高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)四平面向量

1、2008高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)四 平面向量【考點(diǎn)審視】：向量是數(shù)學(xué)中的重要概念，以向量為工具可以把幾何問(wèn)題（平面、空間）轉(zhuǎn) 化為簡(jiǎn)單的向量運(yùn)算，變抽象的邏輯推理為具體的向量運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)形與數(shù)的結(jié)合.有關(guān)向量的命題，具有很強(qiáng)的時(shí)代氣息，深受命題者的喜愛(ài).綜觀近幾屆高考，向量由只考關(guān)于向量概念或運(yùn)算小題，到考察以向量為背景的解析幾何大題.尤其與圓錐曲線的綜合有一定難度 .在有些立體幾何的解答題中， 建立空間直角坐標(biāo)系， 以向量為工具，運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)和數(shù)量積解 決角度、長(zhǎng)度的問(wèn)題，比傳統(tǒng)立體幾何方法更簡(jiǎn)便快捷.向量與三角函數(shù)有著密切的聯(lián)系，一個(gè)以向量和三角函數(shù)為載體的數(shù)學(xué)問(wèn)題能考察中學(xué)數(shù)學(xué)多方面的內(nèi)容，

2、更能考察學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力，所以向量?jī)?nèi)容在高考中的分值會(huì)逐漸增加.平面向量大題在以前高考卷很少單獨(dú)出現(xiàn)，估計(jì)以后將會(huì)成為高考的一個(gè)命題點(diǎn).但在高考中，平面向量與其他章節(jié)的綜合題已經(jīng)出現(xiàn)，因此，在復(fù)習(xí)中一方面要重視教材的基礎(chǔ)作用，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí).做到概念清、運(yùn)算準(zhǔn)，對(duì)于定比分點(diǎn)、圖形平移等要掌握公式及尋求規(guī)律；另一方面，也要注意 綜合能力的訓(xùn)練，平面向量與空間向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算是高考重點(diǎn)，復(fù)習(xí)中要注意培養(yǎng)準(zhǔn)確運(yùn)算能力和靈活運(yùn)用知識(shí)的能力 .【疑難點(diǎn)撥】.與向量概念有關(guān)的問(wèn)題向量不同于數(shù)量，數(shù)量是只有大小的量（稱(chēng)標(biāo)量），而向量既有大小又有方向；數(shù)量可以比較大小，而向量不能

3、比較大小，只有它的模才能比較大小.記號(hào)“ ab”錯(cuò)了，而ai| b |才有意義.有些向量與起點(diǎn)有關(guān)，有些向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān).由于一切向量有其共性（力和方向），故我們只研究與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量（既自由向量）.當(dāng)遇到與起點(diǎn)有關(guān)向量時(shí)，可平移向量.平行向量（既共線向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量 相等的必要條件單位向量是模為1的向量，其坐標(biāo)表示為（x,y）,其中x、y滿(mǎn)足x2 + y2 = 1 （可用（cos 0 ,sin 6 ） （0W 日 w 2 兀）表示）.零向量0的長(zhǎng)度為0,是有方向的，并且方向是任意的，實(shí)數(shù)0僅僅是一個(gè)無(wú)方向的實(shí)數(shù).有向線段是向量的一種表示方法，并不是說(shuō)

4、向量就是有向線段2.與向量運(yùn)算有關(guān)的問(wèn)題向量與向量相加，其和仍是一個(gè)向量當(dāng)兩個(gè)向量a和b不共線時(shí)，a + b的方向與a、b都不相同，且|a + b|a|+|b|;當(dāng)兩個(gè)向量a和6共線且同向時(shí)，a+6、a、6的方向都相同，且|a + b|=|a| + |b|；當(dāng)向量a和b反向時(shí)，若|a|b|, a+b與a方向相同，且| a + b|=| a |-| b | ；若 |a|v|b| 時(shí)，a+b 與 b 方向相同，且 | a + b |=| b |-| a |.向量與向量相減，其差仍是一個(gè)向量.向量減法的實(shí)質(zhì)是加法的逆運(yùn)算 .圍成一周首尾相接的向量（有向線段表示）的和為零向量 如，AB + BC +C

