現(xiàn)代控制理論 大連海事大學(xué)

1、第九章線性系統(tǒng)的狀態(tài)(zhungti)空間分析與綜合共三百七十四頁緒論9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(mio sh)9.2 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性9.3 線性定常系統(tǒng)的線性變換9.4 線性定常系統(tǒng)的反饋結(jié)構(gòu)與狀態(tài)觀測器9.5 李雅普諾夫穩(wěn)定性分析Outline共三百七十四頁 緒論(xln)控制理論發(fā)展(fzhn)概況控制論：1948年 美國數(shù)學(xué)家維納控制論19401950 經(jīng)典控制理論 單機自動化19601970 現(xiàn)代控制理論 機組自動化19701980 大系統(tǒng)理論 控制管理綜合19801990 智能控制理論 智能自動化199021c 集成控制理論 網(wǎng)絡(luò)控制自動化共三百七十四頁1788年，

2、英國Wate利用反饋原理發(fā)明蒸汽機用的離心調(diào)速機。1875年，1895年，英國Routh和德國Hurwitz先后提出判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的代數(shù)方法。1892年，俄國李雅普諾夫在論運動穩(wěn)定性的一般問題中建立了動力學(xué)系統(tǒng)的一般穩(wěn)定性理論。1932年，Nyquist提出了根據(jù)頻率響應(yīng)判斷(pndun)系統(tǒng)穩(wěn)定性的準則。1945年，美國Bode在網(wǎng)絡(luò)分析和反饋放大器設(shè)計中提出頻率響應(yīng)分析法Bode圖。共三百七十四頁1948年，美國(mi u)Wiener在控制論關(guān)于在動物和機器中控制和通信的科學(xué)中系統(tǒng)地論述了控制理論的一般原理和方法。 標志控制學(xué)科的誕生 控制論：研究動物（包括人類）和機器內(nèi)部控制和通信的一

3、般規(guī)律的學(xué)科。1954年，錢學(xué)森的工程控制論在美國出版。 奠定了工程控制論的基礎(chǔ)共三百七十四頁（1）經(jīng)典控制理論 a.特點研究對象：單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng)。解決方法：頻率法、根軌跡法、傳遞函數(shù)。非線性系統(tǒng)：相平面法和描述函數(shù)分析(fnx)。數(shù)學(xué)工具：拉氏變換、常微分方程。 b.局限性難以應(yīng)用于時變系統(tǒng)、多變量系統(tǒng)。難以揭示系統(tǒng)更為深刻的特性。共三百七十四頁(2)現(xiàn)代控制理論 隨著計算機技術(shù)、航空航天技術(shù)的迅速發(fā)展而發(fā)展起來的。 a.特點研究(ynji)對象：多輸入、多輸出系統(tǒng)，線性、定?；驎r變、離散系統(tǒng)。解決方法：狀態(tài)空間法（時域方法）。數(shù)學(xué)工具：線性代數(shù)、微分方程。 b.主要標志1965

4、年，R.Bellman提出了尋求最優(yōu)控制的動態(tài)規(guī)劃方法。共三百七十四頁1958年，R.E.Kalman采用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)，提出能控性、能觀性、Kalman濾波概念1961年，龐特里亞金證明了最優(yōu)控制中的極大值原理。（3）大系統(tǒng)理論(lln) 是指規(guī)模龐大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、變量眾多的信息與控制系統(tǒng)，如生產(chǎn)過程、交通運輸、生物工程、社會經(jīng)濟和空間技術(shù)等復(fù)雜系統(tǒng)。共三百七十四頁復(fù)雜系統(tǒng)的特點：（1）動力學(xué)模型的不確定性（2）測量信息的粗糙性和不完整性（3）動態(tài)行為或擾動(rodng)的隨機性（4）離散層次和連續(xù)層次的混雜性（5）系統(tǒng)動力學(xué)的高度復(fù)雜性（6）狀態(tài)變量的高維性和分布性（7）各系統(tǒng)間的強耦合

