沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)《固體物理》(李新)第三章

1、第三章 晶格振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì) 掌握一維晶格的振動(dòng)、長(zhǎng)波近似、聲子，了解三維晶格振動(dòng)、晶格振動(dòng)熱容理論。教學(xué)目的：本章重點(diǎn)內(nèi)容 一維單原子/雙原子鏈模型及其色散關(guān)系晶格振動(dòng)的量子化-聲子晶體的比熱非簡(jiǎn)諧效應(yīng)1 一維原子鏈的振動(dòng)相對(duì)位移后，兩個(gè)原子間相互作用勢(shì)能：在平衡位置，勢(shì)能最小為零。振動(dòng)很微弱時(shí)，a恢復(fù)力常數(shù):簡(jiǎn)諧近似1.1 運(yùn)動(dòng)方程1 一維原子鏈的振動(dòng) 只考慮臨近原子相互作用，第n個(gè)原子所受的總作用力：第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程:xnxn-1xn+1設(shè) 的試解具有波動(dòng)形式：為波矢， 格波頻率1.1 運(yùn)動(dòng)方程1.2 格波頻率-波矢關(guān)系代入運(yùn)動(dòng)方程：1 一維原子鏈的振動(dòng)1.2 格波頻率-波矢關(guān)系

2、依據(jù)：一維晶格色散關(guān)系振動(dòng)頻譜一維單原子晶格振動(dòng)譜色散關(guān)系 格波色散關(guān)系是周期函數(shù)因此，q可限制在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)1 一維原子鏈的振動(dòng)1.3周期性邊界條件-玻恩-卡門(mén)邊界條件q限制在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)l 為整數(shù) l只能取N個(gè)不同值，q也只能取N個(gè)不同值，N是原胞數(shù)。 晶格振動(dòng)波矢數(shù) 晶格原胞數(shù) N1 一維原子鏈的振動(dòng)1.4 格波格波： 晶格中存在著角頻率為 的平面波。格波的波矢：格波的傳播方向：波速：格波 當(dāng)q-0時(shí)，此時(shí)，格波的振動(dòng)可以看作彈性波。當(dāng)q = 時(shí)，格波的群速：駐波長(zhǎng)波近似2n2n-12n+22n+12aMm2.一維雙原子鏈試探解：2.1 格波頻譜分支運(yùn)動(dòng)方程2.一維雙原子鏈A,B有非零解

3、光學(xué)波聲學(xué)波折合質(zhì)量聲頻支格波2.一維雙原子鏈2.2 兩支格波的特征聲頻波依據(jù)：相鄰原子振動(dòng)方向相同，波長(zhǎng)相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)，代表原胞質(zhì)心的振動(dòng)。光頻波依據(jù)：相鄰原子振動(dòng)方向相反。當(dāng)q很小時(shí)：光頻支格波2.一維雙原子鏈原胞質(zhì)心不動(dòng)，原胞中2原子相對(duì)運(yùn)動(dòng)。2.2 兩支格波的特征2.3周期性邊界條件第一布里淵區(qū)內(nèi)波數(shù) q 的總數(shù)就是晶體鏈原胞的數(shù)目N。每個(gè) q 值對(duì)應(yīng)著兩個(gè)頻率，所以2.一維雙原子鏈q限制在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)=整數(shù)， N為晶體鏈的原胞數(shù)。以上結(jié)論是否正確，只能依據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)判定。3. 三維晶格N個(gè)原胞每個(gè)原胞有n個(gè)原子的三維晶體晶格振動(dòng)的波矢數(shù) 晶體的原胞數(shù) N晶格振動(dòng)的模式數(shù) 晶體的自由度數(shù) 3

4、nN晶體中格波的支數(shù) 原胞內(nèi)的自由度數(shù)：3n其中 3 支為聲學(xué)支（1支縱波、2支橫波） 3n3支為光學(xué)支（也有縱波、橫波之分）金剛石晶格振動(dòng)沿110方向傳播的格波頻率與波矢關(guān)系4.晶格振動(dòng)的量子化4.1格波的量子理論（單原子為例）第n個(gè)原子在t時(shí)刻位移：系統(tǒng)的總能量： 式中有（xn+1xn）交叉項(xiàng)存在，對(duì)建立物理模型和數(shù)學(xué)處理都帶來(lái)困難，用坐標(biāo)變換的方法消去交叉項(xiàng)。參見(jiàn)方俊鑫-固體物理學(xué)。諧振子能量：三維晶格振動(dòng)的總能量：代表零振動(dòng)能量。格波的角頻率聲子的能量4.晶格振動(dòng)的量子化4.2聲子-晶格振動(dòng)的能量量子。 聲子只反映晶體原子集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的激發(fā)單元，不能脫離固體而單獨(dú)存在，不是一種真實(shí)的粒

