上海市各區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試題分類匯編：數(shù)列

1、2010年上海市各區(qū)高三數(shù)學(xué)二模試題分類匯編第3部分:數(shù)列一、選擇題：17（上海市嘉定黃浦2010年4月高考模擬文科）已知無窮等比數(shù)列的前項和，且是常數(shù)，則此無窮等比數(shù)列各項的和是（ D ）A B C D17. （2010年4月上海楊浦、靜安、青浦、寶山四區(qū)聯(lián)合高考模擬） 文科若（n是正整數(shù)），則（ C ）.(A) (B) (C) (D) 二、填空題：13（上海市盧灣區(qū)2010年4月高考模擬考試理科）在平面直角坐標系中，橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點，對任意自然數(shù)，聯(lián)結(jié)原點與點，若用表示線段上除端點外的整點個數(shù)，則_ 12（上海市嘉定黃浦2010年4月高考模擬理科）已知無窮等比數(shù)列的前項和

2、，且是常數(shù)，則此無窮等比數(shù)列各項的和等于 (用數(shù)值作答)9、（上海市長寧區(qū)2010年高三第二次模擬理科）在等差數(shù)列an中，滿足3a4=7a7，且a10，Sn是數(shù)列an前n項的和，若Sn取得最大值，則n= .913. (上海市普陀區(qū)2010年高三第二次模擬考試文科)某企業(yè)投資72萬元興建一座環(huán)保建材廠. 第1年各種經(jīng)營成本為12萬元，以后每年的經(jīng)營成本增加4萬元，每年銷售環(huán)保建材的收入為50萬元. 則該廠獲取的純利潤達到最大值時是在第 年. 1014(上海市松江區(qū)2010年4月高考模擬理科)已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），若，則所有可能的取值為 56、911(上海市松江區(qū)2010年4月高考模擬理科)

3、如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”介于1到200之間的所有“神秘數(shù)”之和為 2500 3（上海市徐匯區(qū)2010年4月高三第二次模擬理科） 若數(shù)列滿足：，則前6項的和 .（用數(shù)字作答）635（上海市閘北區(qū)2010年4月高三第二次模擬理科）若無窮等比數(shù)列的各項和等于，則的取值范圍是 . 9（上海市浦東新區(qū)2010年4月高考預(yù)測理科）在等比數(shù)列中，且，則的最小值為 .14（上海市浦東新區(qū)2010年4月高考預(yù)測理科）我們知道，如果定義在某區(qū)間上的函數(shù)滿足對該區(qū)間上的任意兩個數(shù)、，總有不等式成立，則稱函數(shù)為該區(qū)間上的向上凸函數(shù)（簡稱上凸）. 類比上述定義，對于數(shù)列，

4、如果對任意正整數(shù)，總有不等式：成立，則稱數(shù)列為向上凸數(shù)列（簡稱上凸數(shù)列）. 現(xiàn)有數(shù)列滿足如下兩個條件：（1）數(shù)列為上凸數(shù)列，且；（2）對正整數(shù)（），都有，其中. 則數(shù)列中的第五項的取值范圍為 .三、解答題23（上海市盧灣區(qū)2010年4月高考模擬考試理科）（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分從數(shù)列中取出部分項，并將它們按原來的順序組成一個數(shù)列，稱之為數(shù)列的一個子數(shù)列 設(shè)數(shù)列是一個首項為、公差為的無窮等差數(shù)列（1）若，成等比數(shù)列，求其公比（2）若，從數(shù)列中取出第2項、第6項作為一個等比數(shù)列的第1項、第2項，試問該數(shù)列是否為的無窮等比子數(shù)列，請說明

5、理由（3）若，從數(shù)列中取出第1項、第項（設(shè)）作為一個等比數(shù)列的第1項、第2項，試問當且僅當為何值時，該數(shù)列為的無窮等比子數(shù)列，請說明理由23（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分解：（1）由題設(shè)，得，即，得，又，于是，故其公比（4分）（2）設(shè)等比數(shù)列為，其公比，（6分）由題設(shè)假設(shè)數(shù)列為的無窮等比子數(shù)列，則對任意自然數(shù)，都存在，使，即，得，（8分）當時，與假設(shè)矛盾，故該數(shù)列不為的無窮等比子數(shù)列（10分）（3）設(shè)的無窮等比子數(shù)列為，其公比（），得，由題設(shè)，在等差數(shù)列中，因為數(shù)列為的無窮等比子數(shù)列，所以對任意自然數(shù)，都存在，使，即，得， 由于上式對任

