新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第六章平面及其應(yīng)用：6.4.1 平面幾何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的應(yīng)用舉例

1、6.4平面向量的應(yīng)用6.4.1平面幾何中的向量方法6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例基礎(chǔ)過關(guān)練題組一平面幾何中的向量方法 1.已知A,B,C是平面上的三點(diǎn),其坐標(biāo)分別為(1,2),(4,1),(0,-1),則ABC的形狀為()A.直角(非等腰)三角形B.等腰(非等邊)三角形C.等腰直角三角形D.以上均不正確2.在直角三角形ABC中,點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn),則PA2+PB2PC2=()A.2B.4C.5D.103.已知O是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),若(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=(OC+OA)CA=0,則點(diǎn)O是ABC的()A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心4.已知點(diǎn)P在A

2、BC所在的平面內(nèi),若2PA+3PB+4PC=3AB, 則PAB與PBC的面積的比值為.5.已知正方形ABCD中,E、F分別是CD、AD的中點(diǎn),BE、CF交于點(diǎn)P,連接AP.用向量法證明:(1)BECF;(2)AP=AB.題組二向量在物理中的應(yīng)用舉例6.某人騎自行車的速度是v1,風(fēng)速為v2,則逆風(fēng)行駛的速度為()A.v1-v2B.v1+v2C.|v1|-|v2|D.v1v27.(2020山東濟(jì)南高三下模擬)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分.某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí),若兩只胳膊的夾角為60,每只胳膊的拉力大小均為400 N,則該學(xué)生的體重約為(參考數(shù)據(jù):重力加速度的

3、大小為g=10 N/kg,31.732)()A.63 kgB.69 kgC.75 kgD.81 kg8.一條漁船距對(duì)岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向劃去,到達(dá)對(duì)岸時(shí),船的實(shí)際航程為8 km,則河水的流速為()A.23 km/hB.2 km/hC.3 km/hD.3 km/h9.一個(gè)物體同時(shí)受到同一平面內(nèi)三個(gè)力F1,F2,F3的作用,沿北偏東45方向移動(dòng)了8 m,已知|F1|=2 N,方向?yàn)楸逼珫|30,|F2|=4 N,方向?yàn)楸逼珫|60,|F3|=6 N,方向?yàn)楸逼?0,則這三個(gè)力的合力所做的功為()A.24 JB.242 JC.243 JD.246 J10.如圖所示,在細(xì)繩

4、O處用水平力F2緩慢拉起重力為G的物體,繩子與鉛垂方向的夾角為,繩子所受到的拉力為F1.(1)請(qǐng)說明|F1|、|F2|隨角的變化而變化的情況;(2)當(dāng)|F1|2|G|時(shí),求角的取值范圍.能力提升練題組一平面幾何中的向量方法 1.()已知P是ABC所在平面上一點(diǎn),且|PB-PC|-|PB+PC-2PA|=0,則ABC的形狀是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形2.(2019湖南岳陽(yáng)一中高一期末,)過ABC內(nèi)部一點(diǎn)M任作一條直線EF,ADEF于D,BEEF于E,CFEF于F,且AD+BE+CF=0,則點(diǎn)M是ABC的()A.三條高的交點(diǎn)B.三條中線的交點(diǎn)C.三邊中垂線的交

5、點(diǎn)D.三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)3.(2020安徽六安第一中學(xué)高一下階段測(cè)試,)已知a=-12,32,OA=a-b,OB=a+b.若OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則AOB的面積是.4.()如圖,已知ABC的面積為14 cm2,D,E分別為邊AB,BC上的點(diǎn),且ADDB=BEEC=21,AE,CD交于點(diǎn)P,則APC的面積為cm2.5.(2020河南新鄉(xiāng)高一上期末,)在平行四邊形ABCD中,AB=2,BC=3,B=30,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上(不與端點(diǎn)重合),且BEEC=CFDF,則AEAF的取值范圍為.6.()如圖,在ABC中,BAC=120,AB=AC=3,點(diǎn)D在線段BC上,且BD=

