3常用的電路定理

1、第三章 常用的電路定理 3.1 疊加定理和齊次定理 3.2 置換定理 3.3 戴維南定理與諾頓定理 3.4 最大功率傳輸定理 3.5 互易定理 3.6 小結(jié) 13.1 疊加定理和齊次定理 3.1.1 疊加定理 圖 3.1 - 1 說明疊加定理的一個例 2如求電流i1，我們可用網(wǎng)孔法。設(shè)網(wǎng)孔電流為iA, iB。由圖可知iB=is，對網(wǎng)孔A列出的KVL方程為 如令 ， 則可將電流i1寫為 3 疊加定理可表述為： 在任何由線性元件、線性受控源及獨立源組成的線性電路中，每一支路的響應(yīng)(電壓或電流)都可以看成是各個獨立電源單獨作用時，在該支路中產(chǎn)生響應(yīng)的代數(shù)和。 設(shè)該電路的網(wǎng)孔方程為 (3.1-2)4根

2、據(jù)克萊姆法則，解(3.1 - 2)式求i1 (3.1 - 3) 5(3.1-3)式中：j1為中第一列第j行元素對應(yīng)的代數(shù)余子式，j=1, 2, , m，例如 6usjj為第j個網(wǎng)孔獨立電壓源的代數(shù)和， 所以 若令k11=11/，k21=21/，km1=m1/，代入(3.1-4)式，得 式中，k11, k21, ，km1是與電路結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)及線性受控源有關(guān)的常數(shù)。 7 在應(yīng)用疊加定理時應(yīng)注意： (1) 疊加定理僅適用于線性電路求解電壓和電流響應(yīng)而不能用來計算功率。 (2) 應(yīng)用疊加定理求電壓、電流是代數(shù)量的疊加，應(yīng)特別注意各代數(shù)量的符號 (3) 當(dāng)一獨立源作用時，其他獨立源都應(yīng)等于零(即獨立理

3、想電壓源短路，獨立理想電流源開路) 。 (4) 若電路中含有受控源，應(yīng)用疊加定理時，受控源不要單獨作用(這是勸告! 若要單獨作用只會使問題的分析求解更復(fù)雜化)，在獨立源每次單獨作用時受控源要保留其中，其數(shù)值隨每一獨立源單獨作用時控制量數(shù)值的變化而變化。 (5) 疊加的方式是任意的，可以一次使一個獨立源單獨作用， 也可以一次使幾個獨立源同時作用，方式的選擇取決于對分析計算問題簡便與否。 8例 3.1 1 如圖3.1 - 2(a)所示電路，求電壓uab和電流i1。 圖 3.1 - 2 例3.1 - 1用圖 9 由疊加定理得解 10例3.1-2 如圖3.1 - 3(a)電路，含有一受控源，求電流i,

4、 電壓u。 例3.1- 3 例3.1-2用圖 11解 123.1.2 齊次定理 齊次定理表述為：當(dāng)一個激勵源(獨立電壓源或獨立電流源)作用于線性電路，其任意支路的響應(yīng)(電壓或電流)與該激勵源成正比。 線性電路中，當(dāng)全部激勵源同時增大到 (K為任意常數(shù)) 倍，其電路中任何處的響應(yīng) (電壓或電流) 亦增大到K倍。 13 例3.1 3 圖3.1 - 4為一線性純電阻網(wǎng)絡(luò)NR，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)不詳。已知兩激勵源us、is是下列數(shù)值時的實驗數(shù)據(jù)為 當(dāng)us=1V，is=1A時，響應(yīng)u2=0; 當(dāng)us=10V，is=0時，u2=1V。 問當(dāng)us=30 V，is=10 A時，響應(yīng)u2=? 圖 3.1-4 例3.1

5、- 3用圖14解 式中：k1，k2為未知的比例常數(shù)，其中k1無量綱，k2的單位為。 153.2 置換定理 圖 3.2-1 平衡電橋電路 16 圖3.2-1(a)為一平衡電橋電路，橋路上電流ig=0，橋路兩端電壓uac=0, 若要計算電流i，先來計算等效電阻Rbd。因ig=0， 故可以將Rg開路，如(b)圖，于是得 另一方面，由于Rg兩端電壓uac=0，所以又可將Rg短路，如(c)圖，從而有 17 置換定理(又稱替代定理)可表述為：具有唯一解的電路中，若知某支路k的電壓為uk，電流為ik，且該支路與電路中其他支路無耦合,則無論該支路是由什么元件組成的，都可用下列任何一個元件去置換： (1) 電壓

