2021-2022學(xué)年福建省莆田市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年福建省莆田市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（ ）ABCDB【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法，求出復(fù)數(shù)z即可.【詳解】復(fù)數(shù)z滿足，故本題選B.本題考查復(fù)數(shù)的四則運算，要求掌握復(fù)數(shù)的除法運算，比較基礎(chǔ).2已知，則（）ABCDA【分析】首先求出的值，然后利用兩角差的正弦公式求解即可.【詳解】因為，所以，所以，故選：A3在中，角，所對的邊分別是，若，則角的大小為（）ABCDB【分析】由已知利用余弦定理的推論可得，結(jié)合范圍，可求角得值.【詳解】解：由余弦定理的推論，可得，又故選：B.4如圖，在中，是的中點，若，則實數(shù)的值是AB1CDC【分析】以 作為基底

2、表示出，利用平面向量基本定理，即可求出【詳解】分別是的中點，.又，.故選C.本題主要考查平面向量基本定理以及向量的線性運算，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力5在中，內(nèi)角，對應(yīng)的邊分別為，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A，B，C，D，C【分析】根據(jù)三角形的性質(zhì)，以及正弦定理和余弦定理，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由，可得，所以三角形只有一解；對于B中，由，可得，所以，此時三角形有唯一的解；對于C中，由正弦定理，可得，可得有兩解，所以三角形有兩解；對于D中，由余弦定理得，可得有唯一的解，所以三角形只有一解.故選：C.6如圖是正方體的展開圖，則在這個正方體中，下面命題不正確的是（）A與

3、是異面直線；B與平行C與成角；D與平行D【分析】根據(jù)正方體的展開圖得到直觀圖，再根據(jù)正方體的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】解：如圖，與是異面直線，故A正確；因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，故B正確因為，所以與所成角即為與所成角，在等邊三角形中，所以與所成角為，故C正確平面，平面，所以，又，平面，平面，平面，所以，故D錯誤故選：D7圓錐的底面半徑為，高為，在此圓錐內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，則此正方體的棱長為（）ABCDC【分析】設(shè)棱長為，利用三角形相似列比例式解出【詳解】解：如圖沿著正方體的一條面對角線和圓錐的高作軸截面如下所示：則，設(shè)正方體棱長為，則，由，可得，解得故選：C8如圖，正方體的棱長為2，

4、、分別是棱、和的中點，過點、作正方體的截面，則以該截面為底面，為頂點的幾何體體積為（）A2B3C4D6B【分析】根據(jù)正方體的幾何結(jié)構(gòu)得到構(gòu)成的空間幾何體為正棱錐，分別求得正棱錐的底面正六邊形的邊長和高，利用錐體體積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，過點、作正方體的截面為正六邊形以為頂點，過點、作正方體的截面，構(gòu)成的空間幾何體為正棱錐，因為正方體的棱長為，可得正六邊形的底面邊長為，所以正六邊形的面積為，連接，在正方形中，可得，且，平面，所以平面，即平面，且，所以正棱錐的體積為.故選：B.二、多選題9設(shè)向量，則（）ABC與的夾角為DBC【分析】根據(jù)兩向量的坐標(biāo)進行減法計算求出，然后根據(jù)向量共線和垂

5、直的性質(zhì)判斷A、B選項，通過向量坐標(biāo)法求夾角判斷C選項，通過坐標(biāo)求兩個向量模長，比較大小即可判斷D選項.【詳解】，所以，故A選項錯誤，B選項正確；，則與的夾角為，故C選項正確；，故D選項錯誤.故選：BC.10攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，多見于亭閣式建筑、園林建筑下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為30，側(cè)棱長為米，則該正四棱錐的（）A底面邊長為6米B側(cè)棱與底面所成角的余弦值為C側(cè)面積為平方米D體積為立方米AD【分析】畫出幾何體的直觀圖，結(jié)合已知條件求得棱錐的底面邊長

6、，逐項求解，即可得到答案.【詳解】對A，如圖所示，在正四棱錐中，為正方形的中心，且，設(shè)底面邊長為，正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為，所以，則，在直角中，可得，即，解得，所以正四棱錐的底面邊長為，所以A正確；對B，因為平面，所以為側(cè)棱與底面所成的角，在直角中，可得，所以B錯誤；對C，正四棱錐的側(cè)面積為平方米，所以C錯誤；對D，正四棱錐的體積為立方米，所以D正確.故選：AD.11函數(shù)，則（）A的最小正周期為B的圖像關(guān)于直線對稱C的圖像關(guān)于點對稱D在上單調(diào)遞增BC【分析】根據(jù)可以判斷A；將與代入解析式，結(jié)合三角函數(shù)的對稱性可以判斷B和C；解出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而判斷D.【詳解】函數(shù)的最小正周期為，