6、12DC.求:(1)AD的長(zhǎng);(2)DAC的大小.題組二向量在物理中的應(yīng)用舉例7.(2019廣東惠州高一期中,)一只鷹正以與水平方向成30角的方向向下飛行,直撲獵物,太陽(yáng)光從頭上直照下來,鷹在地面上的影子的速度的大小是40 m/s,則鷹的飛行速率為()A.803 m/sB.4033 m/sC.8033 m/sD.403 m/s8.()一條兩岸平行的河流,水速為1 m/s,小船的速度為2 m/s,為使所走路程最短,小船應(yīng)朝的方向行駛.9.()如圖,一個(gè)力F作用于小車G,使小車G發(fā)生了40米的位移,F的大小為50 N,且與小車的位移方向的夾角為60,e是與小車位移方向相同的單位向量,則F在小車位移

7、上的投影向量為,力F做的功為.10.()如圖所示,一條河的兩岸互相平行,河的寬度d=500 m,一艘船從A點(diǎn)出發(fā)航行到河對(duì)岸,船航行速度的大小為|v1|=10 km/h,水流速度的大小為|v2|=4 km/h,設(shè)v1和v2的夾角為(0180).(1)當(dāng)cos 多大時(shí),船能垂直到達(dá)對(duì)岸?(2)當(dāng)船垂直到達(dá)對(duì)岸時(shí),航行所需時(shí)間是否最短?為什么?答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)練1.C由題意,得AB=(3,-1),AC=(-1,-3),ABAC=3(-1)+(-1)(-3)=0,且|AB|=|AC|=10,ABC為等腰直角三角形.2.DPA2+PB2PC2=|PA|2+|PB|2|PC|2=PA2+PB2PC2

8、=(PC+CA)2+(PC+CB)2PC2=2|PC|2+2PC(CA+CB)+|AB|2|PC|2=|AB|2|PC|2-6=42-6=10.3.A由已知得(OA+OB)(OB-OA)=(OB+OC)(OC-OB)=(OC+OA)(OA-OC)=0,即OB2-OA2=OC2-OB2=OA2-OC2=0,所以|OA|=|OB|=|OC|,所以點(diǎn)O是ABC的外心.故選A.4.答案45 解析2PA+3PB+4PC=3AB,2PA+3PB+4PC=3(PB-PA),5PA=-4PC,點(diǎn)P在線段AC上,且|PA|=45|PC|.PAB與PBC分別以PA,PC為底時(shí),高相同,PAB與PBC的面積的比值為

9、|PA|PC|=45.5.證明如圖,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,不妨設(shè)AB=2,則A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)BE=OE-OB=(1,2)-(2,0)=(-1,2),CF=OF-OC=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),BECF=-1(-2)+2(-1)=0,BECF,即BECF.(2)設(shè)P(x,y),則FP=(x,y-1),BP=(x-2,y),由(1)知CF=(-2,-1),BE=(-1,2),FPCF,-x=-2(y-1),即x=2y-2.同理,由BPBE,得y=-2x+4.聯(lián)立,解得x=65,y=85,即P65,85.AP2=652+8

10、52=4=AB2,|AP|=|AB|,即AP=AB.6.B由向量的加法法則可得逆風(fēng)行駛的速度為v1+v2.注意速度是有方向和大小的,是一個(gè)向量.7.B設(shè)兩只胳膊的拉力分別為F1,F2,學(xué)生的體重為m kg,則mg=|F1+F2|=(F1+F2)2=4002+2400400cos60+4002=4003692.8,可得m69 kg.故選B.8.A如圖,設(shè)A為漁船,BC所在直線為對(duì)岸,AB=4 km,實(shí)際航程AC=8 km,則BCA=30,又|vAB|=2 km/h,|vAC|=4 km/h,|vBC|=23 km/h,故選A.9.D如圖,以正東方向?yàn)閤軸正方向,正北方向?yàn)閥軸正方向,建立平面直角

