第三二課時(shí)矩形、菱形、正方形

1、第32課時(shí) 矩形、菱形、正方形本課時(shí)復(fù)習(xí)主要解決下列問題.1.菱形的概念、性質(zhì)及判定 此內(nèi)容為重點(diǎn)1.為此設(shè)計(jì)了歸類探究中的例1,例2； 限時(shí)集訓(xùn)中的第1，2，8，12，14題.2.矩形的概念、性質(zhì)及判定 此內(nèi)容為重點(diǎn)2.為此設(shè)計(jì)了歸類探究中的例3； 限時(shí)集訓(xùn)中的第5，6，7，9，10，13題.3.正方形的概念、性質(zhì)及判定 此內(nèi)容為重點(diǎn)3.為此設(shè)計(jì)了歸類探究中的例4；限時(shí)集訓(xùn)中的第3，11，15題.4.特殊平行四邊形的綜合運(yùn)用 此內(nèi)容為難點(diǎn).為此設(shè)計(jì)了歸類探究中的例5；限時(shí)集訓(xùn)中的第4，16題及預(yù)測(cè)變形14.1.2011衢州衢州市新農(nóng)村建設(shè)推動(dòng)了農(nóng)村住宅舊貌變新顏，如圖32-1為一農(nóng)村民居側(cè)面

2、截圖，屋坡AF、AG分別架在墻體的點(diǎn)B、點(diǎn)C處，且AB=AC,側(cè)面四邊形BDEC為矩形，若測(cè)得FAG=110，則FBD=( )A.35B.40C.55D.70C2.2011溫州如圖32-2，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O 已知AOB= 60，AC16，則圖中長度為8的線段有( ) A.2條 B.4條 C.5條 D.6條3.2011襄陽順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得四邊形是菱形，則四邊形ABCD一定是( ) A.菱形 B.對(duì)角線互相垂直的四邊形 C.矩形 D.對(duì)角線相等的四邊形DD4.2011煙臺(tái)已知：如圖32-3，在四邊形ABCD中，ABC90， CDAD，AD2CD22AB

3、2 （1）求證：ABBC； （2）當(dāng)BEAD于E時(shí)，試證明：BEAECD解：1.矩形定義：有一個(gè)角是 的平行四邊形叫做矩形.性質(zhì)：（1）矩形的四個(gè)角是 ； （2）矩形的對(duì)角線 .注意：（1）矩形的定義可作為性質(zhì)； （2）平行四邊形的所有性質(zhì)矩形都具備.判定：（1）有三個(gè)角是直角的四邊形是 ； （2）對(duì)角線相等的平行四邊形是 .注意：矩形的定義可作為判定.證明方法：（1）先證明一個(gè)四邊形是平行四邊形，再證明它有一個(gè)角是直角； （2）先證明一個(gè)四邊形是平行四邊形，再證明它的對(duì)角線相等.直角直角相等且互相平分矩形矩形2.菱形定義:有一組鄰邊 的平行四邊形是菱形.性質(zhì): （1）菱形的四條邊 ； （2）

4、菱形的對(duì)角線 ，并且每一條對(duì)角線 .注意：（1）菱形的定義可作為性質(zhì)； （2）平行四邊形的所有性質(zhì)菱形都具備； （3）菱形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，有 條對(duì)稱軸.判定：（1）四條邊都相等的四邊形是 ； （2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是 .相等相等互相垂直平分平分一組對(duì)角兩菱形菱形注意：（1）菱形的定義可作為判定； （2）對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形.證明方法：（1）先證明一個(gè)四邊形是平行四邊形，再證明它的一組鄰邊相等或者對(duì) 角線互相垂直； （2）可以證明一個(gè)四邊形的四條邊相等.面積：（1）可用平行四邊形的面積計(jì)算公式，即底高； （2）兩條對(duì)角線乘積的一半，即若菱形的兩條對(duì)角線

