高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)數(shù)列

1、數(shù)列數(shù)列在中學(xué)數(shù)學(xué)中地位非常重要，它是銜接初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的橋梁，是高考數(shù)學(xué)每年必考的重要內(nèi)容。內(nèi)容涉及到數(shù)列概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)及求和、數(shù)學(xué)歸納法和數(shù)列極限等；它滲透了分類討論和類比、歸納等重要的數(shù)學(xué)思想。事實(shí)上，在數(shù)列的復(fù)習(xí)中，既要重視公式的應(yīng)用，還要注意計(jì)算的合理性。在處理某些數(shù)列問題時(shí)，要滲透函數(shù)觀點(diǎn)，借助函數(shù)思想幫助解決； 同時(shí)要注意新情景下的數(shù)列問題研究，有意識(shí)建立與等差數(shù)列、等比數(shù)列的聯(lián)系，探討通項(xiàng)和求和問題； 數(shù)學(xué)思想如分類思想、 特殊化思想等在數(shù)列中的考查，也是同學(xué)們在復(fù)習(xí)中必須重視的問題。我們先來分析一下解析幾何高考的命題趨勢：一.題型穩(wěn)定：近幾年來高考數(shù)列試題一

2、直穩(wěn)定在1-2個(gè)小題和1道大題上，分值約為 20分左右， 占總分值的12說右，但是如果把數(shù)列與其他知識(shí)結(jié)合的綜合題目，分值會(huì)更大。二.在進(jìn)行數(shù)列二輪復(fù)習(xí)時(shí)，建議可以具體從以下幾個(gè)方面著手：.運(yùn)用基本量思想(方程思想)解決有關(guān)問題；.注意等差、等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用；.注意等差、等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和的特征在解題中的應(yīng)用；.注意深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其等價(jià)形式；.根據(jù)遞推公式，通過尋找規(guī)律，運(yùn)用歸納思想，寫出數(shù)列中的某一項(xiàng)或通項(xiàng)，主要需注意從等差、等比、周期等方面進(jìn)行歸納；.掌握數(shù)列通項(xiàng) an與前n項(xiàng)和Sn之間的關(guān)系；.根據(jù)遞推關(guān)系，運(yùn)用化歸思想，將其轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列；.掌握一些數(shù)列求

3、和的方法(1)分解成特殊數(shù)列的和(2)裂項(xiàng)求和(3) “錯(cuò)位相減”法求和9.以等差、等比數(shù)列的基本問題為主，突出數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與方程、數(shù)列與不等式、數(shù) 列與幾何等的綜合應(yīng)用.三.方法總結(jié).求數(shù)列的通項(xiàng)通常有兩種題型：一是根據(jù)所給的一列數(shù)，通過觀察求通項(xiàng)；一是根據(jù)遞推關(guān)系式求通項(xiàng)。.數(shù)列中的不等式問題是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)問題，對(duì)不等式的證明有比較法、放縮，放縮通常有化歸等比數(shù)列和可裂項(xiàng)的形式。.數(shù)列是特殊的函數(shù)，而函數(shù)又是高中數(shù)學(xué)的一條主線，所以數(shù)列這一部分是容易命制多個(gè)知識(shí)點(diǎn)交融的題，這應(yīng)是命題的一個(gè)方向。四.2010年高考預(yù)測.數(shù)列中&與%的關(guān)系一直是高考的熱點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是最為常見的題

4、目，要切 實(shí)注意Sn與an的關(guān)系.關(guān)于遞推公式，在考試說明中的考試要求是：“了解遞推公式 是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)”。但實(shí)際上，從近兩年各地高考試題來看，是加大了對(duì)“遞推公式”的考查。.探索性問題在數(shù)列中考查較多，試題沒有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給以證明.探索性問題對(duì)分析問題解決問題的能力有較高的要求.等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)必考.這類考題既有選擇題， 填空題，又有解答題；有容易題、 中等題，也有難題。.求和問題也是常見的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和.將數(shù)列應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)