6、意大于等于的正整數(shù)都成立，且，均為正整數(shù)，可知必為正整數(shù)，又，故是大于1的正整數(shù)（14分）再證明：若是大于1的正整數(shù)，則數(shù)列存在無窮等比子數(shù)列即證明無窮等比數(shù)列中的每一項均為數(shù)列中的項在等比數(shù)列中，在等差數(shù)列中， 若為數(shù)列中的第項，則由，得，整理得，由，均為正整數(shù)，得也為正整數(shù)，故無窮等比數(shù)列中的每一項均為數(shù)列中的項，得證綜上，當且僅當是大于1的正整數(shù)時，數(shù)列存在無窮等比子數(shù)列（18分）23、（上海市奉賢區(qū)2010年4月高三質(zhì)量調(diào)研理科）（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）已知數(shù)列滿足：，。（1）若，求數(shù)列的通項公式；（2） 若，（其中表示組合數(shù)），求數(shù)列的

7、前項和；（3）若，記數(shù)列的前項和為，求；23解：（1） 變?yōu)椋?（2分）所以是等差數(shù)列，所以 （2分）（2）由（1）得 （1分）， （1分） 即：=（1分）所以，=（1分） = （1分） （1分）（3） （2分） （2分）利用裂項法得：= （2分） （2分）23、（上海市奉賢區(qū)2010年4月高三質(zhì)量調(diào)研文科）（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）已知數(shù)列滿足：，（1）求，；（2）若，求數(shù)列的通項公式；（3）若，（其中表示組合數(shù)），求數(shù)列的前項和； 23解：（1），（4分）； （2） 變?yōu)椋?（3分）所以是等差數(shù)列，所以 （3分）（3）由（1）得 （1分）， （

8、2分） 即：=（1分）所以，=（1分） = （2分） （1分）22（上海市嘉定黃浦2010年4月高考模擬理科）(本題滿分16分)本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分7分，第3小題滿分6分已知數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項和，且（）（1）求實數(shù)的值；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）對于數(shù)列，若存在常數(shù)M，使（），且，則M叫做數(shù)列的“上漸近值”設(shè)（），為數(shù)列的前項和，求數(shù)列的上漸近值22(本題滿分16分)本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分7分，第3小題滿分6分解 (1)， 2分 3分(2)由(1)可知， 5分 6分因此， 8分又， 10分(3)由(2)有，于是， 12分 14分又，

9、的上漸近值是3 16分20、（上海市長寧區(qū)2010年高三第二次模擬理科）（本題滿分14分，第（1）小題4分，第（2）小題4分，第（2）小題6分）設(shè)數(shù)列中，若，則稱數(shù)列為“凸數(shù)列”。（1）設(shè)數(shù)列為“凸數(shù)列”，若，試寫出該數(shù)列的前6項，并求出該6項之和；（2）在“凸數(shù)列”中，求證：；（3）設(shè)，若數(shù)列為“凸數(shù)列”，求數(shù)列前項和。20、解：（1），。 4分（2）由條件得，6分，即。8分（3）。 10分由（2）得。12分14分21、（上海市長寧區(qū)2010年高三第二次模擬文科）（本題滿分16分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（2）小題6分）設(shè)數(shù)列中，若，則稱數(shù)列為“凸數(shù)列”。（1）設(shè)數(shù)列為“凸數(shù)列

10、”，若，試寫出該數(shù)列的前6項，并求出該6項之和；（2）在“凸數(shù)列”中，求證：；（3）設(shè)，若數(shù)列為“凸數(shù)列”，求數(shù)列前2010項和。21、解：（1），。 4分（2）由條件得，7分。 10分（3）由（2）的結(jié)論，即。12分。 14分由（2）得。 16分20. (上海市普陀區(qū)2010年高三第二次模擬考試理科)（本題滿分14分，其中第1小題6分，第2小題8分）已知數(shù)列的首項為1，前項和為，且滿足，數(shù)列滿足. （1） 求數(shù)列的通項公式；（2） 當時，試比較與的大小，并說明理由.解: (1) 由 (1) ， 得 (2)，由 (2)-(1) 得 , 整理得 ，.所以，數(shù)列，是以4為公比的等比數(shù)列.其中, 所