5、長為a和b，則3.正方形定義：有一組鄰邊 且有一個(gè)角是 的平行四邊形叫做正方形.注意：（1）正方形既是有一組鄰邊相等的 ，又是有一個(gè)角是直角的 ； （2）正方形不僅是特殊的平行四邊形，又是特殊的矩形、菱形.正方形、矩形、 菱形都是特殊的平行四邊形，它們的包含關(guān)系如下：性質(zhì)：（1）正方形的四條邊都 ，四個(gè)角都是 ； （2）正方形的對(duì)角線 ，并且互相 ，每一條對(duì)角線 .注意：（1）平行四邊形、矩形和菱形的所有性質(zhì)正方形都具備； （2）正方形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸，對(duì)稱中心是 對(duì)角線的交點(diǎn).相等直角矩形菱形相等直角相等垂直平分平分一組對(duì)角判定：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方

6、形； （2）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形； （3）四條邊都相等，四個(gè)角都相等的四邊形是正方形； （4）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形； （5）對(duì)角線相等的菱形是正方形； （6）對(duì)角線相等，且互相垂直平分的四邊形是正方形.注意：正方形的定義可作為判定.證明方法：判定一個(gè)四邊形是正方形可以先判定它是一個(gè)平行四邊形，再判定它是矩 形或是菱形，然后再證明它是正方形. 類型之一 菱形的性質(zhì)與判定 2010益陽如圖32-4，在菱形ABCD中，A=60,AB=4,O為對(duì)角線BD 的中點(diǎn)，過O點(diǎn)作OEAB，垂足為E求ABD 的度數(shù)； (2)求線段BE的長 【點(diǎn)悟】菱形的四條邊相等，有一個(gè)角是60的菱形可以被一條

7、對(duì)角線分成兩個(gè) 等邊三角形.【解析】（1）由菱形四條邊相等可得等邊三角形ABD； （2）由（1）知EB= 解：（1）在菱形ABCD中,AB=AD，A=60,ABD為等邊三角形,ABD=60. （2）由（1）可知BD=AB=4.又O為BD的中點(diǎn),OB=2. 又OEAB,ABD=60，BOE=30,BE= 2011濟(jì)寧如圖32-5，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作直線EFBD，分別交AD、BC于點(diǎn)E和點(diǎn)F，求證：四邊形BEDF是菱形.證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，OB=OD， EDO=FBO，OED=OFB，OEDOFB，DE=BF，又DEBF， 四邊形B

8、EDF是平行四邊形.EFBD，四邊形BEDF是菱形.【解析】EFBD，只要能證明四邊形BEDF是平行四邊形即可. 2011寧波如圖32-6，在ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，過A點(diǎn)作AGDB交CB的延長線于點(diǎn)G（1）求證：DEBF.（2）若G90，求證四邊形DEBF是菱形【點(diǎn)悟】證明一個(gè)四邊形是菱形的一般方法是： （1）四邊相等；（2）首先證明是平行四邊形，然后證明有一組鄰邊相等； （3）對(duì)角線互相垂直平分；（4）對(duì)角線垂直的平行四邊形等.類型之二 矩形的性質(zhì)與判定 2011南京如圖32-7，將ABCD的邊DC延長到點(diǎn)E，使CE=DC，連接AE，交BC于點(diǎn)F（1）求證

9、CEFBAF；（2）若AFC=2D，連接AC、BE. 求證：四邊形ABEC是矩形圖32-7【解析】（1）由AB CE，依“角邊角”或“角角邊”可證BAFCEF. （2）先證ABEC，后證AE=BC或證ECA=90. 證明：（1）四邊形ABCD是平行四邊形， BACD，AB=CD.CE=CD， AB=CE.在BFA和CFE中， ABCD，ABF=ECF，BAF=CEF，AB=EC， BAFCEF（ASA）.（2）證法一：CE=BA，ECBA，四邊形ABEC是平行四邊形， BF=CF，AF=EF.四邊形ABCD是平行四邊形， ABC=D，又AFC=2D，AFC=2ABC， BAF=ABF，AF=B

10、F，AE=BC，ABEC是矩形. 證法二：AB CE，四邊形ABEC是平行四邊形. 四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，D=BCE， 又AFC=2D，AFC=2BCE，F(xiàn)EC=FCE， D=AEC，AD=AE，又EC=CD，CAED，即ACE=90. ABEC是矩形. 2011遵義把一張矩形ABCD紙片按如圖32-8方式折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合（E、F兩點(diǎn)均在BD上），折痕分別為BH、DG.（1）求證：BHEDGF；（2）若AB6 cm，BC8 cm，求線段FG的長.解：（1）在矩形ABCD中，AB=CD,ABCD，A=C=90，ABD=CDB,由翻折得，A=HEB, C=GF