5、性共三百七十四頁大系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分為三類： 多級（遞階）控制(kngzh) 多層控制（按任務(wù)） 多段控制（如導(dǎo)彈軌跡控制）公司(n s)工廠車間決策、協(xié)調(diào)、計劃、組織、管理計算機實現(xiàn)生產(chǎn)調(diào)度，過程控制的最優(yōu)化調(diào)節(jié)裝置協(xié)調(diào)控制級遞階控制級局部控制級共三百七十四頁（4）智能控制 是具有某些仿人智能的工程控制與信息處理系統(tǒng)，如智能機器人。 利用知識進行學(xué)習(xux)、推理與聯(lián)想，對環(huán)境干擾與不確定因素具有魯棒性。 主要內(nèi)容： 模糊控制 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制 專家控制、遺傳算法共三百七十四頁(5) 控制理論發(fā)展趨勢企業(yè)：資源共享、因特網(wǎng)、信息集成 信息技術(shù)+控制技術(shù) 集成控制技術(shù)網(wǎng)絡(luò)控制技術(shù) 計算機集成制造(zhz

6、o)CIMS：（工廠自動化） Computer Integrated Manufacturing System應(yīng)用：生物控制、經(jīng)濟控制、社會控制等共三百七十四頁 現(xiàn)代控制理論的主要特點研究對象：線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、多變量系統(tǒng)、連續(xù)與離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)上：狀態(tài)(zhungti)空間法方法上：研究系統(tǒng)輸入/輸出特性和內(nèi)部性能內(nèi)容上：線性系統(tǒng)理論、系統(tǒng)辨識、最優(yōu)控制、自適應(yīng)控制等共三百七十四頁現(xiàn)代控制理論基本內(nèi)容控制理論必須回答的三個問題：（1）系統(tǒng)能否被控制？可控性有多大？（2）如何(rh)克服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的不確定性及干擾帶來 的影響？（3）如何實現(xiàn)滿足要求的控制策略？共三百七十四頁（1）線性系

7、統(tǒng)理論 研究線性系統(tǒng)在輸入作用下狀態(tài)運動過程規(guī)律，揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)、動態(tài)行為之間的關(guān)系。主要內(nèi)容(nirng)： 狀態(tài)空間描述、能控性、能觀性和穩(wěn)定性、狀態(tài)反饋、狀態(tài)觀測器設(shè)計等。共三百七十四頁（2）最優(yōu)控制在給定約束條件和性能指標下，尋找使系統(tǒng)性能指標最佳的控制規(guī)律。主要方法：變分法、極大值原理、動態(tài)規(guī)劃等極大值原理 現(xiàn)代控制理論的核心即：使系統(tǒng)(xtng)的性能指標達到最優(yōu)（最小或最大）某一性能指標最優(yōu)：如時間最短或燃料消耗最小等。共三百七十四頁（3）自適應(yīng)控制 在控制系統(tǒng)(xtng)中，控制器能自動適應(yīng)內(nèi)外部參數(shù)、外部環(huán)境變化，自動調(diào)整控制作用，使系統(tǒng)(xtng)達到一定意義下的最優(yōu)。

8、 a. 模型參考自適應(yīng)控制（Model Reference Adaptive Control) b. 自校正自適應(yīng)控制 （Self-Turning Adaptive Control) 共三百七十四頁（4）系統(tǒng)辨識 建立系統(tǒng)動態(tài)模型的方法： 根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出的試驗數(shù)據(jù)，從一類給定的模型中確定一個被研究系統(tǒng)本質(zhì)特征等價(dngji)的模型，并確定其模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。（5）最佳濾波理論（最佳估計器） 當系統(tǒng)中存在隨機干擾和環(huán)境噪聲時，其綜合必須應(yīng)用概率和統(tǒng)計方法進行。即：已知系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，通過輸入輸出數(shù)據(jù)的測量，利用統(tǒng)計方法對系統(tǒng)狀態(tài)估計。Kalman濾波器共三百七十四頁9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)(z