5、A = 0,（在 ABC中）AB + BC+CD+ DA=0.（ DABCE）判定兩向量共線的注意事項(xiàng)如果兩個(gè)非零向量 a , b,使a = xb （入cr）,那么a / b ； +*f*反之，如a/ b ,且bw 0,那么a =入b.這里在“反之”中，沒(méi)有指出a是非零向量，其原因?yàn)?=0時(shí)，與入b的方向規(guī)定為平行.數(shù)量積的8個(gè)重要性質(zhì)兩向量的夾角為 0w日w兀.由于向量數(shù)量積的幾何意義是一個(gè)向量的長(zhǎng)度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可負(fù)、可以為零，故向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)設(shè)a、b都是非零向量，e是單位向量，8是a與b的夾角，則e a =a e 二| a | cos?.（ | e|

6、二1）a _L bu a b = 0 （ = 日=90 , cos日=0）在實(shí)數(shù)運(yùn)算中 ab=0= a=0或b=0.而在向量運(yùn)算中 a，b=0u a=0或b=0是錯(cuò)誤的，故a =0或b = 0是a b=0的充分而不必要條件.當(dāng) a與 b 同向時(shí) a b = | a | | b |（ 0 =0,cos = =1）；當(dāng)a與b反向時(shí)，a b =-| a | -|b | （日=兀,cos = =-1）,即a / b的另一個(gè)充要條件是|a b|=|a| |b|.2 2特殊情況有a a = a =| a | .或 | a |= . a a =. a = x2 y2 .如果表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的

7、坐標(biāo)分別為（x1, y1 ）,（ x2 , y2 ）,則|a|= ,（xi -X2）2 （yi - y2）2| a b | a| | b |。（因 cos。1）數(shù)量積不適合乘法結(jié)合律.如（a b） c#a （b c）.（因?yàn)椋╝ b） c與c共線，而a （b 與a共線）數(shù)量積的消去律不成立.若a、b、c是非零向量且a 5=6 5并不能得到a=b這是因?yàn)橄蛄坎荒茏鞒龜?shù)，即1c是無(wú)意義的.6.與平面向量基本定理及平移有關(guān)的問(wèn)題平面向量基本定理是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ),它表明同一平面內(nèi)的任一向量都可表不為其他兩個(gè)不共線向量的線性組合.平面向量基本定理可聯(lián)系物理學(xué)中力的分解模型進(jìn)行理解。點(diǎn)的平移公式：

8、點(diǎn)P(x, y)按給定平移向量a = (h, k),平移后得新點(diǎn)p (x ； y)的坐標(biāo)公式為x = x + h,=y= y+k；反之，由新點(diǎn)求舊點(diǎn)公式變?yōu)閤 = x，-h,j = y-k；由新舊兩點(diǎn)求平移向量公式為h = x，- x,1k = y-y.圖象(圖形)平移：給定平移向量a=( h,k),由舊解析式求新解析式，用公式x = x 一h,j = y-k代入舊解析式中，整理得到；由新解析式求舊解析式，用公式x，= x + h,=V = y+ k(x, y)、平移后的坐標(biāo)(x： y)、平移向量坐標(biāo)代入新式，整理得到。應(yīng)用以上公式要注意公式中平移前的坐標(biāo)(h,k)都在同一坐標(biāo)系中。確定平移向

9、量一般可采用如下兩種方法:其一，配湊法：按題目要求進(jìn)行配湊，如將y = 2sin(3x-一)+ 3化簡(jiǎn)，即可配湊為:6y3 =2sin 3(x - ),則公式為18二x -18此時(shí)平移向量為(-,-3).18h, k.其二，待定系數(shù)法：按要求代入公式，再根據(jù)題目要求求出 【經(jīng)典題例】【例1】a,b是不共線的兩個(gè)向量,已知 AB = 2a kb,BC = a b,CD = a - 2b,若A,B, D三點(diǎn)共線，求k值.【思路分析】由于A,B, D三點(diǎn)共線，因此必存在實(shí)數(shù) 九，使AB = ?uBD ,因而可根據(jù)已知條件 和向量相等的條件得到關(guān)于 九,k的方程，從而求k.解：略. k =-1.【點(diǎn)評(píng)

