2021-2022學(xué)年湖北省武漢市常青聯(lián)合體高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年湖北省武漢市常青聯(lián)合體高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知，若有（為虛數(shù)單位），則（）A1BCDC根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)樗?，即，解得，故選：C2正四棱錐底面正方形的邊長(zhǎng)為，高與斜高的夾角為，則該四棱錐的側(cè)面積ABCDA【詳解】如圖:正四棱錐的高PO，斜高PE，底面邊心距OE組成直角POEOE=2cm，OPE=30，斜高h(yuǎn)=PE=，S正棱錐側(cè)= 故選：A3如圖，在四邊形ABCD中，E為邊BC的中點(diǎn)，若則+（）AB1CDC【分析】利用向量的加法表示向量，再利用向量間的關(guān)系代換，可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，所以，所以，故選：C.本題考查向量間的線

2、性運(yùn)算，平面向量基本定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4已知的部分圖象如圖所示，則的表達(dá)式為ABCDB【詳解】試題分析：由圖可知，所以，所以，又當(dāng)，即，所以，即，當(dāng)時(shí)，故選.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).5已知三條不同的直線和兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中正確的是（）A若，則B若，則C若，則D若，則D根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系及平行垂直性質(zhì)判斷逐一判斷.【詳解】若,可以有或相交，故A錯(cuò)；若，可以有或異面，故B錯(cuò)；若，可以有、與斜交、，故C錯(cuò)；過(guò)作平面，則，又，得，所以，故D正確.故選:D本題考查空間線、面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.6已知，則的值是（）ABCDA【分析】將已知展開化簡(jiǎn)可得平方后，再結(jié)合即可解決.【

3、詳解】由已知，化簡(jiǎn)，即，即，平方可得：，解得.故選：A.本題考查已知三角函數(shù)值求三角函數(shù)值的問(wèn)題，解這類題的關(guān)鍵是找到已知式與待求式之間的聯(lián)系與差異，本題是一道基礎(chǔ)題.7如圖為一正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，有下列四個(gè)；與成角；與成異面直線且；若與面所成角為，則.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A1B2C3D4B【分析】首先還原幾何體，再根據(jù)線線的位置關(guān)系，判斷選項(xiàng).【詳解】將正方體紙盒展開圖還原成正方體，如圖知與不平行，故錯(cuò)誤；連接、將平移到，則與所成角，即可,故正確；同理成角，故錯(cuò)誤；所成角不為， 故正確.故選:B8已知函數(shù)，周期，且在處取得最大值，則使得不等式恒成立的實(shí)數(shù)的最小值為（）ABCD

4、C【分析】先根據(jù)已知求出，或，通過(guò)分析舍去，再分析得到，且，即得解.【詳解】解：，其中，處取得最大值，即， ，得，即，解得，或，若，則，這與矛盾，故應(yīng)舍去.當(dāng)時(shí)，則，又.使得不等式恒成立,即使得不等式恒成立要使最小，則，此時(shí)最小為，所以所以實(shí)數(shù)的最小值為.故選：C二、多選題9設(shè)向量，則（）ABCD與的夾角為CD【分析】根據(jù)給定條件對(duì)各選項(xiàng)逐一推理計(jì)算并判斷作答.【詳解】因向量，則，A不正確；，而，即與不共線，B不正確；而，則，C正確；，又，于是得，即與的夾角為，D正確.故選：CD10設(shè)函數(shù)，給出下列命題，不正確的是（）A的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一個(gè)

5、偶函數(shù)的圖象D的最小正周期為，且在上為增函數(shù)ABD【分析】對(duì)A，判斷是否為0；對(duì)B，判斷能否取得最值；對(duì)C，根據(jù)平移變換后可得解析式為；對(duì)D，舉出特例即可；【詳解】因?yàn)?，所以A不正確；因?yàn)?，所以B不正確；因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，但，所以D不正確；把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，函數(shù)為偶函數(shù)，所以C正確故選：ABD.本題考查正弦函數(shù)的對(duì)稱中心、對(duì)稱軸及單調(diào)性等性質(zhì)，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.11下列結(jié)論正確的是（）A在中，若，則B已知，則C在中，若，則D正六棱臺(tái)的上下底面邊長(zhǎng)分別是和，側(cè)棱長(zhǎng)是，則它的體積是AC【分析】利用大角對(duì)大邊及正弦定理可判斷A，利用兩角差的正切公式可

