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文檔簡介
1、2008高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)四 平面向量【考點審視】:向量是數(shù)學(xué)中的重要概念,以向量為工具可以把幾何問題(平面、空間)轉(zhuǎn) 化為簡單的向量運算,變抽象的邏輯推理為具體的向量運算,實現(xiàn)形與數(shù)的結(jié)合.有關(guān)向量的命題,具有很強的時代氣息,深受命題者的喜愛.綜觀近幾屆高考,向量由只考關(guān)于向量概念或運算小題,到考察以向量為背景的解析幾何大題.尤其與圓錐曲線的綜合有一定難度 .在有些立體幾何的解答題中, 建立空間直角坐標(biāo)系, 以向量為工具,運用空間向量的坐標(biāo)和數(shù)量積解 決角度、長度的問題,比傳統(tǒng)立體幾何方法更簡便快捷.向量與三角函數(shù)有著密切的聯(lián)系,一個以向量和三角函數(shù)為載體的數(shù)學(xué)問題能考察中學(xué)數(shù)學(xué)多方面的內(nèi)容,
2、更能考察學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造性解決問題的能力,所以向量內(nèi)容在高考中的分值會逐漸增加.平面向量大題在以前高考卷很少單獨出現(xiàn),估計以后將會成為高考的一個命題點.但在高考中,平面向量與其他章節(jié)的綜合題已經(jīng)出現(xiàn),因此,在復(fù)習(xí)中一方面要重視教材的基礎(chǔ)作用,加強基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí).做到概念清、運算準(zhǔn),對于定比分點、圖形平移等要掌握公式及尋求規(guī)律;另一方面,也要注意 綜合能力的訓(xùn)練,平面向量與空間向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運算是高考重點,復(fù)習(xí)中要注意培養(yǎng)準(zhǔn)確運算能力和靈活運用知識的能力 .【疑難點撥】.與向量概念有關(guān)的問題向量不同于數(shù)量,數(shù)量是只有大小的量(稱標(biāo)量),而向量既有大小又有方向;數(shù)量可以比較大小,而向量不能
3、比較大小,只有它的模才能比較大小.記號“ ab”錯了,而ai| b |才有意義.有些向量與起點有關(guān),有些向量與起點無關(guān).由于一切向量有其共性(力和方向),故我們只研究與起點無關(guān)的向量(既自由向量).當(dāng)遇到與起點有關(guān)向量時,可平移向量.平行向量(既共線向量)不一定相等,但相等向量一定是平行向量,既向量平行是向量 相等的必要條件單位向量是模為1的向量,其坐標(biāo)表示為(x,y),其中x、y滿足x2 + y2 = 1 (可用(cos 0 ,sin 6 ) (0W 日 w 2 兀)表示).零向量0的長度為0,是有方向的,并且方向是任意的,實數(shù)0僅僅是一個無方向的實數(shù).有向線段是向量的一種表示方法,并不是說
4、向量就是有向線段2.與向量運算有關(guān)的問題向量與向量相加,其和仍是一個向量當(dāng)兩個向量a和b不共線時,a + b的方向與a、b都不相同,且|a + b|a|+|b|;當(dāng)兩個向量a和6共線且同向時,a+6、a、6的方向都相同,且|a + b|=|a| + |b|;當(dāng)向量a和b反向時,若|a|b|, a+b與a方向相同,且| a + b|=| a |-| b | ;若 |a|v|b| 時,a+b 與 b 方向相同,且 | a + b |=| b |-| a |.向量與向量相減,其差仍是一個向量.向量減法的實質(zhì)是加法的逆運算 .圍成一周首尾相接的向量(有向線段表示)的和為零向量 如,AB + BC +C
5、A = 0,(在 ABC中)AB + BC+CD+ DA=0.( DABCE)判定兩向量共線的注意事項如果兩個非零向量 a , b,使a = xb (入cr),那么a / b ; +*f*反之,如a/ b ,且bw 0,那么a =入b.這里在“反之”中,沒有指出a是非零向量,其原因為5=0時,與入b的方向規(guī)定為平行.數(shù)量積的8個重要性質(zhì)兩向量的夾角為 0w日w兀.由于向量數(shù)量積的幾何意義是一個向量的長度乘以另一向量在其上的射影值,其射影值可正、可負(fù)、可以為零,故向量的數(shù)量積是一個實數(shù)設(shè)a、b都是非零向量,e是單位向量,8是a與b的夾角,則e a =a e 二| a | cos?.( | e|