11、坐標(biāo)系,則F1=(1,3),F2=(23,2),F3=(-3,33),所以合力F=F1+F2+F3=(23-2,2+43).由題意得,位移s=(42,42),故合力F所做的功W=Fs=(23-2)42+(2+43)42=6342=246(J).故選D.10.解析畫出物體的受力分析圖,如圖.(1)由力的平衡及向量加法的平行四邊形法則得,G=-(F1+F2),|F1|=|G|cos,|F2|=|G|tan .當(dāng)角從0趨向于90時(shí),|F1|、|F2|都逐漸增大.(2)由|F1|=|G|cos2|G|,得cos 12.090,060,角的取值范圍是060.能力提升練1.BP是ABC所在平面上一點(diǎn),且|

12、PB-PC|-|PB+PC-2PA|=0,|CB|-|(PB-PA)+(PC-PA)|=0,即|CB|=|AB+AC|,|AB-AC|=|AB+AC|,兩邊平方并化簡(jiǎn)得ACAB=0,ACAB,A=90,即ABC是直角三角形.無法判斷ABC是不是等腰三角形.故選B.2.B根據(jù)特殊位置法,可以判斷,當(dāng)直線EF經(jīng)過C點(diǎn)時(shí),AD+BE+CF=0,即AD+BE=0,于是|AD|=|BE|,EF即為AB邊上的中線,同理,當(dāng)EF經(jīng)過A點(diǎn)時(shí),EF是BC邊上的中線,當(dāng)EF經(jīng)過B點(diǎn)時(shí),EF是AC邊上的中線,因此,點(diǎn)M是ABC的三條中線的交點(diǎn),故選B.3.答案1解析OAOB,OAOB=(a-b)(a+b)=0,a2

13、-b2=0,|a|=|b|,|OA|=|OB|,|a-b|=|a+b|,a2+b2-2ab=a2+b2+2ab,ab=0,又|a|=1,a、b是互相垂直的單位向量,|OA|=|OB|=2,SOAB=12|OA|OB|=1.4.答案4解析設(shè)AB=a,BC=b,以a,b為一組基底,則AE=AB+23BC=a+23b,DC=13AB+BC=13a+b.點(diǎn)A,P,E與點(diǎn)D,P,C分別共線,存在實(shí)數(shù)和,使AP=AE=a+23b,DP=DC=13a+b.又AP=AD+DP=23+13a+b,=23+13,23=,解得=67,=47,SPAB=47SABC=1447=8 cm2,SPBC=141-67=2

14、cm2,SAPC=14-8-2=4 cm2.5.答案-13,1解析以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BC所在直線為x軸,BC的垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(3,1).由BEEC=CFDF可設(shè)BE=tBC=3t,CF=tCD=2t(0t1),則E(3t,0),F(3+3t,t),AE=(3t-3,-1),AF=(3t,t-1),AEAF=3t(3t-3)-(t-1)=3t2-4t+1=3t-232-13,0t1,當(dāng)t=23時(shí),AEAF有最小值,為-13;當(dāng)t無限趨近于0時(shí),AEAF無限趨近于1.故AEAF的取值范圍為-13,1.6.解析(1)設(shè)AB=a,AC=b,則AD=AB+BD=AB+13BC=AB+1

15、3(AC-AB)=23AB+13AC=23a+13b.|AD|2=AD2=23a+13b2=49a2+229ab+19b2=499+22933cos 120+199=3,AD=3(負(fù)值舍去).(2)設(shè)DAC=(0120),則為AD與AC的夾角.cos =ADAC|AD|AC|=23a+13bb33=23ab+13b233=2333-12+13933=0,=90,即DAC=90.7.C如圖所示,設(shè)鷹的飛行速度為v1,鷹在地面上的影子的速度為v2,則|v2|=40 m/s.因?yàn)辁椀倪\(yùn)動(dòng)方向與水平方向成30角向下,所以|v1|=|v2|32=8033 m/s.8.答案與水速成120角解析如圖,為使小船所走路程最短,v水+v船應(yīng)與岸垂直.又|v水|=|AB|=1,|v船|=|AC|=2,ADC=90,所以CAD=30.所以小船應(yīng)朝與水速成120角的方向行駛.9.答案25e;1 000 J解析|F|=50,且F與小車的位移方向的夾角為60,F在小車位移上的投影向量為|F|cos 60e