10、】用向量共線的充要條件有時(shí)可以很容易解決幾何中的三點(diǎn)共線問(wèn)題【例2】證明三角形三條高線交于一點(diǎn).【思路分析】此題可利用“形”、“數(shù)”結(jié)合的方法，通過(guò)直角坐標(biāo)系將幾何圖形數(shù)字化，則問(wèn) 題解決更簡(jiǎn)潔、更易接受 證明：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè) OB =(Xi，0),OA=(0,y3),OC =3,0) ,OP =(0,y )BP CA,. BP CA = x1x2 yy3 = 0 CP AB 二一(x1x2 yy3),. CP AB =0,所以CP是AB上的高，故 AABC的三條高交于一點(diǎn) P .【點(diǎn)評(píng)】本題把兩直線是否垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)非零向量的數(shù)量積是否為零的問(wèn)題【例3】已知向量oPi,oP2,

11、oP3滿(mǎn)足條件 0Pl OF2 OP, =O, |OP |=|OP, |=|OP3 |=1,求證： P1P2P3是正三角形.【思路分析】觀察條件中的兩個(gè)等式，聯(lián)系向量模及加法的幾何意義 ，可構(gòu)造圖形巧證.如圖1. 又據(jù)條件易知 O為定點(diǎn)，故可適當(dāng)選取坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將幾何問(wèn)題代數(shù)化.如圖 2. 也 可 聯(lián) 想 三 角 知 識(shí) 進(jìn) 行 坐 標(biāo) 選 取.如OR =(cosa ,sina),OP2 =(cosP,sinP),OP3 =(cosY,sinY)使得選取具有任意性 .且巧妙 運(yùn)用了三角變形.證明ARP2P3為正三角形可從邊或角的關(guān)系著手，聯(lián)系兩個(gè)向量數(shù)量積的有 關(guān)知識(shí)可獲得兩種

12、證法.P3P2PlP證法一：如圖1略.證法2如圖2略.證法三：據(jù) | OP11= |OF2 |=|OP3 |=1,令OR = (cos=,sin =),。耳=(cos ：,sin ),OP3 = (cos ,sin ). 一cosa +cosP +cos? =0由 OR +OP2+OP3 =O得 3口jsin +sin B +sin ? = 0可求得| OP| |= |OP2 | =|OP3 | = 73,所以APP2P3為正三角形.證法四：設(shè) OP =a,OP2 =b,OP3 =c,1由已知得a b = - a | OP |= |OP2 | = |OP3 | = =| BAi | |CBi

13、|101 依題息得 Ci(0,0,2),M(, ,2)21 1 AB=(-1,1,-2), C1M =( ,0).12 2-11AB C1M =0=0.2 2 .福，市，A1BXC1M .【點(diǎn)評(píng)】利用題中已知條件，選取恰當(dāng)點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，并寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是這類(lèi)題的關(guān)鍵.【例6】四棱錐 PABCD中，底面 ABCD是一個(gè)平行四邊形，AB =2,-1,4AD =4,2,0, AP =-1,2,-1.求證：PA，底面ABCD;求四棱錐P- ABCD勺體積；對(duì)于向量 a =X1, 丫1，4, b=x2, y2, Z2, c =x3, y3, Z3,定義一種運(yùn)算(a x b)c=x1y2Z3+X2y

14、3Z1+X3WZ2-x1y3Z2-X2yiZ3乂3丫24.試計(jì)算（AB x AD），AP的絕對(duì)值的值；說(shuō)明其與四棱錐 P-ABCD體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運(yùn)算（AB x AD），AP的絕對(duì)值的幾何意義.【思路分析】根據(jù)所給向量的坐標(biāo)，結(jié)合運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算.解： AP AB = -2-2+4=0/.APAB又 AP AD =-4+4+0 =0, API AD,AB AD 是底面 ABCD 的兩條相交直線，API 底 面 ABCD設(shè)AB與AD的夾角為6,則cos 二AB AD|AB| |AD |8-2 034 1 16 . 16 4105V| AB| | 詬 | sine 1 AP |= 2