6、二1)a _L bu a b = 0 ( = 日=90 , cos日=0)在實數(shù)運算中 ab=0= a=0或b=0.而在向量運算中 a,b=0u a=0或b=0是錯誤的,故a =0或b = 0是a b=0的充分而不必要條件.當(dāng) a與 b 同向時 a b = | a | | b |( 0 =0,cos = =1);當(dāng)a與b反向時,a b =-| a | -|b | (日=兀,cos = =-1),即a / b的另一個充要條件是|a b|=|a| |b|.2 2特殊情況有a a = a =| a | .或 | a |= . a a =. a = x2 y2 .如果表示向量a的有向線段的起點和終點的
7、坐標(biāo)分別為(x1, y1 ),( x2 , y2 ),則|a|= ,(xi -X2)2 (yi - y2)2| a b | a| | b |。(因 cos。1)數(shù)量積不適合乘法結(jié)合律.如(a b) c#a (b c).(因為(a b) c與c共線,而a (b 與a共線)數(shù)量積的消去律不成立.若a、b、c是非零向量且a 5=6 5并不能得到a=b這是因為向量不能作除數(shù),即1c是無意義的.6.與平面向量基本定理及平移有關(guān)的問題平面向量基本定理是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ),它表明同一平面內(nèi)的任一向量都可表不為其他兩個不共線向量的線性組合.平面向量基本定理可聯(lián)系物理學(xué)中力的分解模型進(jìn)行理解。點的平移公式:
8、點P(x, y)按給定平移向量a = (h, k),平移后得新點p (x ; y)的坐標(biāo)公式為x = x + h,=y= y+k;反之,由新點求舊點公式變?yōu)閤 = x,-h,j = y-k;由新舊兩點求平移向量公式為h = x,- x,1k = y-y.圖象(圖形)平移:給定平移向量a=( h,k),由舊解析式求新解析式,用公式x = x 一h,j = y-k代入舊解析式中,整理得到;由新解析式求舊解析式,用公式x,= x + h,=V = y+ k(x, y)、平移后的坐標(biāo)(x: y)、平移向量坐標(biāo)代入新式,整理得到。應(yīng)用以上公式要注意公式中平移前的坐標(biāo)(h,k)都在同一坐標(biāo)系中。確定平移向
9、量一般可采用如下兩種方法:其一,配湊法:按題目要求進(jìn)行配湊,如將y = 2sin(3x-一)+ 3化簡,即可配湊為:6y3 =2sin 3(x - ),則公式為18二x -18此時平移向量為(-,-3).18h, k.其二,待定系數(shù)法:按要求代入公式,再根據(jù)題目要求求出 【經(jīng)典題例】【例1】a,b是不共線的兩個向量,已知 AB = 2a kb,BC = a b,CD = a - 2b,若A,B, D三點共線,求k值.【思路分析】由于A,B, D三點共線,因此必存在實數(shù) 九,使AB = ?uBD ,因而可根據(jù)已知條件 和向量相等的條件得到關(guān)于 九,k的方程,從而求k.解:略. k =-1.【點評
10、】用向量共線的充要條件有時可以很容易解決幾何中的三點共線問題【例2】證明三角形三條高線交于一點.【思路分析】此題可利用“形”、“數(shù)”結(jié)合的方法,通過直角坐標(biāo)系將幾何圖形數(shù)字化,則問 題解決更簡潔、更易接受 證明:如圖建立直角坐標(biāo)系,設(shè) OB =(Xi,0),OA=(0,y3),OC =3,0) ,OP =(0,y )BP CA,. BP CA = x1x2 yy3 = 0 CP AB 二一(x1x2 yy3),. CP AB =0,所以CP是AB上的高,故 AABC的三條高交于一點 P .【點評】本題把兩直線是否垂直的問題轉(zhuǎn)化為兩個非零向量的數(shù)量積是否為零的問題【例3】已知向量oPi,oP2,
11、oP3滿足條件 0Pl OF2 OP, =O, |OP |=|OP, |=|OP3 |=1,求證: P1P2P3是正三角形.【思路分析】觀察條件中的兩個等式,聯(lián)系向量模及加法的幾何意義 ,可構(gòu)造圖形巧證.如圖1. 又據(jù)條件易知 O為定點,故可適當(dāng)選取坐標(biāo)系,借助向量的坐標(biāo)運算,將幾何問題代數(shù)化.如圖 2. 也 可 聯(lián) 想 三 角 知 識 進(jìn) 行 坐 標(biāo) 選 取.如OR =(cosa ,sina),OP2 =(cosP,sinP),OP3 =(cosY,sinY)使得選取具有任意性 .且巧妙 運用了三角變形.證明ARP2P3為正三角形可從邊或角的關(guān)系著手,聯(lián)系兩個向量數(shù)量積的有 關(guān)知識可獲得兩種
12、證法.P3P2PlP證法一:如圖1略.證法2如圖2略.證法三:據(jù) | OP11= |OF2 |=|OP3 |=1,令OR = (cos=,sin =),。耳=(cos :,sin ),OP3 = (cos ,sin ). 一cosa +cosP +cos? =0由 OR +OP2+OP3 =O得 3口jsin +sin B +sin ? = 0可求得| OP| |= |OP2 | =|OP3 | = 73,所以APP2P3為正三角形.證法四:設(shè) OP =a,OP2 =b,OP3 =c,1由已知得a b = - a | OP |= |OP2 | = |OP3 | = =| BAi | |CBi
