2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-5練習(xí)：第三講三排序不等式含解析

1、巧瓊跟蹤驗(yàn)證應(yīng)用案鞏固提升學(xué)生用書P49）則親+02+翥的最小值為（A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.設(shè)正實(shí)數(shù)ai, a2, 03的任一排列為a；, a2, a3,A. 3B. 6C. 9D. 12解析：選 A.設(shè) a1 a?a30,則一 0a3 a2 ai由排序不等式可知ai a2 a3、ai a2 a3 八 滔 +北 + 氯 += 3.當(dāng)且僅當(dāng)a1=ai, a2=a2, a 3= a3時等號成立.2.某學(xué)校舉行投籃比賽，按規(guī)則每個班級派三人參賽，第一人投m分鐘，第二人投n分鐘，第三人投p分鐘.某班級三名運(yùn)動員 A, B, C每分鐘能投進(jìn)的次數(shù)分別為 a, b, c, 已知mn p, abc,如何派三人上場能取

2、得最佳成績？ （ ）A. A第一，B第二，C第三B. B第一，A第二，C第三C. C第一，B第二，A第三D. A第一，C第二，B第三解析：選A.因?yàn)閙np, abc,且由排序不等式知順序和為最大值，所以最大值為ma+nb+pc,此時分?jǐn)?shù)最高.所以，三人上場順序是 A第一，B第二，C第三.3,若 A = x2+x2+ + X2, B= XiX2+X2X3+ + Xn ixn+XnXi ,其中 Xi , X2,，Xn 都是 正數(shù)，則A與B的大小關(guān)系為（）A. ABB. AvBC. ABD. AWB解析：選C.因?yàn)樾蛄蠿n的各項都是正數(shù)，不妨設(shè)0VXiWX2W-y Xn,則X2, X3,，Xn, X

3、i為序列Xn的一個排列.由排序原理，得XiXi + X2X2+ XnXnXiX2 + X2X3+ XnXi ,即 X： + x2+ XnXiX2+ X2X3 + + XnXi.故選 C.4.車間里有5臺機(jī)床同時出了故障，從第i臺到第5臺的修復(fù)時間依次為 4 min, 8 min , 6 min , i0 min , 5 min ,每臺機(jī)床停產(chǎn)i min損失5元，經(jīng)合理安排損失最少為（）A. 420 元B. 400 元C. 450 元D. 570 元由排序不等式得解析：選A.停產(chǎn)總時間是 5ti+4t2+3t3+2t4+t5.當(dāng)tiVt2Vt3Vt4Vt5時，總時間取最小值.所以，總時間最小值為

4、5X4+4X 5 + 3X6+2X8+10=84,即損失最少為84X5 = 420(元).已知 a, b, c 為正實(shí)數(shù)，則 a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)()A.大于零B.大于等于零C.小于零D .小于等于零解析：選 B.設(shè) abc0,所以 a3b3c3.根據(jù)排序原理，得 a3xa+b3xb+c3xca3b+b3c+c3a.又知 abacbc, a2b2c2,所以 a3b + b3c+ c3a a2bc+ b2ca+ c2ab,所以 a4+ b4 + c4a2bc+ b2ca+c2ab,即 a2(a2- bc) + b2(b2 ac) + c2(c2- ab)0.

5、如圖所示，矩形 OPAQ中，aia2, bi.已知在銳角三角形 ABC中，內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為 a, b, c,且avbvc. 若 M = acos C+ bcos B + ccos A, N= acos B+bcos C+ccos A,則 M 與 N 的大小關(guān)系是解析：因?yàn)殇J角三角形 ABC中，a cos BcosC,由排序不等式可知 MN.答案：MN.某班學(xué)生要開聯(lián)歡會，需要買價格不同的禮品4件，5件和2件.現(xiàn)在選擇商店中單價分別為3元，2元和1元的禮品，則至少要花 元，最多要花 元.解析：兩組數(shù)2件、4件、5件與1元、2元、3元的反序和Si=2X3+4X2+ 5X1 = 19