15、105.,1-9-1 +4 + 1 =1633,105|（ AB x AD ） AP |=|-4-32-4-8|=48.它是四棱錐P- ABC冰積的3倍.猜測(cè):| （ AB X AD） AP|在幾何上可表示以 AR AD AP為棱的平行六面體的體積（或以ARAD AP為棱的直四棱錐的體積）。【點(diǎn)評(píng)】本題考察空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量的數(shù)量積、空間向量垂直的充要條件、空間向量夾角運(yùn)算公式和直線與平面垂直的判定定理、棱錐的體積公式等 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark144 o Current Document 22【例7】如圖，已知橢圓x +丫 =1,直線l2

16、416X +、= 1, P是l上一點(diǎn)，射線 OP交橢圓與點(diǎn) 128R又點(diǎn)Q在OP上，且滿(mǎn)足|OQ OP= |OR|2.當(dāng)點(diǎn)P在L上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn) Q的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線.【思路分析】將OP,OQ,OR看作向量，則它們共線而切同向，利用向量共線的充要條件，結(jié) 合平面向量的坐標(biāo)表示可迅速解題 解：設(shè) OQ =(x,y),OP =(Xp,yp),OR =(xR,yR). OP、OQ 同向，且 |OQ OP|=|OR|2,，而=_0 OQ=IOR!- Oq |OQ|OQ|2Xp =yp =|OR| |OQ| |OR| |OQ|2萬(wàn)x,22 y,2代入L方程得|OR|9 ( x + y) =1

17、|OQ|2 12 8Xr丁 OROQ同向二yR叫 |OQ| 陽(yáng)y |OQ|代入橢圓方程得2|OR|222|OQ|2 (24 W22由、得 +-(x.y不全為2416128、(x -1) (y-1) /上0),二點(diǎn)Q的軌跡為橢圓-+ - = 1 (去5523掉原點(diǎn)）.【點(diǎn)評(píng)】解析幾何解答題中以向量知識(shí)為主線，用向量坐標(biāo)形式表示已知條件可達(dá)到解題目的【例8】從拋物線y=x2外的一點(diǎn)P （a, b）向該拋物線引切線 PA PB. 求切點(diǎn)A, B的坐標(biāo).（其中A的x坐標(biāo)大于B的x的坐標(biāo)）.求PA PB的值. 當(dāng)/APB為銳角時(shí)，求點(diǎn) P的縱坐標(biāo)的取值范圍.解： 從y=x2得y=2x,因此設(shè)切點(diǎn)的x坐標(biāo)

18、為Xi ,切線方程便為 222y =2xx1 X1 .由于該切線通過(guò) P點(diǎn)，從而二242 b.由于引出兩條切線，故a -b0所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為 A(a，a2 - b,2a2 - b 2a , a2 - b),B(a _ . a2 -b,2a2 -b -2a a2 -b). PA PB =(4b 1)(b-a2)1 若/APB為銳角，則有PA PB0,所以4b+10因此P的縱坐標(biāo)的取值范圍是 b-4【熱身沖刺】一.選擇題.已知向量a和b反向，則下列等式成立的是().A.| al T b 1=1 a blb. | a b | =|a - b | -fc-C. |a| + |b| =| a b lD.

19、|a| |b|=|a b|.已知向量a = (x, y),其中x w 1,2,4,5, t y w 2,4,6,8, ,則滿(mǎn)足條件的不共線的向量共有 ().A.16 個(gè) B.13 個(gè) C.12 個(gè) D.9 個(gè).函數(shù)y =sin2x的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是y = cos2x+1，則a等于().A. -,1 B.,1 I4 )4 4 JC. - 1 ID. 1 I 2, J10B.竺3333.已知向量 a = ( 2cosa,2sina), b =(3cos P,3sin P), a與 b 的夾角為 60 ,則直線1221 一 HYPERLINK l bookmark127 o C

20、urrent Document xcosa - ysin +=0與圓(xcosB) +(y+sinP)= 的位置關(guān)系是( ). 22A.相切B.相交C.相離D.隨a、3的值而定.平面上有四個(gè)互異的點(diǎn) A B、C D,已知(DB+DC2DA)，(ABAC) =0，則AABC的形狀是().A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形.已知AABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD =2 DB,CD =rAB+sAC,則r + s的值是().A.B.C.-3D.08.已知A、B、C三點(diǎn)共線，且A B、C三點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為2、5、10,則A點(diǎn)分BC所得的比是().B.C.D.下列說(shuō)法正確的是

