專題四 第5講 空間幾何體的外接球

1、4/4第5講空間幾何體的外接球空間幾何體的外接球是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)我們可以通過對(duì)幾何體的割補(bǔ)或?qū)で髱缀误w外接球的球心兩大策略求解此類問題例1半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，則這個(gè)半球的體積與正方體的體積之比為()A.eq r(5)6 B.eq r(6)2C2 D512答案B解析將半球補(bǔ)成球，同時(shí)把原半球的內(nèi)接正方體再補(bǔ)接一個(gè)同樣的正方體，構(gòu)成的長(zhǎng)方體恰好是球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是它的外接球的直徑設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，球體的半徑為R，則(2R)2a2a2(2a)2，即Req f(r(6),2)a，V半球eq f(1,2)eq f(4,3)R3eq f(2,3)eq blc(rc)(avs

2、4alco1(f(r(6),2)a)3eq f(r(6),2)a3，V正方體a3，V半球V正方體eq f(r(6),2)a3a3eq r(6)2，故選B.例2已知在三棱錐SABC中，ABBC，ABBC2，SASC2eq r(2)，二面角BACS的大小為eq f(2,3)，則三棱錐SABC的外接球的表面積為()A.eq f(124,9) B.eq f(105,4) C.eq f(105,9) D.eq f(104,9)答案D解析如圖，取AC的中點(diǎn)D，連接BD，SD，則BDSeq f(2,3)，AC2eq r(2)，BDeq r(2)，SDeq r(6).過點(diǎn)D作與平面ABC垂直的直線，則球心O在

3、該直線上，設(shè)球的半徑為R，連接OB，OS，可得OD2R2(eq r(2)2，在OSD中，ODSeq f(,6)，利用余弦定理可得R2R22(eq r(6)22eq r(R22)eq r(6)eq f(r(3),2)，解得R2eq f(26,9)，所以其外接球的表面積為4R2eq f(104,9).例3正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為()A.eq f(81,4) B16 C9 D.eq f(27,4)答案A解析如圖，正四棱錐PABCD的底面中心為H.在底面正方形ABCD中，AHeq r(2)，又PH4，故在RtPAH中，PAeq r(PH2AH2)eq

4、 r(42r(2)2)3eq r(2).則由正四棱錐的性質(zhì)可得，其外接球的球心O在PH所在的直線上，設(shè)其外接球的直徑為PQ2r.又A在正四棱錐外接球的球面上，所以APAQ.又AHPH，由射影定理可得PA2PHPQ，故2rPQeq f(PA2,PH)eq f(3r(2)2,4)eq f(9,2)，所以req f(9,4).故該球的表面積為S4r24eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,4)2eq f(81,4).解決此類問題的關(guān)鍵在于利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定球的球心，利用球的截面的性質(zhì)，球心和球的截面的中心連線垂直于截面結(jié)合相關(guān)幾何量之間的數(shù)量關(guān)系可確定球心1已知圓柱的高為1，它的兩

5、個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A B.eq f(3,4) C.eq f(,2) D.eq f(,4)答案B解析球心到圓柱的底面的距離為圓柱高的eq f(1,2)，球的半徑為1，則圓柱底面圓的半徑req r(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2)eq f(r(3),2)，故該圓柱的體積為Veq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)21eq f(3,4).2在三棱錐PABC中，ABC為等邊三角形，PAPBPC3，PAPB，則三棱錐PABC的外接球的體積為()A.eq f(27,2) B.eq f(27r(3),2) C27eq r(

6、3) D27答案B解析因?yàn)镻APBPC，ABC是正三角形，所以PABPACPBC，由PAPB知，PAPC，PBPC，以PA，PB，PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱作正方體(圖略)，則三棱錐PABC的外接球可看成正方體的外接球，因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)為3eq r(3)，所以其外接球的半徑為Req f(3r(3),2)，外接球的體積為Veq f(4,3)R3eq f(27r(3),2).故選B.3已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑，若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐SABC的體積為9，則球O的表面積為_答案36解析如圖，SC為球O的直徑，O為球心，因?yàn)镾AAC，

7、所以AOSC，同理SBBC，所以BOSC，BOAOO，所以SC平面ABO.又平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，AOSC，AO平面SAC，所以AO平面SBC，所以AOBO.設(shè)球的半徑為R，則AOBOSOCOR，所以V三棱錐SABC2eq f(1,3)SABOSO2eq f(1,3)eq f(1,2)AOBOSOeq f(1,3)R39，所以R3，所以球O的表面積為S4R236.4類比圓的內(nèi)接四邊形的概念，可得球的內(nèi)接四面體的概念，已知球O的一個(gè)內(nèi)接四面體ABCD中，ABBC，BD過球心O，若該四面體的體積為1，且ABBC2，則球O的表面積的最小值為_答案38解析在RtABC中，由ABBC，且ABBC2，得2ABBC2eq r(ABBC)，得ABBC1，當(dāng)且僅當(dāng)ABBC1時(shí)，ABBC取最大值1，BD過球心O，且四面體ABCD的體積為1，三棱錐OABC的體積為eq f(1,2)，則O到平面ABC距離的最小值為eq f(f(1,2),f(1,3)f(1,2)1)3，此時(shí)三角形ABC的外接圓的半徑為e