5、子，聲子是一種準(zhǔn)粒子。聲子數(shù)目并不守恒。聲子可以產(chǎn)生，也可以 湮滅。 當(dāng)電子或光子與晶格振動(dòng)相互作用時(shí)，總是以 為單元交換能量，若電子交給晶格 的能量，稱為發(fā)射一個(gè)聲子；若電子從晶格獲得 的能量，則稱為吸收一個(gè)聲子。聲子具有能量 ，也具有準(zhǔn)動(dòng)量 聲子氣體不受 Pauli 不相容原理的限制，粒子數(shù)目不守恒，屬于波色子系統(tǒng)，服從玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)。令： 系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài)時(shí)，頻率為i 的格波的平均聲子數(shù)：頻率為i的聲子平均聲子數(shù)4.晶格振動(dòng)的量子化平均聲子數(shù)5 確定晶格振動(dòng)譜(q)的實(shí)驗(yàn)方法-格波的色散關(guān)系。重要的實(shí)驗(yàn)方法：（1）中子的非彈性散射（3）光的散射（2）X射線衍射中子的非彈性散射實(shí)驗(yàn)原理中子

6、與晶格的相互作用中子與晶體中聲子的相互作用中子吸收或發(fā)射聲子非彈性散射吸收一聲子發(fā)射一聲子能量守恒動(dòng)量守恒6 晶體的比熱6.1杜隆珀替定律 經(jīng)典模型及能量均分定理 晶體的定容比熱： 表明定容比熱與溫度無(wú)關(guān)。在高溫時(shí)，這條定律和實(shí)驗(yàn)符合得很好，但在低溫時(shí)，實(shí)驗(yàn)表明絕緣體的比熱隨溫度T三次方衰減，導(dǎo)體比熱按T趨近于零 。 焦?fàn)?（開(kāi)摩爾）6.2比熱的量子理論 頻率為的諧振子，其能量：晶體有N個(gè)原子，能量：6.2比熱的量子理論 表示角頻率在到+d之間的格波數(shù) 頻率函數(shù)用積分表示：晶體有N個(gè)原子，能量：晶體的定容比熱： 關(guān)鍵：求角頻率分布函數(shù)。 愛(ài)因斯坦模型假定晶體中所有原子都以相同頻率獨(dú)立地振動(dòng)。愛(ài)

7、因斯坦模型稱為愛(ài)因斯坦比熱函數(shù)。愛(ài)因斯坦溫度： 選合適的愛(ài)因斯坦溫度，理論曲線和實(shí)驗(yàn)曲線較好符合。高溫時(shí)：與杜隆珀替定律 一致溫度非常低時(shí)：愛(ài)因斯坦模型比熱指數(shù)地趨于零，相當(dāng)好地符合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；定量上，與實(shí)驗(yàn)的T3趨于零不符合。 金剛石熱容量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Einstein模型波矢的取值密度0波矢的取值密度倒格子原胞體積正格子原胞體積晶體體積德拜模型假設(shè)：晶體是各向同性的連續(xù)彈性介質(zhì)，格波可以看成連續(xù)介質(zhì)的彈性波。并假定橫波和縱波的傳播速度相同。qq+dq對(duì)于每支振動(dòng)，波矢數(shù)值在q到q+dq的振動(dòng)方式數(shù)目：角頻率在到+d之間的格波數(shù)： 計(jì)及三種彈性波，得出在到+d之間的格波數(shù)： 依據(jù)德拜模型令：式中：