7、故A選項錯誤；將代入解析式得：，則為的對稱軸，故B選項正確；將代入解析式得：，則為的對稱點，故C選項正確；由可得：，的單調(diào)遞增區(qū)間為顯然，不存在這樣的k，使得，故D選項錯誤故選：BC12如圖，已知二面角的棱l上有A，B兩點，若，則（）A直線AB與CD所成角的余弦值為45B二面角的大小為60C三棱錐的體積為D直線CD與平面所成角的正弦值為ABD【分析】在給定圖形中作出直線AB與CD所成角、二面角的平面角、直線CD與平面所成角，再逐一計算作答.【詳解】過A作，且，連接，如圖，則四邊形ABDE是平行四邊形，即且，是直線AB與CD所成角或其補角，因，則，而，平面，于是得平面，平面，即有，A正確；因，即

8、，而，則是二面角的平面角，又，因此，即為正三角形，B正確；因平面，則平面平面，在平面內(nèi)過C作于O，于是得，而，C不正確；連接，因，則是直線CD與平面所成角，D正確.故選：ABD方法點睛：作二面角的平面角可以通過垂線法進行，在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角三、填空題13如圖，ABC中，AB=AC=2，BC=，點D 在BC邊上，ADC=45，則AD的長度等于_解析：在ABC中，AB=AC=2，BC=中，而ADC=45，,答案應(yīng)填【詳解】試題分析：取BC的中點M，則AM=1,所以在中，.本小題考查了解三角

9、形的有關(guān)知識.點評：在解三角形時，可以考慮構(gòu)造直角三角形來解決這樣解決起來方便，特別是涉及等腰三角形時，否則就按一般的解三角形的方法來求解.14已知是兩條不同直線，是兩個不同平面，對下列命題：若，則若，則且若，則若，則其中正確的命題是_（填序號）【分析】由給定條件，舉例說明判斷命題，利用線面平行的性質(zhì)、線面垂直的判定、面面垂直的判定推理判斷作答.【詳解】如圖，長方體中，平面為平面，對于，直線，直線分別為直線，滿足，而與相交，不正確；對于，令平面為平面，直線為直線，直線為直線，滿足，而，不正確；對于，令平面為平面，直線為直線，直線為直線，滿足，而與是異面直線，不正確；對于，因，則過直線作平面，令

10、，如圖，于是得，而，則有，所以，正確.故15已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為_【分析】根據(jù)給定的的圖象，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，分別求得和的值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的部分圖象，可得，所以，可得，即，又由，結(jié)合三角函數(shù)的五點對應(yīng)法，可得，即，又因為，所以，所以.故答案為.四、雙空題16在正四棱臺中，則該四棱臺的表面積為_；該四棱臺外接球的體積為_ 【分析】先求出側(cè)高，分別求出上下底面積和側(cè)面積，即可求出表面積；設(shè).判斷出 O為外接球的球心,且外接球的半徑，即可求出該球的體積.【詳解】在等腰梯形中,過C1作C1HDC垂足為H.則,所以.則四棱臺的表面積為:.設(shè).由棱臺的性質(zhì),可將

11、該棱臺補成四棱錐.因為，可知與SAB相似比為1:2，則, ,則.即該四棱臺的高為.由于上、下底面都是正方形,則外接球的球心在上.在平面上,由于,得,即點O到點B與到點的距離相等.同理O到的距離相等，于是O為外接球的球心,且外接球的半徑，故該四棱臺外接球的體積為.故答案為: ；五、解答題17如圖，四邊形為矩形，且，平面，為的中點(1)求證：；(2)若點為上的中點，證明平面(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）連接，矩形中可證出，由平面證出，從而得到平面，所以有；（2）取，的中點，連接、利用矩形和三角形中位線定理，證出四邊形是平行四邊形，從而證出，結(jié)合線面平行判定定理，可得平面（1）證明：

12、連接，為的中點，為等腰直角三角形，由此可得，同理，即，又平面，且平面，又，平面，平面，又平面，（2）證明：取、的中點、，連接、是，的中點，中，可得且，又是的中點，且四邊形為矩形，且，、平行且相等，可得四邊形是平行四邊形，又平面，平面，平面18已知函數(shù).（1）求的值；（2）將函數(shù)的圖像向左平移后得到函數(shù)，若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍(1). (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式將化簡為，代入即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)三角函數(shù)左右平移原則可得解析式，利用的范圍求出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得的值域；由不等式恒成立可得、與最小值和最大值之間的關(guān)系，解不等式組求得結(jié)果.【詳解】（1