6、判斷B，利用正余弦定理，面積公式及特殊角的三角函數(shù)可判斷C，利用正六棱臺(tái)的性質(zhì)及體積公式可判斷D.【詳解】在中，則，故A正確；因?yàn)椋瑒t，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，又，所以，即，又，所以，故C正確；正六棱臺(tái)的上下底面邊長(zhǎng)分別是和，側(cè)棱長(zhǎng)是，設(shè)正六棱臺(tái)的高為，則，正六棱臺(tái)的上下底面面積分別為，故它的體積是，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12在正方體中，棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（包含線段端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A當(dāng)時(shí)，平面B當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，四棱錐的外接球表面為C的最小值為D當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是的重心ACD【分析】利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離與的關(guān)系，利用面面平行的性質(zhì)定理，即可判斷選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，即三棱錐的高，即可判斷選項(xiàng)

7、D，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，四棱錐為正四棱錐，求出外接球的半徑，即可判斷選項(xiàng)B，由等面積法即可判斷選項(xiàng)C【詳解】解：對(duì)于A，連接，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，所以，則當(dāng)時(shí)，為與平面的交點(diǎn)，又，平面，平面，所以平面，同理可證平面，平面，所以平面平面，平面，所以平面，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，四棱錐為正四棱錐，設(shè)平面的中心為，四棱錐的外接球半徑為，則，解得，所以四棱錐的外接球表面積為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連接，則，所以，由等面積法可得，的最小值為，所以的最小值為，故選項(xiàng)C正確對(duì)于D，由以上分析可得，當(dāng)時(shí)，即三棱錐的高，所以平面，又三棱錐為正三棱錐，所以點(diǎn)是的重心，故選項(xiàng)D正確；故選：A

8、CD三、填空題13已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，求_.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算先求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗?，所以.故答案為.本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.14已知為一單位向量，與之間的夾角是120，而在方向上的投影向量為，則_4【分析】利用數(shù)量積的幾何意義直接求解.【詳解】因?yàn)榕c之間的夾角是120，而在方向上的投影向量為，所以，所以，所以4.故4.15在中，BC邊上的高等于,則_.【分析】設(shè)邊上的高為，則，求出，再利用余弦定理求出.【詳解】設(shè)邊上的高為，則，所以，由余弦定理，知故答案為本題主要考查余弦定理，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理

9、解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.16已知四棱錐的底面是矩形，其中，側(cè)棱底面，且直線與所成角的余弦值為，則四棱錐的外接球體積為_.【分析】利用異面直線所成的角可求的長(zhǎng)度，將四棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體后可求外接球的直徑，從而可求外接球的體積.【詳解】如圖，因?yàn)?，故或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，因?yàn)槠矫妫矫?，故，故為銳角，故，故，故.將該四棱錐補(bǔ)成如圖所示的長(zhǎng)方體：則該長(zhǎng)方體的外接球即為四棱錐的外接球，其直徑為，故外接球的體積為.故答案為.四、解答題17如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，.求證：（1）平面；（2）平面.（1）證明見(jiàn)解析 ；（2） 證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得出，由線面垂直的性質(zhì)可得出，利用

10、線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）連接，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，平面，平面，所以，平面；（2）連接，因?yàn)榍遥运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以且，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以，而面，面，所以面.18已知函數(shù)，在中，角所對(duì)的邊分別為，(1)求函數(shù)的最大值，并求出此時(shí)的值；(2)若，且，求的值.(1)當(dāng)時(shí)，取得最大值.(2).【分析】對(duì)于小問(wèn)1，把函數(shù)化成型，求解最大值.對(duì)于小問(wèn)2，由，化簡(jiǎn)求解，利用正弦定理把邊化成角，進(jìn)一步消元，得到關(guān)于的二次方程，求解得.【詳解】(1)，則，.

