高中數(shù)學(xué)必修一集合與集合的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)

1、1.2子集、全集、補(bǔ)集一、課本掃描二、基本概念1、子集的概念對(duì)于兩個(gè)集合與 （1）如果集合中的任何一個(gè)元素都是集合的元素，我們就說(shuō)集合包含于集合，或說(shuō)集合包含集合，記作或，這時(shí)，集合叫做集合的子集。 （2）如果，我們就說(shuō)集合是集合的真子集，記作。 （3）如果同時(shí)，那么。 子集的概念是由討論集合與集合間的關(guān)系引出的，兩個(gè)集合與之間的關(guān)系如下： 其中記號(hào)（或）表示集合不包含于集合（或者集合不包含集合）。2、子集具有以下性質(zhì)： ，即任何一個(gè)集合都是它本身的子集。 如果，那么。 如果，那么。 如果，那么。 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。3、關(guān)于有限集合子集個(gè)數(shù)的討論。 個(gè)元素的集合有個(gè)

2、子集。 個(gè)元素的集合有個(gè)真子集。 個(gè)元素的集合有個(gè)非空子集。 個(gè)元素的集合有個(gè)非空真子集。4、全集與補(bǔ)集 設(shè)是一個(gè)集合，是的一個(gè)子集，由中所有不屬于集合的元素組成的集合，叫做中的子集的補(bǔ)集，記作用數(shù)學(xué)式子表示為： 。 如果集合含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，我們稱(chēng)集合為全集，記作。5、全集與補(bǔ)集的性質(zhì) （1），（2），（3）6、關(guān)于全集與補(bǔ)集的理解 （1）全集具有相對(duì)性，是相對(duì)于我們所研究的問(wèn)題而言的一個(gè)概念。如：小學(xué)數(shù)學(xué)研究的問(wèn)題常在有理數(shù)集內(nèi)，則有理數(shù)集是全集。初中代數(shù)研究的問(wèn)題常在實(shí)數(shù)集內(nèi)，則實(shí)數(shù)集就是全集。 補(bǔ)集是以全集為前提加以定義的，因此它們是相互依存不可分離的兩個(gè)概念。如：

3、，則。 （2）用數(shù)學(xué)的三種語(yǔ)言互澤表示全集與補(bǔ)集：三、基本題型例1、判斷下列關(guān)系是否正確 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8） 解：（1）任何一個(gè)集合是它本身的子集，因此，正確； （2）兩個(gè)集合中的元素相同，故用“=”號(hào)正確； （3）空集是任何非空集合的真子集，正確； （4）中只有一個(gè)元素0，正確； （5）與是兩個(gè)集合，不能用連接； （6）中沒(méi)有任何元素，而中有一個(gè)元素，二者不相等； （7）空集是任何非空集合的真子集，正確； （8）正確。 由以上分析可知：（1）（2）（3）（4）（7）（8）正確，（5）（6）錯(cuò)誤。例2、已知集合滿(mǎn)足，則這樣的集合有多少個(gè)？ 分析：由已

4、知集合中至少含有1，2兩個(gè)元素，至多含有1，2，3，4，5五個(gè)元素，故滿(mǎn)足條件的集合的個(gè)數(shù)是的子集個(gè)數(shù)。 解：因集合的子集有，共8個(gè)，故滿(mǎn)足條件的集合共有8個(gè)。 評(píng)注：本題易丟掉或兩個(gè)集合，若集合中有個(gè)元素，集合中有個(gè)元素，且，則滿(mǎn)足的集合Z共有個(gè)。例3、設(shè)，若，求實(shí)數(shù)。 分析：，即是的子集，表明集合的元素都是的元素。 解：，方程無(wú)解或其解為3或?；蚧?，或或。 評(píng)注：因?yàn)槭嵌丶?，而的元素最多一個(gè)，所以由可知，是的真子集，所以有三種可能，在做題過(guò)程中很容易丟掉的情況。例4、已知，且，求的值。 分析：由可知，兩個(gè)集合中的元素應(yīng)該完全相同，由此，可用集合中元素的性質(zhì)解題。 解：根據(jù)集合中元素的無(wú)

5、序性，有：解方程組得 再根據(jù)集合中元素的互異性，得或。 評(píng)注：集合中元素的互異性在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)至關(guān)重要，要引起足夠的重視。例5、設(shè)集合以及集合，且，則與的關(guān)系是 。 分析：本題主要考查全集與補(bǔ)集的概念，可選用適當(dāng)?shù)姆椒ń忸}。 解法1：利用補(bǔ)集的性質(zhì)，故。 解法2：由圖2-1可知。 圖2-1 評(píng)注：對(duì)于較抽象的集合之間的關(guān)系，一般用韋恩圖比較簡(jiǎn)單，可達(dá)到變抽象為直觀的目的。例6、已知全集，子集，且，求。 分析：要注意到。 解：由補(bǔ)集定義知：解得：。四、A級(jí)訓(xùn)練1、列舉集合的所有子集：2、集合與空集的關(guān)系為：3、若，則 ， ， 。4、下列集合中，只有一個(gè)子集的集合是（ ） A、 B、 C、 D、

6、5、已知全集，且，則集合的真子集共有 個(gè)。6、已知全集是的非空子集，若，則有（ ） A、 B、 C、 D、五、發(fā)散思維例1、已知，求證。 證明：（1）任取，則,由知，即。 （2）任取，則，由知，即。由（1）（2）可知。例2、已知集合，求滿(mǎn)足條件的集合。 解：對(duì)于方程無(wú)實(shí)根，。，即。，集合為。例3、已知集合，當(dāng)時(shí)，求的范圍。 解：，由圖2-2得。 圖2-2 評(píng)注：在本書(shū)內(nèi)容中，常使用數(shù)軸，韋恩圖這兩類(lèi)圖形，在與不等式有關(guān)問(wèn)題中，必須畫(huà)出數(shù)軸，有利于快速解題。例4、已知全集，如果，則這樣的實(shí)數(shù)是否存在？若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由。 解：且。，則，即，或，或。 當(dāng)時(shí)，則中有重復(fù)元素，故； 當(dāng)時(shí)

