北京大學(xué)量子力學(xué)課件 第23講

1、 第 二 十 三講 .自旋 (1) 考慮自旋后，狀態(tài)和力學(xué)量的描述 A.自旋波函數(shù)（電子的自旋態(tài)） 對于 的本征方程為在其自身表象1 而相應(yīng)本征態(tài)的表示為2 是 的本征值為 的本征態(tài)在表象 中的表示 ； 是 的本征值為 的本征態(tài)在表象 中的表示 。 顯然 正交 對于任何一旋量 在表象 中，其表示為 3而 和 可由 與 標(biāo)積獲得 4 B. 考慮自旋后狀態(tài)的描述 由于電子除了 之外，還有第四個(gè) 動(dòng)力學(xué)變量 ，它的特點(diǎn)僅取二個(gè)值，而 。 所以，可在表象 中表示體系波函數(shù)。 對處于某狀態(tài) 的體系可按自旋波函數(shù)展開。 5 代表體系處于 而自旋向上的幾率密度 代表體系處于 而自旋向下的幾率密度 如同一般變

2、量可分離型一樣，當(dāng) 對 和 是變量可分離型的，則其特解為 6則 表象 中的表示為 若 是歸一化的態(tài)矢量，則7 C考慮自旋后，力學(xué)量的表述 在 表象中， 直接由 在 表象中表示來獲得表象 中的表示 8 對任一算符的平均值為9（2）考慮自旋后，電子在中心勢場中的薛定諤方程 A.動(dòng)能項(xiàng) 在非相對論極限下，電子的動(dòng)能為 當(dāng)計(jì)及電子的自旋后，波函數(shù)是兩分量。并注意到10我們有 而置于電磁場中時(shí)，則 11 B. 自旋軌道耦合項(xiàng) 由Dirac方程可以證明，當(dāng)電子在中心力場中運(yùn)動(dòng)，哈密頓量（在非相對論極限下）中將出現(xiàn)自旋軌道耦合項(xiàng)（Thomas項(xiàng)）（核提供的庫侖屏敝場和自旋的作用導(dǎo)致） ， 12 C電子置于電

3、磁場中的哈密頓量 D.處于中心場中的電子，并置于電磁場中的薛定諤方程為 13 應(yīng)該注意，在 表象中，這時(shí) 是兩分量的，即 （1，2，3項(xiàng)是對角矩陣）14. 堿金屬的雙線結(jié)構(gòu) 引進(jìn)電子自旋后，我們就能夠利用量子力學(xué)理論來解釋原子光譜中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)及在外電磁場中的現(xiàn)象 （1）總角動(dòng)量 A.總角動(dòng)量引入：當(dāng)考慮電子具有自旋后， 電子在中心力場中的Hamiltonian為 15 由于自旋軌道耦合項(xiàng)， 和 都不是運(yùn)動(dòng) 常數(shù). 16因此，( )不能構(gòu)成力學(xué)量完全集 但 即 引入 而 17由于有心勢所以， 彼此對易18 因此 可作為力學(xué)量的完全集（如無 ，可選 ） B. 的共同本征矢的表示（在 表象中） 19

4、 1. 它是的本征函數(shù) 取 20 2它們是 的本征函數(shù)因此 3由 21 在( )表象中矩陣表示22即得 的本征值23 由此可見， 取確定值 ，而 不具有確定值，它們?nèi)≈禐?4 事實(shí)上，上述就是 基矢以 基矢展開。 25即從 A 表象 B 表象 a,b 就是平常稱的幺正變換系數(shù) 26 于是在中心勢中，考慮了電子的自旋，則其特解 27 例：電四極矩 電四極矩算符 在原子物理和原子核物理中，測量的電四極矩給出的值的定義為（對于一個(gè)電荷均勻分布的帶電體，其大小，符號(hào)，反映了體系的形狀） 先看 28 由 29 而注意到 與自旋無關(guān)，而 是正交的 30 由此可見， 時(shí)， ，這是由于算符 是角動(dòng)量為2 的算

5、符。 當(dāng)它作用于 后，態(tài)將從當(dāng) ，則 將 ,31 所以, 與 正交。因此，這時(shí)在帶電體外，顯示“電荷”是球形分布。 （2）堿金屬的雙線結(jié)構(gòu) 堿金屬原子有一個(gè)價(jià)電子，它受到來自原子核和其他電子提供的屏蔽庫侖場的作用。 所以，價(jià)電子的哈密頓量為 32 如選力學(xué)量完全集 （運(yùn)動(dòng)常數(shù)的完全集） 則 33 由于 34 可表為35 因 為吸引勢（它為負(fù)值， ） 所以 即 。因此， 根據(jù)Hellmann-Feynman定理可證 36 能級(jí) 這即觀測到納光譜的雙線結(jié)構(gòu)。 7.4 兩個(gè)自旋為 的粒子的自旋波函數(shù)，糾纏態(tài) (1) 表象中,兩各自旋為 的粒 子的自旋波函數(shù) 設(shè)：兩粒子的自旋分別為 。顯然，如 37選

6、 表象，則可能的態(tài)為 (2) 表象中兩自旋為 的粒子的自旋波函數(shù) 如令38則 滿足角動(dòng)量的對易關(guān)系并有 可選 為力學(xué)量的完全集 由 39 令 是 的本征態(tài) 40 ，所以 于是有 41這時(shí)有 四個(gè)態(tài) 42顯然而由因此 43當(dāng) 直接得 44即即所以 是交換算符45因此 它們被稱為糾纏態(tài)。 糾纏態(tài)：體系的態(tài)矢量僅能表示為它的各部分態(tài)矢量直乘的疊加態(tài)46 為自旋三重態(tài) （對稱的） 為自旋單態(tài) （反對稱的） 當(dāng)兩自旋為 的全同粒子，其相互作用對空間坐標(biāo)和自旋變量是變量可分離時(shí)，則特解為47 但是，這并不是體系可處的狀態(tài)。微觀世界還有一重要規(guī)律，使體系波函數(shù)不能完全任意選擇，這就是微觀粒子的全同性問題。 (3) 表象中兩自旋為 的粒子的自旋態(tài)-Bell基 若取 顯然48 于是可選 的共同本征態(tài)作為兩自旋為 粒子的自旋態(tài)49它們也都是糾纏態(tài)507.5 全同粒子交換不變性波函數(shù)具有確定的 交換對稱性 各種微觀粒子有一定屬性，具有一定質(zhì)量、電荷、自旋，人們根據(jù)它的屬性的不同分別稱為電子，質(zhì)子，介子， ， 等等