5、列問題也是高考中的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，從本章在高考中所在的分值來看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.有關(guān)數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與概率等問題既是考查的重點(diǎn)，也是考查的難點(diǎn)。今后在這方面還會(huì)體現(xiàn)的更突出。7、數(shù)列與程序框圖的綜合題應(yīng)引起高度重視。在近年高考中，對(duì)平面向量內(nèi)容的考查的主要知識(shí)點(diǎn)和題型有：等差數(shù)列的證明方法：1.定義法：2.等差中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列an,若2a0書=an+an也等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an =a1+(n-1)d- 該公式整理后是關(guān)于 n的一次函數(shù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和1. Sn：2. Sn =nai +吟翅d 3. Sn = An2 + Bn等差中項(xiàng)：如果a, A, b成等差數(shù)列

6、，那么 A叫做a與b的等差中項(xiàng)。即：a=# 或22A =a b等差數(shù)列的性質(zhì)：.等差數(shù)列任意兩項(xiàng)間的差系:如果an是等差數(shù)列的第n項(xiàng)，am是等差數(shù)列的第 m項(xiàng)，且m w n ,公差為d ,則有an = am + (n - m)d.對(duì)于笠差數(shù)列(an1 若n + m = p + q ,則an +am =ap +aq。也就是：a +a =a + a)4 =a4an? w.若數(shù)列Gn 是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，k w N *,那么Sk,S2k- Sk,S3k- S2k成等差數(shù)列。如下圖所示：S3 ka1a2 a3, ak , ak 1 , a2k a2k 1a3kSkS2k -SkS3k -S

7、2k.設(shè)數(shù)列AJ是等差數(shù)列，S奇：奇數(shù)項(xiàng)和，S偶：偶數(shù)項(xiàng)和，Sn是前n項(xiàng)和，則有如下性質(zhì)：1。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S偶S奇 Jd, 2。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則S奇S偶=a中，包=上！2S偶n等比數(shù)列的判定方法：定義法：若亙士 =q(q #0)等比中項(xiàng)：若anan書=a2書，則數(shù)列an是等比數(shù)列。 an等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果等比數(shù)列an的首項(xiàng)是現(xiàn)，公比是q ,則等比數(shù)列的通項(xiàng)為 an =a1qn。n等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和：1。 Sn =(1 q)(q #1) 2。Sn =一-(q #1) 3。當(dāng) q=1 時(shí), 1 -q1 -qSn = na1等比中項(xiàng)：如果使a, G, b成等比數(shù)列，那么 G叫做a與b的等

8、比中項(xiàng)。那么G2 = ab。等比數(shù)列的性質(zhì)：笠坦.教到任理M跑去鎏j如果an是等比數(shù)列的第n項(xiàng)，am是等差數(shù)列的第m項(xiàng)，且m E n ,公比為q ,則有an =amqn.對(duì)于等比數(shù)列 QJ,若n + m = u + v ,則an，am = au，av也就是：a1 an =a2，anJ_=a3，anJ2 =。.若數(shù)列In履等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，kWN*,那么Sk , S2kSk, S3k S2k成等比數(shù)列。如下圖所示：S3k + a2 + a3 + +ak +_k力 + +a2k +a2k+ 十 + a3kSkS2 k SkS3k S2 k一、選擇題（每小題 5分） 21.（2009年廣

9、東卷又）已知等比數(shù)列an的公比為正數(shù)，且 a3 - a9=2a5 , a2=i,則a1 =A. - B. C. , 2D.22 n解析：設(shè)公比為q ,由已知得a1q2 gq8 =2（a1q4 ）,即q2 =2,又因?yàn)榈缺葦?shù)列an的公比為正數(shù)，所以q= J2,故a-=曳=工=，2,選b q .22（2008全國 5）已知等差數(shù)列an滿足a2+a4 =4, %+a5 =10 ,則它的前10項(xiàng)的和 Si。=（）A. 138B. 135C. 95 D. 23解析：C.由 a2+a4=4,a3+a5 =10= a1 二 Y,d =3,0=10a +45d = 95；（ 2009廣東卷理）已知等比數(shù)列an

10、滿足an A0,n=1,2|,且a5 a251_= 221n之3 ,則當(dāng) n 之 1 時(shí)，10g2a +log2a3 +|+log2a2口= TOC o 1-5 h z 222A. n（2n -1） B. （n 1） C. n D.（n-1）解析：由 & a2n 5 =22n（n 之3）得 a； =22n, an 0,則 an =2n , 10g2a1 +log2 a3 + +10g2 a2njL =1 + 3+ +（2n -1） = n2,選 C.（2008北京卷6）已知數(shù)列 二對(duì)任意的p, q n N*滿足apq =ap+& ,且a2 =-6 ,那么q0等于（）A. -165B. -33C