21、(A.B.C.D.任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底 單位正交基底中的基向量模為 1,且互相垂直 不共面的三個(gè)向量就可構(gòu)成空間的單位正交基底 只要對(duì)空間一點(diǎn)P存在三個(gè)有序?qū)崝?shù)x,y,z,使O,A,B,C四點(diǎn)滿(mǎn)足OP=x OA + y OB+z OC,則OAOB,OC就構(gòu)成空間的一個(gè)基底.同時(shí)垂直于a =(2,2,1 )b= (4,5,3 )的單位向量是()A 12 2.122、11 212 2122A. (-,-,-)B.( -,-,-) C.( -, ,-)D.( 一，一 一，一)或(一一，一，一)3 3 33 333 3 33 3 33 33.若 A(3cos%3sin%1), B

22、(2cose,2sinH,1),則| AB | 的取值范圍是()A.0,5B.1,5C.(1,5)D.1,25.已知 F1 =i +2j +3k,F2 =-2i +3j -k, F3 =3i 4j +5k,若 F1,F2,F3 共同作用在一個(gè)物體上，使物體從點(diǎn)Mi(1,N,1)移到點(diǎn)M2(3,1,2)，則合力所做的功為()A. 10B.12C.14D.16二.填空題.若對(duì)n個(gè)向量,，羨存在n個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)K,k2,，K ,使得k1 a1 +k2a2 +，+ knan =o成立，則稱(chēng)向量a1,a2，an為“線性相關(guān)”.依此規(guī)定，能說(shuō)明01=(1,0)3 =(1,1),=(2,2)“線性相關(guān)”的

23、實(shí)數(shù)k1,k2,k3依次可以取 (寫(xiě)出一組數(shù)值即可，不必考慮所有情況).若直線x +2y +m =0按向量a =(-1,-2泮移后與圓C : x2 + y2 +2x _4y = 0相切，則 實(shí)數(shù)m的值等于 .15T.已知 AABC 中，CB = a, CA = b,a b 0.fc f用k表示a b;求a b的最小值，并求此時(shí)a與b夾角H的大小.C 1 A 1.如圖，正方形 ACGA與等腰直角 ACB互相垂直，/ ACB=900, E、F分別是AB BC的中點(diǎn)，G是AA上的點(diǎn).如果ACi _L EG試確定點(diǎn)G的位置；G在滿(mǎn)足條件的情況下，試求 cosv ACi,GF 的值.如圖，已知三棱錐 P

24、-ABC在某個(gè)空間直角坐標(biāo)系中，AB = (、3m, m,0),AC =(0,2m,0), AP =(0,0,2n).畫(huà)出這個(gè)空間直角坐標(biāo)系，并指出AB與Ox軸的正方向的夾角.求證：AP _L BC;B3若M為BC的中點(diǎn)，n= 3m,2求直線AM與平面PBCW成角白大小.答案選擇題答案：1.C; 2.C; 3.B; 4.B; 5.C; 6.B; 7.D; 8.C; 9.B; 10.D; 11.B; 12.C填空題答案：13.只要寫(xiě)出-4c,2c,c 中一組即可.14.3 或13.15.150 .16.31;362777解答題答案(9,5)即17. 設(shè)點(diǎn) C 坐標(biāo)為(X0,y0 ), 又 AC = AD + AB = (3,5) + (6,0)(Xo -1,y0 -1)=(9,5),a X0=10,y。=6,即點(diǎn) C(0,6).設(shè) P(x, y),則 BP = AP AB = (x-1, y-1) -(6,0) = (x 7, y 1)-1-1”, 1-AC =AM MC =AB 3MP =AB 3(AP AB) 222=3AP - AB =(3(x-1),3(y-1)-(6,0) =(3x-9,3y-3)丁 aB =記，, ABCM菱形.AC AD.即(x -7, y -1) (3x -9,3y -3)