11、以，. （2）由題意，.當時， 所以，.又當時，. 故綜上，當時，；當時，.第21題圖21. (上海市普陀區(qū)2010年高三第二次模擬考試理科)（本題滿分14分，其中第1小題8分，第2小題6分）一企業(yè)生產(chǎn)的某產(chǎn)品在不做電視廣告的前提下，每天銷售量為件. 經(jīng)市場調(diào)查后得到如下規(guī)律：若對產(chǎn)品進行電視廣告的宣傳，每天的銷售量（件）與電視廣告每天的播放量（次）的關(guān)系可用如圖所示的程序框圖來體現(xiàn).（1）試寫出該產(chǎn)品每天的銷售量（件）關(guān)于電視廣告每天的播放量（次）的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使該產(chǎn)品每天的銷售量比不做電視廣告時的銷售量至少增加，則每天電視廣告的播放量至少需多少次？21. 解：（1）設(shè)電視廣告播放量

12、為每天次時，該產(chǎn)品的銷售量為（，）.由題意，于是當時，（）.所以，該產(chǎn)品每天銷售量（件）與電視廣告播放量（次/天）的函數(shù)關(guān)系式為.（2）由題意，有.（）所以，要使該產(chǎn)品的銷售量比不做電視廣告時的銷售量增加，則每天廣告的播放量至少需4次.故等式不可能成立. 所以，對任意的，不可能是直線的方向向量.22(上海市松江區(qū)2010年4月高考模擬理科)（本題滿分16分，其中第（1）小題4分，第（2）小題8分，第（3）小題4分）設(shè)是兩個數(shù)列，點為直角坐標平面上的點對若三點共線，（1）求數(shù)列的通項公式； （2）若數(shù)列滿足：，其中是第三項為8，公比為4的等比數(shù)列.求證：點列(1，在同一條直線上；（3）記數(shù)列、的

13、前項和分別為和，對任意自然數(shù)，是否總存在與相關(guān)的自然數(shù)，使得？若存在，求出與的關(guān)系，若不存在，請說明理由解：（1）因三點共線， 2分得故數(shù)列的通項公式為 4分（2）由題意 ， 由題意得 6分 當時，8分.當n=1時，也適合上式， 10分因為兩點的斜率為常數(shù) 所以點列（1，在同一條直線上. 12分（3）由 得； 得14分若，則 對任意自然數(shù)，當時，總有成立。16分22(上海市松江區(qū)2010年4月高考模擬文科)（本題滿分16分，其中第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題6分）已知在數(shù)列中，數(shù)列的奇數(shù)項依次組成公差為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項依次組成公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，

14、（1）寫出數(shù)列的通項公式；（2）求；（3）證明：當時，解：（1） ；即 ；4分（2）， 5分，7分兩式相減，得 ， 所以，；10分（3）， 12分當時，15分所以，當時， 16分（用數(shù)學(xué)歸納法證明，同樣給分）23（上海市徐匯區(qū)2010年4月高三第二次模擬理科）（本題滿分18分；第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，若數(shù)列中任意（不同）兩項之和仍是該數(shù)列中的一項，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.（1）若，判斷該數(shù)列是否為“封閉數(shù)列”，并說明理由？（2）設(shè)是數(shù)列的前項和，若公差，試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使；若存在，求的通項公式，若不存在，說明理由；（