6、等于uk的理想電壓源； (2) 電流等于ik的理想電流源； (3) 阻值為uk/ik的電阻。 18圖 3.2-2 置換定理示意圖19圖 3.2- 3 驗證置換定理正確性的一個電路 20設(shè)出各支路電流i1, i2, i3，由圖可見i1=8A, 由歐姆定律得i2=uab/1=4/1=4A，再由KCL得i3=i1-i2=8-4=4A。這些結(jié)果的正確性無可置疑。 如圖3.2-3(a)所示電路，我們先應(yīng)用節(jié)點法計算出各支路電流及ab支路電壓。列寫節(jié)點方程，得 21例 3.2-1 對圖3.2-4(a)所示電路，求電流i1。 圖 3.2-4 解 22例3.2 2 如圖3.2-5所示電路，已知uab=0，求電

7、阻R。 圖 3.2-5 例3.2- 2用圖 23解 如果根據(jù)已知的uab=0的條件求得ab支路電流i，即 對節(jié)點a列方程 解之， 得 因uab=0，所以vb=va=8V。 24在(a)圖中設(shè)出支路電流i1, iR，電壓uR。由歐姆定律及KCL，得253.3 戴維南定理與諾頓定理 3.3.1 戴維南定理 一個含獨立源、線性受控源、線性電阻的二端電路N，對其兩個端子來說都可等效為一個理想電壓源串聯(lián)內(nèi)阻的模型。其理想電壓源的數(shù)值為有源二端電路N的兩個端子間的開路電壓uoc，串聯(lián)的內(nèi)阻為N內(nèi)部所有獨立源等于零(理想電壓源短路，理想電流源開路)，受控源保留時兩端子間的等效電阻Req，常記為R0 26圖

8、3.3-1 戴維南定理示意圖 27 圖 3.3-2 求開路電壓電路 28(1) 開路、短路法。 圖 3.3-3 求短路電流電路 29(2) 外加電源法。 圖 3.3-4 外加電源法求內(nèi)阻R0 30圖 3.3-5 二端電路N接負(fù)載電路 31圖 3.3-6 證明戴維南定理用圖 32圖 3.3-7 戴維南等效源模型圖 33 3.3.2 諾頓定理 諾頓定理(Nortons Theorem)可表述為：一個含獨立電源、線性受控源和線性電阻的二端電路N，對兩個端子來說都可等效為一個理想電流源并聯(lián)內(nèi)阻的模型。其理想電流源的數(shù)值為有源二端電路N的兩個端子短路時其上的電流isc，并聯(lián)的內(nèi)阻等于N內(nèi)部所有獨立源為零

9、時電路兩端子間的等效電阻，記為R0。 34圖 3.3-8 諾頓定理示意圖 35圖 3.3-9 證明諾頓定理簡圖 36 例3.3-1 圖3.3-10(a)所示電路，負(fù)載電阻RL可以改變，求RL=1其上的電流i；若RL改變?yōu)?， 再求電流i。 圖 3.3-10 例3.3-1用圖 37 解 (1) 求開路電壓uoc。自a, b處斷開待求支路(待求量所在的支路)，設(shè)uoc參考方向如(b)圖所示。由分壓關(guān)系求得 (2) 求等效內(nèi)阻R0。將(b)圖中電壓源短路，電路變?yōu)?c)圖。應(yīng)用電阻串并聯(lián)等效，求得 38 (3) 由求得的uoc，R0畫出等效電壓源(戴維南電源)，接上待求支路，如(d)圖所示。注意畫等

10、效電壓源時不要將uoc的極性畫錯。若a端為所設(shè)開路電壓uoc參考方向的“+”極性端，則在畫等效電壓源時使正極向著a端。由(d)圖求得 由于RL在二端電路之外，故當(dāng)RL改變?yōu)?時，二端電路的uoc,R0均不變化，所以只需將圖(d)中RL由1變?yōu)?， 從而可以非常方便地求得此時電流 39例 3.3-2 對圖3.3-11(a)所示電路，求電壓u。圖 3.3-11 40 解(1) 求短路電流isc。自a, b斷開電流源，再將a, b短路， 設(shè)isc參考方向如(b)圖所示。由電阻串并聯(lián)等效、分流關(guān)系及KCL可求得 (2) 求等效內(nèi)阻R0。(3) 畫出諾頓等效電源， 41 例 3.3-3 對圖3.3-12