7、，； 當(dāng)時(shí)，故。 由以上可知，所求的實(shí)數(shù)存在，此時(shí)，。六、B級(jí)訓(xùn)練1、，則下列結(jié)論正確的是（ ） A、 B、 C、 D、2、設(shè)是全集，且，則下列各式成立的是（ ） A、 B、 C、 D、3、設(shè)，則 ， 。4、若集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。七、綜合應(yīng)用與提高例1、（1）設(shè)，若，求實(shí)數(shù)組成的集合。 （2）設(shè)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 分析：以上兩題，雖然一個(gè)是等式，一個(gè)是不等式，但殊途同歸，解題方法一樣，由于可能為空集，且時(shí)，仍然有成立，因此，都要分，兩種情況討論。 解：（1），或，時(shí)，。時(shí)，由知，或。將，或代入，得，或。 由、可知，由組成的集合為。 （2）當(dāng)時(shí)，如圖2-3所示，由得解得。 圖2

8、-3 當(dāng)時(shí)，解得，由以上可得。 評(píng)注：（1）說(shuō)明集合的任何一個(gè)元素都屬于。 （2）集合可能為，這一點(diǎn)在解題時(shí)常常容易忽視，從而致錯(cuò)，在解題時(shí)要特別注意這個(gè)“陷阱”。例2、已知集合。 （1）寫(xiě)出的所有子集； （2）求的所有子集的元素之和； （3）若以這些子集為元素組成集合，判斷與的關(guān)系。 分析：第（1）問(wèn)可以按子集中元素的個(gè)數(shù)分別為0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)，進(jìn)行分類(lèi)討論，寫(xiě)出所有子集。 第（2）問(wèn)，觀察所有子集的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，求出所有元素的和。 第（3）問(wèn)，用列舉法寫(xiě)出集合，則、的關(guān)系就會(huì)立即顯露出來(lái)。 解：（1）的所有子集為。 （2）元素1出現(xiàn)在四個(gè)子集中，元素2也分別出現(xiàn)在四個(gè)子集中，元素3同樣出

9、現(xiàn)在四個(gè)子集中。 的所有子集的元素之和為。 （3），。八、C級(jí)訓(xùn)練1、已知，求實(shí)數(shù)的取值范圍。2、已知集合，是否存在實(shí)數(shù)，使？若存在，求出的范圍；若不存在，說(shuō)明理由。九、高考零距離1、（2002全國(guó)）設(shè)集合A級(jí)訓(xùn)練答案及解析:1、解：含有0個(gè)元素的子集有：； 含有1個(gè)元素的子集有：； 含有2個(gè)元素有子集有：； 含有3個(gè)元素的子集有：；共有8個(gè)子集。2、解：由于空集是任何非空集事的真子集，因此。3、解：由已知即4、C，解：5、解：，因此有共3個(gè)真子集。6、解：若，則；若，則；所以：，選A。B級(jí)訓(xùn)練解析及答案：1、解析：的含義是：符合關(guān)系的的值的集合，顯然，可取任意實(shí)數(shù)，所以； 的含義是：符合的的

10、集合，則； 的含義是：方程的根的集合，解得，所以； 的含義是：不等式的解集，而，這樣的不存在，所以； 的含義是：拋物線上的所有點(diǎn)； 的含義是：，即，表示直線上的點(diǎn)。答案：B2、解析：作韋恩圖如圖2-4所示，可知答案為A。 圖2-4答案：A3、解析：，而。答案：3，44、解析：，可以為；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，則，解得；當(dāng)時(shí)，是方程式的根，代入，得； 當(dāng)時(shí)，是方程式的根，代入，得。 又方程有且僅有一個(gè)實(shí)根時(shí)，舍去，僅取，由以上可知。 評(píng)注：遇到一元二次方程的根的問(wèn)題時(shí)，要注意明確判別式的正負(fù)情況，即審清題意，先看方程是否有實(shí)根。答案：C級(jí)訓(xùn)練答案及解析1、解：，時(shí)，如圖2-5所示，有，即 圖2-5化簡(jiǎn)得

11、 由圖2-6知，使得不等式組同時(shí)成立的的范圍是。 圖2-6 當(dāng)時(shí)，有，解得。由以上可知，當(dāng)，或時(shí)，都有。 由圖2-7可見(jiàn)，這兩部分在數(shù)軸上能連接起來(lái)，因此。 圖2-72、解：。即；，由圖2-8得 圖2-8即。即存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，。 評(píng)注：（1）明確集合都是數(shù)集，是一定范圍內(nèi)的數(shù)組成的集合。 （2）集合都與集合有聯(lián)系，都受集合影響。 （3）以整體的觀點(diǎn)來(lái)處理問(wèn)題，集合是由元素組成的，而就是一個(gè)整體，即視為一個(gè)整體，同理，視為一個(gè)整體，就是z。 （4）由于集合中都有，因此，就間接地給出了和的取值范圍。 （5）集合都是實(shí)數(shù)的范圍問(wèn)題，因此，可以畫(huà)數(shù)軸，在同一個(gè)數(shù)軸上找出二者的聯(lián)系，列出不等式組，取使得兩個(gè)不等式同時(shí)成立的的范圍。九、高考零距