6、(元).順序和 S2=2X1+4X 2+5X3= 25(元).根據(jù)排序原理可知至少花19元，最多花25元.答案：19 25.已知 a, b, c為正數(shù)，用排序不等式證明：2(a3+b3+c3)a2(b + c) + b2(c+a) + c2(a+ b).證明：設(shè)正數(shù)a, b, c滿足awbwc,則a2wb2wc2,由排序不等式得，a2b+b2c+c2a a3+ b3 + c3, a2c+ b2a+c2ba2(b+ c) + b2(c+ a)+c2(a+b). TOC o 1-5 h z 222.已知x, y, z都是正數(shù)，且x+ y+z= 1,求j +。的最小值.解：不妨設(shè)xyz0,則0,且x

7、2y2z20,由排序不等式，得z y xy2 , x2 . z2、1 2.1 2.1 2.：+ y + -z z + y y + xx =x+y + z.又x+y+z=1,所以2+工+乙1,當(dāng)且僅當(dāng)x= y=z= 1時，等號成立.y z x3則x + y+z的最小值為1.y z xB能力提升a b-l- c.在銳角三角形中，設(shè)P=12, Q=acos C+bcos B+ccos A,則P, Q的關(guān)系為解析：不妨設(shè)ABC,則abc,cos Aw cos B acos B+ bcos C + ccos A=R(2sin Acos B+ 2sin Bcos C+ 2sin Ccos A) Rsin(

8、A+ B)+sin(B + C)+ sin(A+ C)=R(sin C + sin A+ sin B)a+ b + c=P=-2-(R為銳角三角形 ABC外接圓的半徑).答案：PWQ. 一般地，對于 n個正數(shù)ai, a2,，an,幾何平均數(shù) Gn = )aia2an,算術(shù)平均數(shù)An=ai+a2+-+ an,利用排序不等式可以判斷Gn, An的大小關(guān)系為n解析：令。=熟=1, 2,，n),則 blb2bn= 1,故可取 XiX2 - Xn0,Xi , X2使得 bi=X? b2=X?，bnT=T，Xnn=X1由排序不等式有：bi+ b2+ bn=*+*+為 Xi Z+X2+ Xn3= n,X2

9、X3XiXiX2Xn當(dāng)且僅當(dāng)Xi= X2=Xn時取等號，aia2an、所以 G；+ G；+ GZ n,ai+ a2+ + ann，即n即An25Gn.答案：AnGn.設(shè) x0,求證：1 + x + x2+ + X2nR(2n+i)Xn.證明：(i)當(dāng) X i 時，1WxWx2W Wxn.由排序原理知，1 1 + X X+ X2 X2+ + Xn Xn Xn 1 + Xn 1 x+ + 1 Xn,所以 1 + x2+x4+X2nA (n+1)xn.又因?yàn)閄, X2,，Xn, 1為1, X, x2,，Xn的一個排序，于是由排序原理得1 X+ X X2+ xn 1 xn + xn 1 1 Xn +

10、X Xn-1+ +xn-1x+xn 1.所以 x+x3 + + x2n-1 nxn.+，得 1 + x+ x2+ - +x2n(2n+1)xn.(2)當(dāng) 0vxv1 時，1xx2 xn同理可得結(jié)論.綜合(1)與(2),所以當(dāng)x0時,1 + x+x、兩式相加得：23 a+甘/3嬴=3. + -+x2n(2n+ 1)xn.4.設(shè) 0v aw bw c 且 abc= 1.試求a371上廠+硬71上廠4c3 a b的最小值.*1解：令 S= -一* 1一 a (b+c)+1b3 a c)1c3 (a+b)，(abc) 2則 S=E7(abc) 2+ b3 (a+c)(abc) 2+ c3 (a + b)bcaca