9、hungti)空間描述共三百七十四頁1 線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述系統(tǒng)描述中常用的基本概念 系統(tǒng)的外部描述 傳遞函數(shù) 系統(tǒng)的內(nèi)部(nib)描述 狀態(tài)空間描述1）.輸入、輸出描述共三百七十四頁System共三百七十四頁2）.松弛(sn ch)性:若系統(tǒng)的輸出 由輸入 唯一確定,則稱系統(tǒng)在 是松弛的。 算子，在 不存儲能量： 瞬時系統(tǒng) 無記憶系統(tǒng)共三百七十四頁對 時刻松弛的系統(tǒng)：對初始(ch sh)松弛的系統(tǒng)：3）.因果性:若系統(tǒng)在t時刻的輸出僅取決于在t時刻之前輸入，而與t時刻之后的輸入無關(guān)，則稱系統(tǒng)具有因果性。 對具有因果性的松弛系統(tǒng)：共三百七十四頁4）.線性:一個松弛系統(tǒng),當且僅當對任何輸入 及任意

10、常數(shù) ,均有(可加性), (齊次性),則該系統(tǒng)稱為線性的，否則為非線性。5）.定常性（時不變性）:(1)定義: -位移(wiy)算子共三百七十四頁共三百七十四頁(2)一個松弛系統(tǒng)當且僅當對任何輸入u和任意實數(shù) , 均有則稱系統(tǒng)是定常的。2 狀態(tài)空間(kngjin)的基本概念1).狀態(tài):表征系統(tǒng)運動的信息和行為。2).狀態(tài)變量：完全表征系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小 一組變量。3).狀態(tài)向量：共三百七十四頁4).狀態(tài)空間：以n個狀態(tài)變量作為坐標軸所組成的n維空間.5).狀態(tài)方程： 6).輸出方程(fngchng)：7).狀態(tài)空間表達式(動態(tài)方程)：A，B，C，D 共三百七十四頁線性時變(sh bin)系統(tǒng)線

11、性定常系統(tǒng)(xtng)線性定常離散系統(tǒng)共三百七十四頁8). 線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖共三百七十四頁State trajectory共三百七十四頁3.狀態(tài)空間表達式的建立例：求圖示機械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式外力(wil) 位移 牛頓(ni dn)力學(xué)定律令-彈性系數(shù)阻尼系數(shù)共三百七十四頁動態(tài)(dngti)方程如下共三百七十四頁狀態(tài)(zhungti)空間表達式為： 共三百七十四頁解：以 作為中間變量(binling)，列寫該回路的微分方程 1） 選 例： 求圖示RLC回路的狀態(tài)(zhungti)空間表達式共三百七十四頁 為系統(tǒng)兩狀態(tài)變量，則原方程可化成寫成矩陣向量(xingling)的形式為： 共三百七十四頁

12、令 為狀態(tài)(zhungti)向量則：共三百七十四頁2）設(shè)狀態(tài)變量3）設(shè)狀態(tài)變量共三百七十四頁共三百七十四頁可見，系統(tǒng)(xtng)的狀態(tài)空間不具有唯一性。選取不同的狀態(tài)變量就會有不同的狀態(tài)空間表達式，但都描述了同一系統(tǒng)。描述同一系統(tǒng)的不同狀態(tài)空間表達式存在線性變換關(guān)系。例如：設(shè)共三百七十四頁4 線性定常連續(xù)(linx)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式微分方程、傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖求 A，B，C，Da. 由系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達式1）系統(tǒng)輸入量中不含導(dǎo)數(shù)項共三百七十四頁選?。籂顟B(tài)(zhungti)空間表達式：共三百七十四頁共三百七十四頁共三百七十四頁u0bnx&S1nxS11-nx2xS11xy1-na2-