11、. -30D. -21解析：由已知 a4 = a2 + a2= -12 , a8 = a4 + a4 =24, a10=a8 + a2 = -30 C（2009安徽卷文）已知“J為等差數(shù)列， 為+/+約二地出+%+綿二99,則與等 于A. -1B. 1 C. 3D.7解析： : ai +a3 +a5 =105 即 3a3 =105 /. a3 =35 同理可得 a4=33，公差 d=E -83 =-2 /.a20 =a4 （20 -4） d =1 .選 B=6.（2009江西卷文）公差不為零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若a4是徭與a7的等比中項(xiàng)，0=32，則o等于A. 18 B. 24 C

12、. 60 D. 9022解析：由 a4 =a3a7 得(a1 +3d) = (a1 +2d)(a1 +6d)得 2al+3d=0 ,再 由c 55690 .一Sg = 8闞 + d = 32 得 2a1 +7d =8 則 d = 2同=3，所以 Si0=10ai+ d = 60 ,.故22選C7. (2008四川卷7)已知等比數(shù)列 但。)中22=1,則其前3項(xiàng)的和0的取值范圍是()(A)(3,-1(B)(,。燈(1,收)(C) 已)(D) (3,-1U收) TOC o 1-5 h z 解析：D 6=x+1+l（x0）.由雙勾函數(shù)y=x+l的圖象知，x+二之2或x+1。，故本題選 xxxx 一D

13、.本題主要考查等比數(shù)列的相關(guān)概念和雙勾函數(shù)的圖象和性質(zhì).以上諸題，基本功扎實(shí)的 同學(xué)耗時(shí)不多.8. （2009湖南卷文）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a2=3, a6=11,則6等于A. 13 B . 35 C . 49D. 63解析：S7=Zla121=7(aila6)=Z(3i11)= 49.w c. HYPERLINK l bookmark46 o Current Document 222r , a2=a1，d=3 一 a二1 ,a7 =1 6 2 =13. % = a15d =11 d = 2所以S77(a a7) _ 7(1 13)22= 49.故選C.則公差d等于（2009福

14、建卷理）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,且0 =6 , a1=4,A. 1 B 5C.- 2D 33【答案】：C一3一一斛析：-S3=6 =(a1+a3)且a3=a1 + 2da1 =4 二d=2.故選 C21(2008 江西卷5)在數(shù)列an中，a1=2,anHt=an+ln(1+),則an=()nA. 2+lnn B . 2+(n1)lnn C . 2 + nln n D . 1+n + lnn TOC o 1-5 h z 111斛析：A a2 =a1 +ln(1+-)，a3 =a2+ln(1+)，an=ani + ln(1+)12n -12 3 4 n=an 二a1 ln( )( )( )

15、|()=2 In n1 2 3 n -1(2009遼寧卷文)已知 匕口為等差數(shù)列，且 a72a=1, a3 = 0,則公差d = TOC o 1-5 h z 11(A) -2(B) - -(C) (D) 2 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 221 解析：a72a4= a3+4d 2(a3+d) = 2d= 1 = d =2【答案】B TOC o 1-5 h z (2009遼寧卷理)設(shè)等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn ，若 S6=3 ,則-9 =S3-36(A) 2(B)7(C)8(D) 3333、八解析：設(shè)公比為q，則-= (1 q) =1+1

16、3=q 3=2S3S3十曰& 1 q3 q6 12 4 7 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document S 1 q31 236【答案】B(2009寧夏海南卷理)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,且4 al , 2% , a3成等差數(shù)列。若 a1 =1,則 s4=(A) 7(B) 8(3) 15(4) 16解析：74&, 2 a2, %成等差數(shù)列，:.4al +a3 =4a2,即4al +a1q2 =4a1q,，q2 -4q + 4 = 0,. q = 2, S4 =15,選 C.(2009四川卷文)等差數(shù)列an的公差不為零，首項(xiàng)a1=1,a2是a#Da5的等