13、|101 依題息得 Ci(0,0,2),M(, ,2)21 1 AB=(-1,1,-2), C1M =( ,0).12 2-11AB C1M =0=0.2 2 .福,市,A1BXC1M .【點評】利用題中已知條件,選取恰當(dāng)點建立空間坐標(biāo)系,并寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)是這類題的關(guān)鍵.【例6】四棱錐 PABCD中,底面 ABCD是一個平行四邊形,AB =2,-1,4AD =4,2,0, AP =-1,2,-1.求證:PA,底面ABCD;求四棱錐P- ABCD勺體積;對于向量 a =X1, 丫1,4, b=x2, y2, Z2, c =x3, y3, Z3,定義一種運算(a x b)c=x1y2Z3+X2y
14、3Z1+X3WZ2-x1y3Z2-X2yiZ3乂3丫24.試計算(AB x AD),AP的絕對值的值;說明其與四棱錐 P-ABCD體積的關(guān)系,并由此猜想向量這一運算(AB x AD),AP的絕對值的幾何意義.【思路分析】根據(jù)所給向量的坐標(biāo),結(jié)合運算法則進(jìn)行運算.解: AP AB = -2-2+4=0/.APAB又 AP AD =-4+4+0 =0, API AD,AB AD 是底面 ABCD 的兩條相交直線,API 底 面 ABCD設(shè)AB與AD的夾角為6,則cos 二AB AD|AB| |AD |8-2 034 1 16 . 16 4105V| AB| | 詬 | sine 1 AP |= 2
15、105.,1-9-1 +4 + 1 =1633,105|( AB x AD ) AP |=|-4-32-4-8|=48.它是四棱錐P- ABC冰積的3倍.猜測:| ( AB X AD) AP|在幾何上可表示以 AR AD AP為棱的平行六面體的體積(或以ARAD AP為棱的直四棱錐的體積)?!军c評】本題考察空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量的數(shù)量積、空間向量垂直的充要條件、空間向量夾角運算公式和直線與平面垂直的判定定理、棱錐的體積公式等 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark144 o Current Document 22【例7】如圖,已知橢圓x +丫 =1,直線l2
16、416X +、= 1, P是l上一點,射線 OP交橢圓與點 128R又點Q在OP上,且滿足|OQ OP= |OR|2.當(dāng)點P在L上移動時,求點 Q的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線.【思路分析】將OP,OQ,OR看作向量,則它們共線而切同向,利用向量共線的充要條件,結(jié) 合平面向量的坐標(biāo)表示可迅速解題 解:設(shè) OQ =(x,y),OP =(Xp,yp),OR =(xR,yR). OP、OQ 同向,且 |OQ OP|=|OR|2,,而=_0 OQ=IOR!- Oq |OQ|OQ|2Xp =yp =|OR| |OQ| |OR| |OQ|2萬x,22 y,2代入L方程得|OR|9 ( x + y) =1
17、|OQ|2 12 8Xr丁 OROQ同向二yR叫 |OQ| 陽y |OQ|代入橢圓方程得2|OR|222|OQ|2 (24 W22由、得 +-(x.y不全為2416128、(x -1) (y-1) /上0),二點Q的軌跡為橢圓-+ - = 1 (去5523掉原點).【點評】解析幾何解答題中以向量知識為主線,用向量坐標(biāo)形式表示已知條件可達(dá)到解題目的【例8】從拋物線y=x2外的一點P (a, b)向該拋物線引切線 PA PB. 求切點A, B的坐標(biāo).(其中A的x坐標(biāo)大于B的x的坐標(biāo)).求PA PB的值. 當(dāng)/APB為銳角時,求點 P的縱坐標(biāo)的取值范圍.解: 從y=x2得y=2x,因此設(shè)切點的x坐標(biāo)
18、為Xi ,切線方程便為 222y =2xx1 X1 .由于該切線通過 P點,從而二242 b.由于引出兩條切線,故a -b0所以切點的坐標(biāo)為 A(a,a2 - b,2a2 - b 2a , a2 - b),B(a _ . a2 -b,2a2 -b -2a a2 -b). PA PB =(4b 1)(b-a2)1 若/APB為銳角,則有PA PB0,所以4b+10因此P的縱坐標(biāo)的取值范圍是 b-4【熱身沖刺】一.選擇題.已知向量a和b反向,則下列等式成立的是().A.| al T b 1=1 a blb. | a b | =|a - b | -fc-C. |a| + |b| =| a b lD.