11、(a)所示電路，求負(fù)載電阻RL上消耗的功率pL。 圖 3.3-12 例3.3-3用圖 42解 (1) 求uoc。 所以 (2) 求R。 43再用外加電源法求R0。 44 (3) 畫出戴維南等效源，接上待求支路，如(f)圖。 由圖可得 所以負(fù)載RL上消耗的功率 453.4 最大功率傳輸定理 圖 3.4-1 等效電壓源接負(fù)載電路 46為了找pL的極值點，令dpL/dRL=0， 即 47圖 3.4-2 等效電流源接負(fù)載電路 通常，稱RL=R0為最大功率匹配條件。 48 例 3.4-1 如圖3.4-3所示電路，若負(fù)載RL可以任意改變，問負(fù)載為何值時其上獲得的功率為最大? 并求出此時負(fù)載上得到的最大功率

12、pLmax。 解 (1) 求uoc。從a,b斷開RL，設(shè)uoc如(b)圖所示。在(b)圖中，應(yīng)用電阻并聯(lián)分流公式、歐姆定律及KVL求得 49圖 3.4-3 例3.4-1用圖 50(2) 求R0。令(b)圖中各獨立源為零，如(c)圖所示，可求得 (3) 畫出戴維南等效源，接上待求支路RL，如(d)圖所示。 由最大功率傳輸定理知，當(dāng) 時其上獲得最大功率。 此時負(fù)載RL上所獲得的最大功率為 51 例3.4-2 如圖3.4-4(a)所示電路，含有一個電壓控制的電流源，負(fù)載電阻RL可任意改變，問RL為何值時其上獲得最大功率? 并求出該最大功率pLmax。 圖 3.4-4 例3.4-2用圖 52 解 (1

13、) 求uoc。自a, b斷開RL并設(shè)uoc， 如(b)圖所示。 在(b)圖中設(shè)電流i1, i2。由歐姆定律得 又由KCL得 所以 53 (2) 求R0。令(b)圖中獨立源為零，受控源保留，并在a, b端加電流源i如(c)圖所示。有關(guān)電流電壓參考方向標(biāo)示在圖上。類同(b)圖中求i1，i2，由(c)圖可知 所以 54(3) 由最大功率傳輸定理可知 時，其上可獲得最大功率。 此時負(fù)載RL上獲得的最大功率為 55 例 3.4-3 如圖3.4-5(a)所示電路，負(fù)載電阻RL可任意改變，問RL=? 時其上獲最大功率，并求出該最大功率pLmax。 解 (1) 求isc。自a, b斷開RL，將其短路并設(shè)isc

14、如(b)圖。由(b)圖， 顯然可知 ，則 即受控電壓源等于零，視為短路，如(c)圖所示。應(yīng)用疊加定理，得 56 (2) 求R0。令(b)圖中獨立源為零、受控源保留，a, b端子打開并加電壓源u，設(shè) 、 及i如(d)圖所示。由(d)圖，應(yīng)用歐姆定律、KVL、KCL可求得 57圖 3.4-5 例3.4-3用圖 583.5 互易定理 互易定理可表述為：對一個僅含線性電阻的二端口，其中，一個端口加激勵源，一個端口作響應(yīng)端口(所求響應(yīng)在該端口上)。在只有一個激勵源的情況下，當(dāng)激勵與響應(yīng)互換位置時， 同一激勵所產(chǎn)生的響應(yīng)相同，這就是互易定理。 59圖 3.5-1 互易定理形式 60 (1) 在圖3.5-1