17、比中項(xiàng)，則數(shù)列的前10項(xiàng)之和是A. 90B. 100 C. 145 D. 190【答案】B解析：設(shè)公差為 d ,則(1+d)2 =1 (1 +4d). d W0,解得 d =2,S10 = 100(2009湖北卷文)設(shè)xWR,記不超過x的最大整數(shù)為x,令x=x- x,則工5* ,2 ,5 1 ,5 12,2A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列【答案】B解析：可分別求得! J5+11=J5 -1, Y52I1=i .則等比數(shù)列性質(zhì)易得三者構(gòu)成等比 2 2 2數(shù)列.(2009湖北卷文)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種

18、性狀來研究數(shù)，例如：610圖I圖3他們研究過圖1中的1, 3, 6, 10,，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1, 4, 9, 16這樣的數(shù)成為正方形數(shù)。下列數(shù)中及時(shí)三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是A.289B.1024C.1225D.1378【答案】C解析：由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)an =n(n +1),同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列2通項(xiàng)bn = n2,則由bn =n2(n NJ可排除A D,又由an =工(n +1)知an必為奇數(shù)，故 nn2n選C.(2009寧夏海南卷文)等差數(shù)列匕/的前n項(xiàng)和為Sn ,已知am+am4fam=0,S2m=38,則 m =(A

19、) 38(B) 20(C) 10(D) 9【答案】C解析：因?yàn)長n是等差數(shù)列，所以，am=+am+=2am,由am+am書一 am=0,得：2amam2 = 0,所以，am =2,又 $m= =38,即(2m 1)(a1 +a2m二)=38,即(2m- 1) X 2 2= 38,解得m= 10,故選.Co(2009重慶卷文)設(shè)an是公差不為0的等差數(shù)列，a =2且司，%,生成等比數(shù)列，則an的前n項(xiàng)和S =2 r“ n 7nA44【答案】AB.2n 5n+332D. n n1解析：設(shè)數(shù)列an的公差為d ,則根據(jù)題意得（2 +2d）2 =2 （2 +5d）,解得d =或 2d =0 (舍去)，所

20、以數(shù)列%的前n項(xiàng)和Sn 2n + n(n-1)x- +7n 2244(2009安徽卷理)已知 Qn為等差數(shù)列，a1 + a3 + a5=i05, a2+a4+%=99,以Sn表示an的前n項(xiàng)和，則使得 Sn達(dá)到最大值的n是(A) 21(B) 20(C) 19(D) 18解析：由 & + a3 + a5 =105 得 3a3 =105，即 a3 = 35 ,由 % +a4 + a6=99 得 3a4 =99 即一,、一 . 一an 0 _ cc 、，a4 =33 , d = -2, an =a4+(n 4)M(2) = 41 2n,由 得 n = 20,選 b an 1 10，即用46d蘭10

21、,25al +10d 155 X4L一5a1 + 2 d 15耳+3d之5 ,a1 2d 3a4 =a +3d -這是加了包裝的線性規(guī)劃，有意思.建立平面直角坐標(biāo)系（圖略），畫出目標(biāo)函數(shù)即直線截距最大，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取最大值a4 =a1 +3d ,由圖知，當(dāng)直線a1od ,畫出可行域 夕&十3d之531 H2d 3a4 =司+3d過可行域內(nèi)（1,1）點(diǎn)時(shí)a本題明為數(shù)列，實(shí)為線性規(guī)劃，著力考查了轉(zhuǎn)化4 化歸和數(shù)形結(jié)合思想.掌握線性規(guī)劃問題“畫-移-求-答四步曲，理解線性規(guī)劃解題程序的實(shí)質(zhì)是根本.這是本題的命題意圖.因約束條件只有兩個(gè)，本題也可走不等式路線.設(shè) a +3d =九（22 +3d） +

22、7u2（a +2d）,由/九十九=解得九=- ,3 -1 2 ）三3J , 2 =3& +3d =-（2al +3d） +3（a1 +2d）,由不等式的性質(zhì)得:四 3d _5 a 2d 9=- -(2ai 3d) 3(ai 2d) 4-(2a1 -3d) -5 3(q -2d) 9,即a4 =a1 +3d 2 (kN )時(shí)，ak*=,ak=-,ak=k 12k121 2-n ,4解析：由觀察可知當(dāng)k 2時(shí)，每一個(gè)式子的第三項(xiàng)的系數(shù)是成等差數(shù)列的，所以ak=乂，12第四項(xiàng)均為零，所以 ak4二0。（ 2009北京理）已知數(shù)列an滿足：a4n_3=1,24千0a歸an司“N則,a2009 =; a

