在RtAEB中，AB= 2, O為AB的中點(diǎn)，故 OE= 1于是 A (0, -1, 0), B (0, 1, 0), E (1, 0, 0), C (0, 1, 2)AE =(1, 1, 0) , AC =(0, 2, 2)設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量n=(x, y , z)則再=,即卜7=ACn=0 為 2z=令 y =T ,得 n =(1, 1, 1) f-m , n - 3又平面 BAC的一個(gè)法向重 m =(1 , 0, 0),故cosm, n k =|m|n|33，一面角 BAC-

12、E的大小為arccos。3T|AD n| 二 2、3|n|3(3)AD/z 軸，AD= 2,AD =(0, 0, 2)點(diǎn) D到平面 ACE的距離 d =|AD|cos=【綜合測試】一.選擇題.下列各組向量不平行的是(A.a = (1, 0, 0), b=(qC.a =(0, 1, -1) , b=(下列各組向量共面的是(a=(1,2 ,3),b =(3,a=(1,0,0) ,b=(0,a=(1,1,0),b =(1,a=(1,1,1),b =(1,已知向量5 = (2, 4, x),A. -3 或 1B. 3已知向量a = (2, 4, 5),A.x=6, y=15C.x=3, y=15填空題

13、已知向量a = (2, 3, 0已知空間三個(gè)向量a=。，0, 0)B. a=(0,-1 , 1) D. a =(1, )0, 2), c=(4, 2, 5)1 , 0), c=(0, 0, 1)0,1) , c=(0, 1, 1)0), c=(1, 0, 1)b= (2, v, 2)，若 |同=6, 或-1C. -3b =(3, x, y),若 3/b ,則 八 15B. x =3, y =215D. x =6, y = 2,b=(k, 0, 3),若 a與 bH-2, z), b=(x, 2 , -4),1, 0) , b =(1, 0,1)0, 0), b =(0, 0, 0)且a_Lb

14、,則x+y的值為()D. 1( )120 角，貝U k =。c = (1 , y, 3),若它們兩兩垂直，貝 U x =, y =, z =三.解答題7. 如圖直三棱柱 ABC-ABC1,底面 ABC中，CA= CB= 1 , / BCA= 90 ,棱 AA=2, M N分別是 AB、A1A的中點(diǎn)。T(1)求BN的長；(2)求直線AB與B1C所成的角；(3)求證：A1B GMA綜合測試答案B提示：A. b = 4; C. b=_a； D. b=0 aA提小：c =a+b ,故a, b, c共面A提示：a i b：= a b = 0 , . 4 4y 2x = 0又 |a| = J4 16 x2 =6, . x=：4x =4 - x = -4,w 或w y=-3y=1，x +y =1 或-3D1523提?。篴/bu b = ?a, ,1 3, x, y) = ?42, 4,5) 二.九=一，x = 6, y2-x;39 提示：a b=2k =而 Jk2+9 ()，二 k 二 _/392x =64, y =-26, z =17x - 4 - 4z = 0提示：依題可得方程組x+2y12 = 01 -2y 3z=0以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸建立坐標(biāo)系依題意B (0, 1 , 0),N (1, 0, 1)則|BN|=、, 3 A