13、na1a0a共三百七十四頁例： 設(shè) 求（A，B，C，D）解：選 共三百七十四頁 狀態(tài)(zhungti)空間表達式為共三百七十四頁2）系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項 如果單輸入單輸出系統(tǒng)的微分方程(wi fn fn chn)為： 一般輸入量中導(dǎo)數(shù)項的次數(shù)小于或等于系統(tǒng) 的次數(shù)n。為了避免在狀態(tài)方程中出現(xiàn)u的導(dǎo) 數(shù)項，可以選擇如下的一組狀態(tài)變量。 設(shè) ，選?。汗踩倨呤捻?共三百七十四頁 共三百七十四頁共三百七十四頁將 代入 得：共三百七十四頁共三百七十四頁共三百七十四頁 選擇(xunz) ，使得上式中u的各階導(dǎo)數(shù)項的系數(shù)都等于0，即可解得：共三百七十四頁 令上式中u的系數(shù)為 ，則： 最后(zuhu)可

14、得系統(tǒng)的狀態(tài)方程： 共三百七十四頁 可寫成向量(xingling)-矩陣的形式： 即：共三百七十四頁共三百七十四頁當 時，可令 得到所需要(xyo)的結(jié)果。也可按教材P408所示選取變量，取得可觀測標準型。共三百七十四頁 狀態(tài)變量結(jié)構(gòu)圖nx&unx1nh-S1S1nh1-nx2x&1hS1S11x0hy1-na2-na1a0a共三百七十四頁例： 試寫出它的狀態(tài)(zhungti)空間表達式。 解： 則：共三百七十四頁 狀態(tài)(zhungti)空間表達式為共三百七十四頁 共三百七十四頁 b.傳遞函數(shù)化為狀態(tài)空間表達式設(shè)單輸入(shr)/輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)： 共三百七十四頁 嚴格(yng)真分式傳函

15、前饋系數(shù)上式中的系數(shù)用長除法得到：共三百七十四頁（1） 串聯(lián)(chunlin)分解的形式共三百七十四頁 選取(xunq)狀態(tài)變量共三百七十四頁則狀態(tài)方程為：共三百七十四頁輸出(shch)方程為：寫成向量-矩陣形式為：共三百七十四頁共三百七十四頁這樣(zhyng)的A陣又稱友矩陣，若狀態(tài)方程中的A，b具有這種形式，則稱為可控標準型。當 時，A，b不變。系統(tǒng)A，b，C，D稱為G（s）的可控標準形實現(xiàn)。共三百七十四頁unx&nx1-nx2x&1xS1S1S11-na2-na1a0anb共三百七十四頁當 時，若按教材(jioci)P408式（9-26）選取變量，則系統(tǒng)的A，b，c矩陣為具有A,c形式(

16、xngsh)為可觀測標準型。友矩陣的轉(zhuǎn)置共三百七十四頁可控標準型與可觀測(gunc)標準型的對偶關(guān)系：C-ControllableO-ObservableT-Transpose共三百七十四頁例：試求的可控標準(biozhn)形。 解：該系統(tǒng)傳遞函數(shù)：共三百七十四頁 串聯(lián)(chunlin)分解并引入中間變量令共三百七十四頁則：可控標準型狀態(tài)變量圖共三百七十四頁可觀(kgun)標準形可觀測(gunc)標準型狀態(tài)變量圖共三百七十四頁 并聯(lián)分解（對角標準形）把傳遞函數(shù)展開成部分分式求取狀態(tài)(zhungti)空間表達式 只含單實極點， 設(shè) 可分解為：其中 為系統(tǒng)的單實極點則：共三百七十四頁 其中(qzh