15、3）試問：數(shù)列為“封閉數(shù)列”的充要條件是什么？給出你的結(jié)論并加以證明.23 （1）數(shù)列是“封閉數(shù)列”，因為：，-1分對任意的，有，-3分于是，令，則有-4分（2）解：由是“封閉數(shù)列”，得：對任意，必存在使成立，-5分于是有為整數(shù)，又是正整數(shù)。-6分若則，所以，-7分若，則，所以，-8分若，則，于是，所以，-9分綜上所述，顯然，該數(shù)列是“封閉數(shù)列”。- 10分（3）結(jié)論：數(shù)列為“封閉數(shù)列”的充要條件是存在整數(shù)，使.-12分證明：（必要性）任取等差數(shù)列的兩項，若存在使，則故存在，使，-14分下面證明。當時，顯然成立。對，若，則取，對不同的兩項，存在使，即，這與矛盾，故存在整數(shù)，使。-16分（充分性

16、）若存在整數(shù)使，則任取等差數(shù)列的兩項，于是由于為正整數(shù)，證畢.- -18分23（上海市徐匯區(qū)2010年4月高三第二次模擬文科）（本題滿分18分；第（1）小題5分，第（2）小題5分，第（3）小題8分）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，若數(shù)列中任意（不同）兩項之和仍是該數(shù)列中的一項，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.（1）若，求證：該數(shù)列是“封閉數(shù)列”；（2）試判斷數(shù)列是否是“封閉數(shù)列”，為什么？（3）設(shè)是數(shù)列的前項和，若公差，試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使；若存在，求的通項公式，若不存在，說明理由.23 （1）證明：，-1分對任意的，有，-3分于是，令，則有-5分（2），-7分令，-9分所以數(shù)列不是封閉

17、數(shù)列；-10分（3）解：由是“封閉數(shù)列”，得：對任意，必存在使成立，-11分于是有為整數(shù)，又是正整數(shù)。-13分若則，所以，-14分若，則，所以，-16分若，則，于是，所以，-17分綜上所述，顯然，該數(shù)列是“封閉數(shù)列”。- 18分20（上海市閘北區(qū)2010年4月高三第二次模擬理科）（滿分19分）本題有3小題，第1小題5分，第2小題5分，第3小題9分已知定義在上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件： ，當且時，且其中、均為非零常數(shù)（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求的值；（2）令，若，求數(shù)列的通項公式；（3）試研究數(shù)列為等比數(shù)列的條件，并證明你的結(jié)論說明：對于第3小題，將根據(jù)寫出的條件所體現(xiàn)的對問題探究的完整性，給予不

18、同的評分。20（1）由已知，得 由數(shù)列是等差數(shù)列，得 所以，得5分（2）由，可得且當時，所以，當時，4分因此，數(shù)列是一個公比為的等比數(shù)列1分（3）解答一：寫出必要條件，如，由（1）知，當時，數(shù)列是等差數(shù)列，所以是數(shù)列為等比數(shù)列的必要條件 3分解答二：寫出充分條件，如或等，并證明 5分解答三：是等比數(shù)列的充要條件是2分充分性證明：若，則由已知，得所以，是等比數(shù)列2分必要性證明：若是等比數(shù)列，由（2）知， 1分當時，上式對也成立，所以，數(shù)列的通項公式為：所以，當時，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列 所以，1分當時， 上式對也成立，所以，1分所以， 1分即，等式對于任意實數(shù)均成立所以，1分23. （

19、2010年4月上海楊浦、靜安、青浦、寶山四區(qū)聯(lián)合高考模擬）（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分定義：如果數(shù)列的任意連續(xù)三項均能構(gòu)成一個三角形的三邊長，則稱為“三角形”數(shù)列對于“三角形”數(shù)列，如果函數(shù)使得仍為一個“三角形”數(shù)列，則稱是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，. (1)已知是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，若是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，求k的取值范圍；(2)已知數(shù)列的首項為2010，是數(shù)列的前n項和，且滿足，證明是“三角形”數(shù)列； (3) 文科 若是(2)中數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，問數(shù)列最多有多少項 理科 根據(jù)“保三角形函數(shù)”的定義，對函數(shù)，和數(shù)列1，（）提出一個正確的命題，并說明理由. 23 (1)顯然，對任意正整數(shù)都成立，即是三角形數(shù)列 2分因為k1，顯然有，由得，解得.所以當時，是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”. 5分(2) 由得,兩式相減得所以，經(jīng)檢驗，此通項公式滿足 7分顯然，因為，所以 是“三角形”數(shù)列 10分 (3) 文科 因為是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，由得 1