13、）（2）當(dāng)時，即又恒成立，解得：實數(shù)的取值范圍為：本題考查三角函數(shù)值的求解、正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值域的求解；涉及到利用二倍角和輔助角公式化簡三角函數(shù)式、三角函數(shù)的平移變換等知識；解決本題中恒成立問題的關(guān)鍵是找到不等式上下限與三角函數(shù)最值之間的關(guān)系，從而構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.19在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（1）求的值；（2）在邊BC上取一點D，使得，求的值（1）；（2）.【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得. （2）方法一：根據(jù)的值，求得的值，由（1）求得的值，從而求得的值，進而求得的值.【詳解】（1）方法一：正余弦定理綜合法由余弦定理得，所以.由正

14、弦定理得.方法二【最優(yōu)解】：幾何法過點A作，垂足為E在中，由，可得，又，所以在中，因此（2）方法一：兩角和的正弦公式法由于，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.方法二【最優(yōu)解】：幾何法+兩角差的正切公式法在（1）的方法二的圖中，由，可得，從而又由（1）可得，所以方法三：幾何法+正弦定理法在（1）的方法二中可得在中，所以在中，由正弦定理可得，由此可得方法四：構(gòu)造直角三角形法如圖，作，垂足為E，作，垂足為點G在（1）的方法二中可得由，可得在中，由（1）知，所以在中，從而在中，所以【整體點評】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45角的特點，作出輔助線，利用

15、幾何方法簡單計算即得答案，運算尤其簡潔，為最優(yōu)解；（2）方法一：使用兩角和的正弦公式求得的正弦值，進而求解；方法二：適當(dāng)作出輔助線，利用兩角差的正切公式求解，運算更為簡潔，為最優(yōu)解；方法三：在幾何法的基礎(chǔ)上，使用正弦定理求得的正弦值，進而得解；方法四：更多的使用幾何的思維方式，直接作出含有的直角三角形，進而求解，也是很優(yōu)美的方法.20如圖，在三棱錐中，是正三角形，平面平面，點，分別是，的中點.(1)證明：平面平面；(2)若，點是線段上的動點，問：點運動到何處時，平面與平面所成的銳二面角最小.(1)證明見解析；(2)點G為BD的中點時.【分析】（1）由面面垂直可得AE平面BCD，得出CDAE，再

16、由CDEF可得CD平面AEF，即可得出平面平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出銳二面角的余弦值，當(dāng)最大，最小，即可得出此時點G為BD的中點.（1）(1)因為ABC是正三角形，點E是BC中點，所以AEBC，又因為平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCD=BC，AE平面ABC，所以AE平面BCD，又因為CD平面BCD，所以CDAE， 因為點E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，所以EF/BD，又因為BDCD，所以CDEF，又因為CDAE，AEEF，AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD平面AEF，又因為CD平面ACD，所以平面ACD平面AEF.（2）在平面BCD中，過點E作EHBD，垂足為H

17、,設(shè)BC=4，則，DF=FC=l，.以為正交基底，建立如圖空間直角坐標(biāo)系E-xyz,則,設(shè)，則,，設(shè)平面AEG的法向量為,由，得，令，故，設(shè)平面ACD的法向量為，則,即，令，則,設(shè)平面AEG與平面ACD所成的銳二面角為,則，當(dāng)最大，此時銳二面角最小，故當(dāng)點G為BD的中點時，平面AEG與平面ACD所成的銳二面角最小.21如圖，一條寬為1的兩平行河岸有村莊和供電站，村莊與的直線距離都是2， 與河岸垂直，垂足為現(xiàn)要修建電纜，從供電站向村莊供電修建地下電纜、水下電纜的費用分別是2萬元、4萬元（1）已知村莊與原來鋪設(shè)有舊電纜，但舊電纜需要改造，改造費用是0.5萬元現(xiàn)決定利用此段舊電纜修建供電線路，并要求

18、水下電纜長度最短，試求該方案總施工費用的最小值；（2）如圖，點在線段上，且鋪設(shè)電纜的線路為若，試用表示出總施工費用 (萬元)的解析式，并求的最小值（1）萬元；（2），萬元.【分析】（1）由已知可得為等邊三角形.因為,所以水下電纜的最短線路為.過D作于,可知地下電纜的最短線路為.由此能求出該方案的總費用.（2）由,可得,求出,.則,令,則,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性能求出施工總費用的最小值.【詳解】（1）由已知可得為等邊三角形.因為，所以水下電纜的最短線路為.過作于，如圖所示，可知地下電纜的最短線路為、 又,，故該方案的總費用為 （萬元）（2）因為所以.則， 令則，因為，所以，記當(dāng)，即時，當(dāng)，即時，所以，從而，此時，因此施工總費用的最小值為萬元，其中.22如圖1，在矩形中，點在線段上，且，現(xiàn)將沿折到的位置，連結(jié)，如圖2.（1）若點在線段上，且，證明：；（2）記平面與平面的交線為.若二面角為，求與平面所