19、|a| |b|=|a b|.已知向量a = (x, y),其中x w 1,2,4,5, t y w 2,4,6,8, ,則滿足條件的不共線的向量共有 ().A.16 個 B.13 個 C.12 個 D.9 個.函數(shù)y =sin2x的圖象按向量a平移后,所得函數(shù)的解析式是y = cos2x+1,則a等于().A. -,1 B.,1 I4 )4 4 JC. - 1 ID. 1 I 2, J10B.竺3333.已知向量 a = ( 2cosa,2sina), b =(3cos P,3sin P), a與 b 的夾角為 60 ,則直線1221 一 HYPERLINK l bookmark127 o C
20、urrent Document xcosa - ysin +=0與圓(xcosB) +(y+sinP)= 的位置關(guān)系是( ). 22A.相切B.相交C.相離D.隨a、3的值而定.平面上有四個互異的點 A B、C D,已知(DB+DC2DA),(ABAC) =0,則AABC的形狀是().A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形.已知AABC中,點D在BC邊上,且CD =2 DB,CD =rAB+sAC,則r + s的值是().A.B.C.-3D.08.已知A、B、C三點共線,且A B、C三點的縱坐標(biāo)分別為2、5、10,則A點分BC所得的比是().B.C.D.下列說法正確的是
21、(A.B.C.D.任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間的一個基底 單位正交基底中的基向量模為 1,且互相垂直 不共面的三個向量就可構(gòu)成空間的單位正交基底 只要對空間一點P存在三個有序?qū)崝?shù)x,y,z,使O,A,B,C四點滿足OP=x OA + y OB+z OC,則OAOB,OC就構(gòu)成空間的一個基底.同時垂直于a =(2,2,1 )b= (4,5,3 )的單位向量是()A 12 2.122、11 212 2122A. (-,-,-)B.( -,-,-) C.( -, ,-)D.( 一,一 一,一)或(一一,一,一)3 3 33 333 3 33 3 33 33.若 A(3cos%3sin%1), B
22、(2cose,2sinH,1),則| AB | 的取值范圍是()A.0,5B.1,5C.(1,5)D.1,25.已知 F1 =i +2j +3k,F2 =-2i +3j -k, F3 =3i 4j +5k,若 F1,F2,F3 共同作用在一個物體上,使物體從點Mi(1,N,1)移到點M2(3,1,2),則合力所做的功為()A. 10B.12C.14D.16二.填空題.若對n個向量,,羨存在n個不全為零的實數(shù)K,k2,,K ,使得k1 a1 +k2a2 +,+ knan =o成立,則稱向量a1,a2,an為“線性相關(guān)”.依此規(guī)定,能說明01=(1,0)3 =(1,1),=(2,2)“線性相關(guān)”的
23、實數(shù)k1,k2,k3依次可以取 (寫出一組數(shù)值即可,不必考慮所有情況).若直線x +2y +m =0按向量a =(-1,-2泮移后與圓C : x2 + y2 +2x _4y = 0相切,則 實數(shù)m的值等于 .15T.已知 AABC 中,CB = a, CA = b,a b 0.fc f用k表示a b;求a b的最小值,并求此時a與b夾角H的大小.C 1 A 1.如圖,正方形 ACGA與等腰直角 ACB互相垂直,/ ACB=900, E、F分別是AB BC的中點,G是AA上的點.如果ACi _L EG試確定點G的位置;G在滿足條件的情況下,試求 cosv ACi,GF 的值.如圖,已知三棱錐 P
24、-ABC在某個空間直角坐標(biāo)系中,AB = (、3m, m,0),AC =(0,2m,0), AP =(0,0,2n).畫出這個空間直角坐標(biāo)系,并指出AB與Ox軸的正方向的夾角.求證:AP _L BC;B3若M為BC的中點,n= 3m,2求直線AM與平面PBCW成角白大小.答案選擇題答案:1.C; 2.C; 3.B; 4.B; 5.C; 6.B; 7.D; 8.C; 9.B; 10.D; 11.B; 12.C填空題答案:13.只要寫出-4c,2c,c 中一組即可.14.3 或13.15.150 .16.31;362777解答題答案(9,5)即17. 設(shè)點 C 坐標(biāo)為(X0,y0 ), 又 AC = AD + AB = (3,5) + (6,0)(Xo -1,y0 -1)=(9,5),a X0=10,y。=6,即點 C(0,6).設(shè) P(x, y),則 BP = AP AB = (x-1, y-1) -(6,0) = (x 7, y 1)-1-1”, 1-AC =AM MC =AB 3MP =AB 3(AP AB) 222=3AP - AB =(3(x-1),3(y-1)-(6,0) =(3x-9,3y-3)丁 aB =記,, ABCM菱形.AC AD.即(x -7, y -1) (3x -9,3y -3)
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