17、ng)： 為極點 的留數(shù)共三百七十四頁 a. 選取狀態(tài)變量:將上式整理，并進行(jnxng)拉氏變換，可得狀態(tài)方程再將 代入 ：展開：共三百七十四頁 共三百七十四頁 共三百七十四頁 特點(tdin)： 傳函極點 全1 對應(yīng)極點的留數(shù) b. 選取狀態(tài)變量:共三百七十四頁共三百七十四頁共三百七十四頁 狀態(tài)變量圖（并聯(lián)結(jié)構(gòu)(jigu)） 對角標準形 (a)共三百七十四頁 對角(du jio)標準形 (b)共三百七十四頁3. 含重實極點 為了簡單起見，設(shè)g(s)只有(zhyu)r重極點，則傳遞函數(shù)的部分式展開式為：共三百七十四頁 其中(qzhng)共三百七十四頁選取(xunq)狀態(tài)變量的拉氏變換為：共

18、三百七十四頁共三百七十四頁 共三百七十四頁共三百七十四頁 共三百七十四頁化為狀態(tài)變量的一階微分方程(wi fn fn chn)，則有共三百七十四頁.共三百七十四頁輸入(shr)方程共三百七十四頁約當塊共三百七十四頁共三百七十四頁狀態(tài)變量圖共三百七十四頁例：設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：試求其狀態(tài)空間表達式。解：分母 三重(sn zhn)極點用部分分式為：共三百七十四頁 2s共三百七十四頁狀態(tài)(zhungti)空間表達式共三百七十四頁5. 線性定常連續(xù)(linx)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解a.齊次狀態(tài)方程的解 冪級數(shù)法 設(shè) 的解是 的向量冪級數(shù)式子中， 都是 維向量，則共三百七十四頁且 ，故其中(qzhng)：共三百

19、七十四頁 矩陣指數(shù)函數(shù)(zh sh hn sh)，簡稱矩陣指數(shù)。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記為： 拉普拉斯變換法：共三百七十四頁b.狀態(tài)轉(zhuǎn)移(zhuny)矩陣的特性 且有共三百七十四頁 共三百七十四頁若 為 的狀態(tài)轉(zhuǎn)移(zhuny)矩陣，則引入非奇異矩陣 后的狀態(tài)轉(zhuǎn)移(zhuny)矩陣為共三百七十四頁即A為對角陣，且具有互異(h y)元素共三百七十四頁例：已知求解：共三百七十四頁 共三百七十四頁拉氏變換(binhun)法例：已知求解：共三百七十四頁 共三百七十四頁c. 非齊次狀態(tài)方程 的解 積分法設(shè) 有積分(jfn)可得共三百七十四頁同理，選 為初始(ch sh)時刻， 拉氏變換共三百七十四頁利用(lyn

20、g)拉氏變換卷積定理 則共三百七十四頁6.傳遞函數(shù)矩陣 定義：初始條件為零時，輸出向量的拉氏變換式與輸入向量的拉氏變換之間的傳遞關(guān)系(gun x) 傳遞函數(shù)矩陣（簡稱傳遞矩陣） 表達式：設(shè)動態(tài)方程令初始條件為零，求拉氏變換式：共三百七十四頁則系統(tǒng)傳遞(chund)矩陣表達式為：其展開式共三百七十四頁（3）開環(huán)與閉環(huán)傳遞函數(shù)偏差(pinch)向量至反饋向量之間的傳遞矩陣 為開環(huán)傳遞矩陣共三百七十四頁閉環(huán)傳遞(chund)矩陣偏差傳遞(chund)矩陣共三百七十四頁（4）解耦系統(tǒng)(xtng)的傳遞矩陣耦合系統(tǒng)(xtng)耦合控制解耦系統(tǒng)解耦控制對角矩陣維數(shù)相同共三百七十四頁條件(tiojin)：