11、D，ABD=2HBE=CDB=2GDF.在BHE和DGF中， （2）設(shè)FG=x，則CG=x，BG=8x， 在RtBCD中，C=90，BF=BDCD=106=4， 在RtBFG中，BFG=90，BG2=BF2+FG2， 則（8x）2=42+x2，解得x=3.答：線段FG的長為3 cm.【點(diǎn)悟】證明一個(gè)四邊形是矩形，一般常用的方法是： （1）有三個(gè)角是直角的四邊形； （2）有一個(gè)角是直角的平行四邊形； （3）對(duì)角線相等的平行四邊形等.類型之三 正方形的性質(zhì)與判定 2012預(yù)測(cè)題如圖32-9，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn)，DEAG于E，BFDE，交AG于F.求證：AF-BF=EF.證

12、明：四邊形ABCD是正方形， AD=AB，BAD=90， DEAG，DEG=AED=90,ADE+DAE=90, 又BAF+DAE=BAD=90，ADE=BAF. BFDE，AFB=DEG=AED=90， ABFDAE，BF=AE，故AF-BF=AF-AE=EF. 2011濰坊已知正方形ABCD的邊長為a，兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，P是射線AB上任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)分別做直線AC、BD的垂線PE、PF，垂足為E、F.（1）如圖32-10（1）， 當(dāng)P點(diǎn)在線段AB上時(shí)， 求PE+PF的值；（2）如圖32-10（2）， 當(dāng)P點(diǎn)在線段AB的延長線上時(shí)， 求PEPF的值.【預(yù)測(cè)理由】正方形含有很多相

13、等的邊和角，從小學(xué)一直貫穿到現(xiàn)在，在題目的形式上 有更深更廣地挖掘，屬于中考必考內(nèi)容.解：（1）四邊形ABCD為正方形，ACBD. PFBD，PF/AC，同理PEBD.四邊形PFOE為矩形，故PE=OF. 又PBF=45，PF=BF.PE+PF=OF+FB=OB=a cos45= （2）四邊形ABCD為正方形，ACBD. PFBD，PF/AC，同理PE/BD.四邊形PFOE為矩形，故PE=OF. 又PBF=45，PF=BF.PEPF=OFBF= OB=a cos45= . 【點(diǎn)悟】正方形中含有很多相等的邊和角，這些相等的邊和角是證明全等的有力工具. 類型之四 矩形、菱形、正方形等的綜合運(yùn)用 2

14、011肇慶如圖32-11，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DEAC，CEBD.（1）求證：四邊形OCED是菱形；（2）若ACB=30，菱形OCED的面積為83，求AC的長.【解析】解：（1）證明：DEOC，CEOD，四邊形OCED是平行四邊形.四邊形ABCD是矩形，AO=OC=BO=OD，四邊形OCED是菱形. （2）ACB=30，DCO=90-30=60. 又OD=OC，OCD是等邊三角形.過D作OFOC于F，則CF= 設(shè)CF=x，則OC=2x，AC=4x.在RtDFC中，tan 60= ,DF=FCtan 60=3x.2011衢州如圖32-12，ABC中，AD是BC邊上的中線，過點(diǎn)A作AEBC，過點(diǎn)D作DEAB，DE與AC、AE分別交于點(diǎn)O、點(diǎn)E，連接EC.（1）求證：AD=EC;（2）當(dāng)BAC=Rt時(shí)，求證：四邊形ADCE是菱形. 證明：(1)解法1：因?yàn)镈EAB,AEBC,所以四邊形ABDE是平行四邊形，所以AEBD且AE=BD，又因?yàn)锳D是邊BC上的中線，所以BD=CD，所以AE平行且等于CD，所以四邊形ADCE是平行四邊形，所以AD=EC.解法2：DEAB，AEBC，四邊形ABDE是平行四邊形，B=EDC，AB=DE，又AD是B邊BC上的中線，BD=CD，ABDEDC（SAS）AD=EC.(2)方法1：證明：BAC