23、2014 =.【答案】1, 0解析：本題主要考查周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí).屬于創(chuàng)新題型依題意，得 a2009 - a4 503-3 = 1 , a2014 = a2M007 = a1007 - a42521 = 0 .，應(yīng)填1, 0.（2009江蘇卷）設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，|q|A1,令bn = %+1（n =1,2, I）,若數(shù)列 也有連續(xù)四項(xiàng)在集合53,23,19,37,82中，則6q =解析： 考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力。等比數(shù)列的通項(xiàng)。an ）有連續(xù)四項(xiàng)在集合 54,24,18,36,81,四項(xiàng)-24,36, -54,81成等比數(shù)列，公比為33.（2009山東卷文）在等差數(shù)列an

24、中，a3 =7,a5 =a2 +6,則a6 =.ai +2d =7.= 3 解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則由已知得3解得，所以 TOC o 1-5 h z 91 +4d =a +d +6d =2a6 =a1 5d =13.答案：13.【命題立意】：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及基本計(jì)算.34. （2009全國卷n文）設(shè)等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn。若a =1,s6=4s3,貝Ua4 =答案：33. 一3解析：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運(yùn)算，由a1 = 1,S6 = 4$3得q =3故a4=a1q =3。35.（2009 湖北卷理）已知數(shù)列恪滿足：q= m （ m為正整數(shù)），a三,當(dāng)an

25、為偶數(shù)時(shí)，什 ，Ian+=2右%= 1,則m所有可能的取值為 3an +1,當(dāng)an為奇數(shù)時(shí)?！敬鸢浮? 5 32 TOC o 1-5 h z 解析：（1）若q =m為偶數(shù)，則 曳為偶，故a2=U a3 = 曳=m 2224當(dāng)m仍為偶數(shù)時(shí)，a4=ma6=里 故里=1=m = 32483232當(dāng)m為奇數(shù)時(shí), 4o- m 13a4 = 3a3 1 m 1 a6 = 444m 1故 4= 1 得 m=4一一 一 3m 1(2)若a1=m為奇數(shù)，則a2 =3a1+1 =3m+1為偶數(shù)，故a3 =必為偶數(shù)23m 1 3m 1a6 =,所以=1可得m=51616.（2009全國卷n理）設(shè)等差數(shù)列20的前門項(xiàng)

26、和為Sn,若a5 = 5a3貝冷 =9.解析：an為等差數(shù)列，二道=9a5 = 9 TOC o 1-5 h z S55a3.(2009遼寧卷理)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且6s5- 50 = 5,則a4= .解析：S1= nai+ - n(n 1)d 2.S5=5ai+10d,S3=3ai+3d 6S5- 5S3= 30a1 + 60d (15a 1 + 15d) = 15ai + 45d= 15(a 1 + 3d) = 15a4 TOC o 1-5 h z .1【答案】3三.解答題38.(2009湖北卷理)(本小題滿分13分)(注意：在試題卷上作答無效)11已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn =

27、-an-(-)+2 (n為正整數(shù))。2(I)令bn =2nan ,求證數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列 4的通項(xiàng)公式；(n)令cn=-1an,=0+02+cn試比較Tn與5n的大小，并予以證n n n n 2n 1明。 TOC o 1-5 h z 11解析：(I)在 Sn = an-(-)n+2中，令 n=1,可得S1=an1+2 = a1，即a1=22當(dāng) n 之2 時(shí)，a。一(工) +2. a0= Sn 0=a0+a0+ (4)n，22二 2an =an+(1)n；即2nan =2、+1. 2；bn =2nan,二 bn =bn+1,即當(dāng)n 2時(shí),bn bn=1.又b =2a1 =1,二數(shù)列bn

28、是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.于是 bn =1 . (n -1)1 = n = 2nan，. an =二.2 TOC o 1-5 h z 一 n 11 n(II)由(I)得 Cn=an =(n+1)(一),所以 n2Tn =2 1 3 (-)2 4 (-)3 K (n 1)(1)n 22221 21 31 41 Tn =2 ()2 3 (一)3 4 (一)4 K(n 1)(一)n 222211cle 1 一1 .1 21 3 n11 n 1由-得一 Tn =1 +(-)+(-)+K +(-)(n+1)()2222二11、n 1-(n+1)(2)n 32n 1Tn =35n o n 3 5n (