11、當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取得最大值.(2)，所以，則，則，可得，因?yàn)?，則，即，所以，因?yàn)闉殇J角，則，解得.19如圖所示，四棱錐的底面 是邊長(zhǎng)為1的菱形，E是CD的中點(diǎn)，PA底面ABCD，（I）證明：平面PBE平面PAB；（II）求二面角ABEP和的大?。↖）同解析（II）二面角的大小為【詳解】【分析】解：解法一（I）如圖所示, 連結(jié)由是菱形且知， 是等邊三角形. 因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以又 所以又因?yàn)镻A平面ABCD，平面ABCD，所以而 因此 平面PAB. 又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）由（I）知，平面PAB, 平面PAB, 所以又所以 是二面角的平面角在中, 故二面角的大小為 解法

12、二：如圖所示,以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是：（I）因?yàn)槠矫鍼AB的一個(gè)法向量是 所以和 共線.從而平面PAB. 又因?yàn)槠矫鍼BE，所以平面PBE平面PAB.（II）易知設(shè) 是平面PBE的一個(gè)法向量,則由得 所以故可取而平面ABE的一個(gè)法向量是于是,故二面角的大小為 20在， ，在三個(gè)條件中選一個(gè)填在下面試題的橫線上，并加以解析. 已知在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且_.(1)求角B(2)若，求的取值范圍.(1)(2)【分析】（1）若選擇，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，結(jié)合正弦定理，可得，根據(jù)余弦定理及角B的范圍，可求得角B；若選條件，正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的

13、余弦公式、正弦公式，化簡(jiǎn)整理，可得，結(jié)合角B的范圍，可求得角B；若選條件，根據(jù)余弦定理結(jié)合角B的范圍，可得角B.（2）根據(jù)正弦定理，代入所求，結(jié)合兩角差的正弦公式、輔助角公式，化簡(jiǎn)可得，根據(jù)角A的范圍，結(jié)合正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案.【詳解】(1)若選條件，則有， 根據(jù)正弦定理得，所以， 因?yàn)?，所? 若選條件，根據(jù)正弦定理得， 所以，所以，因?yàn)椋?，所以，解得，因?yàn)?，所? 若選條件，則有，所以， 則，因?yàn)椋?(2)由正弦定理知， 所以， 因?yàn)?，所以，所以?則，所以的取值范圍為.21摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色，

14、如圖，該摩天輪輪盤直徑為米，設(shè)置有個(gè)座艙，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，當(dāng)?shù)竭_(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離地面米，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一周大約需要分鐘，當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開始計(jì)時(shí).(1)經(jīng)過(guò)分鐘后游客甲距離地面的高度為米，已知關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式滿足（其中），求摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的解析式；(2)游客甲坐上摩天輪后多長(zhǎng)時(shí)間，距離地面的高度第一次恰好達(dá)到50米？(3)若游客乙在游客甲之后進(jìn)入座艙，且中間間隔5個(gè)座艙，在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，記兩人距離地面的高度差為米，求的最大值.(1)(2)(3)最大值為米【分析】對(duì)于小問(wèn)1，根據(jù)離地面的最大值米、最小值米和周期為分鐘，求出、，再代入點(diǎn)解得.對(duì)于小問(wèn)2，令，解出即得答

15、案.對(duì)于小問(wèn)3，根據(jù)題意，計(jì)算甲乙二人時(shí)間差，得到二人距離地面的高度表達(dá)式、，寫出兩人距離地面的高度差為米，由時(shí)間的取值范圍，化簡(jiǎn)求出最大值.【詳解】(1)由題意，（其中）摩天輪的最高點(diǎn)距離地面為米，最低點(diǎn)距離地面為米，所以，得，又函數(shù)周期為分鐘，所以，又，所以，又，所以，所以.(2)，所以，整理，因?yàn)椋裕?解得（分鐘）.(3)經(jīng)過(guò)分鐘后甲距離地面的高度為，乙與甲間隔的時(shí)間為分鐘，所以乙距離地面的高度為，所以兩人離地面的高度差當(dāng)或時(shí)，即或分鐘時(shí)，取最大值為米.22如圖，三棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面平面，把平面沿旋轉(zhuǎn)至平面的位置，記點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（不在平面內(nèi)），分別是的中點(diǎn).(1)求證：；(2)當(dāng)三棱錐的體積最大值時(shí)，求三棱錐的體積.(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)首先證明平面