8、德拜溫度德拜模型德拜比熱函數(shù)當(dāng)與經(jīng)典理論一致當(dāng)在極低溫下，比熱和溫度的立方成正比，叫德拜定律 幾種材料晶格熱容量理論值與實(shí)驗(yàn)值的比較德拜模型7非簡(jiǎn)諧效應(yīng)原子運(yùn)動(dòng)方程不是線性微分方程；原子狀態(tài)的通解不再是特解的線性疊加；交叉項(xiàng)不能消除；格波間有互作用；聲子相互作用（碰撞、產(chǎn)生、湮滅）。-服從能量和動(dòng)量守恒7.1聲子的碰撞Normal process 正常過(guò)程（N過(guò)程）Umklapp process 倒逆過(guò)程（U過(guò)程）7.1聲子的碰撞 N過(guò)程只改變動(dòng)量的分布，而不改變熱流的方向，不影響聲子的平均自由程，這種過(guò)程不產(chǎn)生熱阻。 在U過(guò)程中，聲子的準(zhǔn)動(dòng)量發(fā)生了很大變化，從而破壞了熱流的方向，限制了聲子的

9、平均自由程，所以U過(guò)程會(huì)產(chǎn)生熱阻。7.2熱傳導(dǎo)對(duì)絕緣體，晶體中的熱導(dǎo)主要由聲子來(lái)完成。 熱端冷端（K為熱導(dǎo)率）熱能流密度距離相差l的兩區(qū)域： 7.2熱傳導(dǎo)為聲子兩次碰撞間的相隔時(shí)間。 是對(duì)所有聲子的平均值，由能量均分定理可知 決定熱導(dǎo)率K的三要素：?jiǎn)挝惑w積熱容、聲子平均速率、 平均自由程聲子散射機(jī)制：（1）聲子之間的碰撞（高溫時(shí)特別重要）高溫時(shí)平均聲子數(shù)：碰撞幾率與聲子數(shù)成正比，平均自由程與溫度成反比。7.2熱傳導(dǎo)（2）聲子和晶體中的缺陷碰撞雜質(zhì)和缺陷也散射聲子，部分破壞理想的周期性，散射越強(qiáng)，l 越短。（3）聲子和樣品外部邊界發(fā)生碰撞。 低溫下，1、2變得無(wú)效。3起作用，激發(fā)聲子波長(zhǎng)可與樣品

10、大小比擬，與溫度無(wú)關(guān)。低溫：熱導(dǎo)率由比熱決定高溫：熱導(dǎo)率決定于l高純度NaF晶體熱導(dǎo)率曲線ttt1t27.3熱膨脹線膨脹系數(shù)：=(1/L)(L/ t)體積膨脹系數(shù)：=(1/V)*(V/ t)取 ,省略高次項(xiàng)：按波爾茲曼統(tǒng)計(jì)：簡(jiǎn)諧近似時(shí)，沒(méi)有熱膨脹現(xiàn)象。7.3熱膨脹計(jì)入非對(duì)稱項(xiàng)同理線膨脹系數(shù)與溫度無(wú)關(guān)。若計(jì)入更高次項(xiàng)，線膨脹系數(shù)與溫度有關(guān)。由統(tǒng)計(jì)物理可知，F(xiàn)2=kBTlnZF = F1+F2 F1=U(V)只與晶體的體積有關(guān)，而與溫度（或晶格振動(dòng)）無(wú)關(guān)， U(V)實(shí)際上是T=0時(shí)晶體的內(nèi)能。 F2與晶格振動(dòng)有關(guān)，即與溫度有關(guān)。Z：晶格振動(dòng)的配分函數(shù) 7.4晶格自由能對(duì)于頻率為j的格波，其配分函數(shù)為晶格自由能為：系統(tǒng)的總配分函數(shù)：7.4晶格自由能7.4晶格自由能其中晶格狀態(tài)方程：格林愛(ài)森常數(shù).與晶格振動(dòng)的非簡(jiǎn)諧性有關(guān)。7.4晶格自由能對(duì)于大多數(shù)固體，溫度變化時(shí)，其體積變化不大。只保留V的一次項(xiàng)，有：當(dāng)P=0時(shí),體積為V0時(shí)的體積彈性模量. 格林愛(ài)森定律 對(duì)許多固體材料的測(cè)量結(jié)果證實(shí)了格林愛(ài)森定律， 的值一般在13之間。7.4晶格自由能與晶格振動(dòng)的非簡(jiǎn)諧性有關(guān)。1）設(shè)線性原子鏈上最近鄰原子間恢復(fù)力常數(shù)交替等于和2，且令原子質(zhì)量均為m，最近鄰原子間距為a, 試求晶格色散關(guān)系及頻帶寬。2）