29、n 3)(2n-2n-1) 32n 12n2n 12n(2n 1)于是確定Tn與-n-的大小關(guān)系等價(jià)于比較2n與2n +1的大小2n 1由 2 ：二2 1 1;22 ： 2 2 1;23 ： 2 3 1;24 ： 2 4 1;25 ： 2 5;K可猜想當(dāng)n之3時(shí),2n2n+1.證明如下：證法1： (1)當(dāng)n=3時(shí)，由上驗(yàn)算顯示成立。(2)假設(shè) n = k +1 時(shí) 2k* =2g2k 2(2k +1)= 4k +2 = 2(k +1)十1 十(2k 1) a 2(k+1)+1所以當(dāng)n = k +1時(shí)猜想也成立綜合(1) (2)可知，對(duì)一切n之3的正整數(shù)，都有2n 2n+1.證法2：當(dāng)n之3時(shí)2

30、n 二(11)n=C0C1C2K CnCnC0C1Cn JCn=2n 2 2n 1 TOC o 1-5 h z n n n nnnn nn n nnn綜上所述，當(dāng)n=1,2時(shí)Tn 32n 12n 139. (2009四川卷文)(本小題滿分14分)設(shè)數(shù)列%的前n項(xiàng)和為Sn ,對(duì)任意的正整數(shù)n ,都有an =5& +1成立，記an*bn =-(n w N )。- an(I)求數(shù)列QJ與數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(II )設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為R ,是否存在正整數(shù) k ,使得Rn至4k成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)k ；若不存在，請(qǐng)說明理由；(III )記 =dn -bnUM N*),設(shè)數(shù)列 夠的前n項(xiàng)和為

31、Tn,求證：對(duì)任意正整數(shù)n都有 Tn ： 3 ；1【斛析】(I)當(dāng) n =1 時(shí)，a1 = 5 +1,二 a1 =-4又;an =5Sn 1,an1 =5Sn1 1.an廠烝=5*用手11 .數(shù)列an是首項(xiàng)為a1=,公比為q =的等比數(shù)歹U, 44*(n N)nn4+(；)b 11-(-1),4(II )不存在正整數(shù)k ,使得Rn之4k成立。證明：由(I)知bn14 (-)nJ451Tn51/2k 1.1/ 2k j(-4)-1 (-4) -1二82016k -1 16k 415 16k -40-=8 -k :二 8.(16k -1)(1 4)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m(mwN*)R =(b b

32、2) (b3 b4)I卜(dmb2m) ：8m=4n當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m1(mwN*)R =(h b2) (b3 b4) IH (dmb2m b2m8(m-1) 4 = 8m-4 = 4n對(duì)于一切的正整數(shù)n,都有Rn ： 4k不存在正整數(shù)k,使得Rn之4k成立。(III )由 bn =4 +(-4)n -1,155Cn - b2n 4b2n - 2n -2n 4-4-14115 16n15 16n15 16n(16n -1)(1G 4) - (16n)2 3 16n -4(16n)21516n TOC o 1-5 h z 134又 bi =3,b2 = ,： C2 =-,33.3當(dāng) n =

33、1 時(shí)，T1 -, 2當(dāng)n 之2時(shí),1 xn _21-(舟16116269 3T =一 -1 48 2 16141114Tn 25 ( 23 .山)= . 25 16：-25 -3114分n 3162 16316n3(2008 全國一 22).設(shè)函數(shù) f (x) =x xln x.數(shù)列an滿足 0a1 1, an=f(an).(i)證明：函數(shù) f (x)在區(qū)間(0,1)是增函數(shù)；(n)證明：an an+ a 證明：ak書 a b .a1 ln b解析：(i)證明：f(x)=xxlnx, f(x )=ln x,當(dāng) xw (0,1)時(shí),f(x)=lnx0故函數(shù)f(x聲區(qū)間(0,1)上是增函數(shù);(n)證明：(用數(shù)學(xué)歸納法)(i )當(dāng)n=1時(shí)，0a11, a1 ln a1 0 ,a2 = f (a1) = a1 -a11nda1由函數(shù)f (x)在區(qū)間(0,1)是增函數(shù)，且函數(shù)f (x)在x = 1處連續(xù)，則f(x)在區(qū)間(0,1是增函數(shù)，a2 = f(a)=a1 ailna11,即