21、不得為零，即解耦系統(tǒng)的對角化傳遞矩陣必須非奇異的。解耦方法(fngf)：1）用串聯(lián)補償器 實現(xiàn)解耦閉環(huán)傳遞矩陣共三百七十四頁以 左乘上式兩端，經(jīng)整理得為所期望的對角(du jio)陣，在 為對角(du jio)陣的條件下：2）用前饋補償器 實現(xiàn)解耦原系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞(chund)矩陣共三百七十四頁閉環(huán)傳遞(chund)矩陣為所期望(qwng)的對角陣例：見教材P424 例9-11（自學(xué)）（4）傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)（自學(xué)）給定一傳遞函數(shù)矩陣 ，若有系統(tǒng)(A,B,C,D)能使成立，則稱系統(tǒng)(A,B,C,D)是 的一個實現(xiàn)。共三百七十四頁7. 離散系統(tǒng)狀態(tài)空間(kngjin)表達式的建立及其解（1）由差

22、分方程(fngchng)建立動態(tài)方程(fngchng)初始條件為零時脈沖傳遞函數(shù)共三百七十四頁串聯(lián)分解，引入中間變量 則有設(shè)則共三百七十四頁利用z反變換(binhun)關(guān)系共三百七十四頁簡記(jin j)友矩陣可控標準型共三百七十四頁定常多輸入(shr)多輸出離散系統(tǒng)共三百七十四頁（2）定常連續(xù)動態(tài)方程(fngchng)的離散化令于是(ysh)其解化為記共三百七十四頁令離散(lsn)化系統(tǒng)其中(qzhng)（3）定常離散動態(tài)方程的解遞推法z變換法（參閱有關(guān)書籍）共三百七十四頁離散化狀態(tài)方程的解，又稱離散化轉(zhuǎn)態(tài)轉(zhuǎn)移(zhuny)方程共三百七十四頁離散化系統(tǒng)(xtng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣共三百七十四頁研

23、究系統(tǒng)的目的:更好地了解系統(tǒng)和控制系統(tǒng).含義1: 控制作用: 對狀態(tài)變量的支配 能控性. 系統(tǒng)輸出能否(nn fu)反映狀態(tài)變量 能觀性.含義2: 能控性:能否找到使任意初態(tài) 確定終態(tài) 能觀性:能否由輸出量的測量值 各狀態(tài) 9-2 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(gunc)性共三百七十四頁多變系統(tǒng)兩個基本問題:在有限時間內(nèi),控制作用能否使系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移(zhuny)到要求的狀態(tài)?在有限時間內(nèi),能否通過系統(tǒng)輸出的測量估計系統(tǒng)的初始狀態(tài)?簡單地說:如果系統(tǒng)的每一個狀態(tài)變量的運動都可由輸入來影響和控制,而由任意的始點達到終點,則系統(tǒng)能控(狀態(tài)能控). 如果系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量的任意形式的運動均可由輸出完

24、全反映,則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測的.共三百七十四頁例1: 給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述:解:展開 表明:狀態(tài)變量 , 都可通過選擇輸入u而由始點 終點完全能控. 輸出y只能(zh nn)反映狀態(tài)變量 ,所以 不能觀測. 共三百七十四頁例2:取 和 作為狀態(tài)變量,u輸入(shr), y= -輸出.(1)當狀態(tài)(zhungti)可控，可觀測(2)當u只能控制，不可控，不可觀測u(t)CR3LiLucR1R2R4共三百七十四頁1線性系統(tǒng)能控性和能觀性的概念(ginin)含義：能控性：u(t) x(t) 狀態(tài)方程能觀性：y(t) x(t) 輸出(shch)方程共三百七十四頁定義：設(shè)若存在一分段連續(xù)控制向量u(t

25、)，能在內(nèi)將系統(tǒng)從任意(rny)狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到任意終態(tài)，則該系統(tǒng)完全能控說明：任意初態(tài) (狀態(tài)空間中任一點),零終態(tài) 能控零初態(tài)任意終態(tài)能達共三百七十四頁2. 定理(dngl)1共三百七十四頁例：判斷(pndun)能控性共三百七十四頁解：rank =23,不能控共三百七十四頁對于：行數(shù)列數(shù)的情況下求秩時： rank =rank定理2：若，若為對角型，則狀態(tài)(zhungti)完全能控的充要條件為：中沒有任意一行的元素全為零共三百七十四頁共三百七十四頁例：線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中(qzhng)：試判斷該系統(tǒng)的能控性共三百七十四頁解：如果rank =2, 則必須(bx)要求共三百七十四頁定理3：設(shè)，若