15、(a)中，電壓源激勵us1加在網(wǎng)絡(luò)NR的1-1端，以網(wǎng)絡(luò)NR的2-2端的短路電流i2作響應(yīng)。在圖3.5-1(b)(互易后電路)中，電壓源激勵us2加在網(wǎng)絡(luò)NR的2-2端，以網(wǎng)絡(luò)NR的1-1的短路電流i1作響應(yīng)，則有 (3.5-1)若特殊情況，令us2=us1 61圖 3.5-2 互易定理形式 62 (2) 在圖3.5-2(a)(互易前網(wǎng)絡(luò))中，電流源激勵is1加在NR的1-1端，以NR的2-2端開路電壓u作響應(yīng)；在圖3.5- 2(b)(互易后網(wǎng)絡(luò))中，電流激勵源is2加在NR的2-2端，以NR1-1端的開路電壓u1作響應(yīng)，則有 若特殊情況，令is2=is1(相當(dāng)于激勵源is1從NR的1-1端移

16、動到NR的2-2端) 63 (3) 在互易前網(wǎng)絡(luò)圖3.5-3(a)中，激勵源is1加在NR的1-1端，以NR的2-2端短路電流作響應(yīng)；在互易后網(wǎng)絡(luò)圖3.5-3(b)中，激勵源us2加在NR的2-2端，以NR的1-1端開路電壓u1作響應(yīng)，則有 對于互易網(wǎng)絡(luò)，互易前網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)i2與激勵is1的比值等于互易后網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)u1與激勵us2的比值。 若特殊情況，令us2=is1(同一單位制下，在數(shù)值上相等)，則有 u1=i2 （在數(shù)值上相等） 64圖 3.5-3 互易定理形式 65互易定理的證明 圖 3.5-4 證明互易定理用圖 66在(a)圖中列寫網(wǎng)孔方程為 6768因互易前(a)圖與互易后(b)圖電路拓?fù)?/p>

17、結(jié)構(gòu)一樣，網(wǎng)孔個數(shù)及序號互易前后兩網(wǎng)絡(luò)也一樣，僅網(wǎng)孔電流相反，所以有： (a)圖中Rjj等于(b)圖中Rjj(j=1, 2, , m)； (a)圖中Rjk等于(b)圖中Rjk(j, k=1, 2, m)。所以(a)圖的等于(b)圖的。又NR內(nèi)不含受控源，所以有Rjk=Rkj(j, k=1, 2, , m)，因此，行列式中各元素對主對角線對稱，從而使代數(shù)余因式 69 應(yīng)用互易定理分析電路時應(yīng)注意以下幾點： (1) 互易前后應(yīng)保持網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及參數(shù)不變， 僅理想電壓源(或理想電流源)搬移，理想電壓源所在支路中電阻仍保留在原支路中。 (2) 互易前后電壓源極性與1 1、 2 2支路電流的參考方向應(yīng)

18、保持一致(要關(guān)聯(lián)都關(guān)聯(lián)，要非關(guān)聯(lián)都非關(guān)聯(lián))。 (3) 互易定理只適用于一個獨立源作用的線性電阻網(wǎng)絡(luò)， 且一般不能含有受控源。 70例 3.5-1 如圖3.5-5(a)電路，求電流i2。 圖 3.5-5 例3.5-1用圖 71解 72 例 3.5-2 有一線性無源電阻網(wǎng)絡(luò)NR，從NR中引出兩對端子供聯(lián)接電源和測試時使用。當(dāng)輸入端1-1接以2A電流源時，測得輸入端電壓u1=10V，輸出端2-2開路電壓u2=5V， 如圖3.5-6(a)所示。若把電流源接在輸出端，同時在輸入端跨接一個5的電阻，如圖(b)所示，求流過5電阻的電流i。 解 73圖 3.5-6 例3.5-2用圖 743.6 小 結(jié) (1) 疊加定理是線性電路疊加特性的概括表征， 它的重要性不僅在于可用疊加法分析電路本身，而且在于它為線性電路的定性分析和一些具體計算方法提供了理論依據(jù)。疊加定理作為分析方法用于求解電路的基本思想是“化整為零”，即將多個獨立源作用的較復(fù)雜的電路分解為一個一個(或一組一組)獨立源作用的較簡單的電路，在各分解圖中分別計算， 最后代數(shù)和相加求出結(jié)果。若電路含有受控源，在作分解圖時受控源不要單獨作用。齊次定理是表征線性電路齊次性(均勻性)的一個重要定理，它常輔助疊加定理、戴維南定理、諾頓定理來分析求解電路問題