26、為約當型，則狀態(tài)(zhungti)完全能控的充要條件是：對應(yīng)的每一個約當塊的最后一行相應(yīng)的陣中所有的行元素不全為零共三百七十四頁例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中(qzhng)：試判斷系統(tǒng)的能控性共三百七十四頁解：而b1是任意(rny)值，且rank =2則該系統(tǒng)能控共三百七十四頁5.當特征值為 , ， ， 且 ，則可以經(jīng)過(jnggu) 將A化為約當型. 如下: 共三百七十四頁共三百七十四頁且共三百七十四頁由 的最后一行(yxng)組成的矩陣：共三百七十四頁例：設(shè)，已知共三百七十四頁共三百七十四頁行線性無關(guān)(wgun)不全為零能控共三百七十四頁線性變換后系統(tǒng)(xtng)的能控性不變設(shè)令則：其中：共三

27、百七十四頁系統(tǒng)(xtng)的能控性不變共三百七十四頁定理4：設(shè)如果系統(tǒng)能控，則則必存在(cnzi)一個非奇異變換可將狀態(tài)方程化為能控標準型：共三百七十四頁其中(qzhng)：共三百七十四頁且：共三百七十四頁證明(zhngmng)：(由 推得 )共三百七十四頁共三百七十四頁共三百七十四頁共三百七十四頁例：求能控標準型共三百七十四頁解： rank Sc=2 能控共三百七十四頁則共三百七十四頁2線性離散系統(tǒng)的能控性定義(dngy)：設(shè)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程: 其中共三百七十四頁若存在控制向量序列(xli)能在有限時間內(nèi)，將系統(tǒng) 第從k步的X(k)轉(zhuǎn)移到至第n步的x(n)=0，則稱系統(tǒng)在第k步上是

28、能控的如果每個k系統(tǒng)的所有狀態(tài)能控，則稱系統(tǒng)為完全能控共三百七十四頁定理(dngl)：設(shè)則系統(tǒng)完全能控的充要條件： rankSc=n其中： 共三百七十四頁證明(zhngmng)：(以單輸入為例)設(shè)假設(shè)：共三百七十四頁這里(zhl)x(0)是任意的共三百七十四頁為滿秩矩陣(j zhn)可求出u(0),u(1), u(n-1)共三百七十四頁例： 判斷(pndun)系統(tǒng)的能控性共三百七十四頁解：該系統(tǒng)(xtng)能控共三百七十四頁例：判斷能控性能否(nn fu)存在 對任意x(0) x(1)=0？共三百七十四頁解：rank Sc=3因此該系統(tǒng)能控所以(suy)一定可使任意x(0) x(3)=0共三百

29、七十四頁共三百七十四頁但不能對任意(rny)x(0) x(1)=0共三百七十四頁4 線性定常系統(tǒng)(xtng)的輸出能控性 在分析和設(shè)計控制中,系統(tǒng)的被控量往往不是系統(tǒng)的狀態(tài),而是系統(tǒng)輸出,必須(bx)研究系統(tǒng)的輸出是否能控.設(shè): 定義:在 上,任意解出u(t),輸出能控共三百七十四頁定理：系統(tǒng)輸出(shch)完全能控的充要條件：共三百七十四頁例：判斷系統(tǒng)(xtng)是否輸出能控解：rankCB CAB D=rank1 -2 0=1=q 輸出能控rankSc=rankb Ab=10，則稱 V(x) 在 域內(nèi)是正半定的。共三百七十四頁 二次型：判定二次型正定性(dng xng)的賽爾維斯特(Syl

30、vester) 準則：P又稱為正定(zhn dn)矩陣。 二次型V(x)為正定的充要條件是：矩陣P的所有主子行列式為正，即： 若P是奇異矩陣，并且它的所有主子行列式為非負的，那么 是正半定的對稱矩陣，共三百七十四頁當P的各順序主子(zh zi)行列式負、正相間時，即則V(x)負定，稱P為負定矩陣(j zhn)。若主子行列式含有等于零的情況，則V(x)為正半定或負半定。不屬于以上情況的V(x)不定。共三百七十四頁例 證明下面(xi mian)的二次型是正定的:運用(ynyng)Sylvester準則:解: 二次型 可改寫為:是正定的.共三百七十四頁穩(wěn)定性定理： 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程： 其平衡狀態(tài)滿足

31、，假定狀態(tài)空間原點作為(zuwi)平衡狀態(tài)( )，并設(shè)在原點鄰域存在 對 x 的連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。共三百七十四頁定理(dngl)1：若(1) 正定； (2) 負定； 則原點是漸進穩(wěn)定的。 說明： 負定 能量隨時間連續(xù)單調(diào)衰減。定理2：若(1) 正定； (2) 負半定； (3) 在非零狀態(tài)不恒為零，則原點是漸進穩(wěn)定的。共三百七十四頁說明：不存在 ， 經(jīng)歷能量等于(dngy)恒定，但不維持在該狀態(tài)。 定理3：若(1) 正定； (2) 負半定； (3) 在非零狀態(tài)存 在恒為零；則原點是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。 共三百七十四頁說明： 系統(tǒng)維持等能量水平運動(yndng)，使 維持在非零狀態(tài)而不運行至原

32、點。定理4：若(1) 正定； (2) 正定 則原點是不穩(wěn)定的。說明： 正定 能量函數(shù)隨時間增大， 在 處發(fā)散。共三百七十四頁 線性系統(tǒng)不穩(wěn)定 非線性系統(tǒng)不一定推論1：當 正定(zhn dn)， 正半定，且 在非零狀態(tài)不恒為零時,則原點不穩(wěn)定。推論2： 正定， 正半定，若 ， ，則原點是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定(同定理3)。原點不穩(wěn)定(wndng)共三百七十四頁幾點說明： 選取不唯一，但沒有通用辦法， 選取不當，會導(dǎo)致 不定的結(jié)果。這僅僅是充分條件。 -單調(diào)衰減(shui jin)(實際上是衰減(shui jin)振蕩)共三百七十四頁李氏第二法的步驟：構(gòu)造一個 二次型；求 ，并代入狀態(tài)方程；判斷(p

33、ndun) 的定號性；判斷非零情況下， 是否為零。漸進(jinjn)穩(wěn)定李氏穩(wěn)定不穩(wěn)定共三百七十四頁令 若 成立 李氏意義(yy)下穩(wěn)定 若僅 成立 漸進穩(wěn)定 共三百七十四頁例：已知非線性系統(tǒng)(xtng)的狀態(tài)方程為： 試用李雅普諾夫第二法判斷其穩(wěn)定性。解：令原點是唯一(wi y)平衡點共三百七十四頁 設(shè)則負定原點是漸進(jinjn)穩(wěn)定的；只有一個平衡狀態(tài)，該系統(tǒng)是大范圍漸進(jinjn)穩(wěn)定；由于V(x)與t無關(guān)，又是大范圍一致漸進穩(wěn)定。定理1共三百七十四頁幾何(j h)意義：等能量軌跡(整個(zhngg)平面)共三百七十四頁例：試判斷下列(xili)線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。令即原點是平衡(pnghng)狀態(tài)。解：選當共三百七十四頁則：其它(qt)非零狀態(tài)負半定令只有(zhyu)全零解非零狀態(tài)時原點 是漸進穩(wěn)定，且是大范圍一致漸進穩(wěn)定。定理2設(shè)共三百七十四頁例：試判斷