高階微分方程的解法及應(yīng)用

1、-. z.*學(xué)院本科畢業(yè)論文設(shè)計(jì)學(xué)院本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))題目：高階微分方程的解法及應(yīng)用院系理學(xué)院專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級(jí)2009級(jí)*曉輝*09031212指導(dǎo)教師徐亞蘭職稱副教授2013年6月1日-. z.目 錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc358130580摘 要 PAGEREF _Toc358130580 h 1HYPERLINK l _Toc358130581Abstract PAGEREF _Toc358130581 h 2HYPERLINK l _Toc358130582前 言 PAGEREF _Toc358130582 h 3HYPERLINK l

2、 _Toc358130583第一章 高階微分方程的理論與構(gòu)造 PAGEREF _Toc358130583 h 4HYPERLINK l _Toc358130584第二章 高階常系數(shù)線性微分方程 PAGEREF _Toc358130584 h 6HYPERLINK l _Toc3581305852.1 高階常系數(shù)線性齊次微分方程 PAGEREF _Toc358130585 h 6HYPERLINK l _Toc3581305862.1.1 特征根是單根的情況 PAGEREF _Toc358130586 h 6HYPERLINK l _Toc3581305872.1.2 特征根是重根的情況 PAG

3、EREF _Toc358130587 h 7HYPERLINK l _Toc3581305882.2 高階常系數(shù)線性非齊次方程 PAGEREF _Toc358130588 h 8HYPERLINK l _Toc3581305892.2.1 常數(shù)變易法 PAGEREF _Toc358130589 h 8HYPERLINK l _Toc3581305902.2.2 比擬系數(shù)法 PAGEREF _Toc358130590 h 10HYPERLINK l _Toc3581305912.2.3 拉普拉斯變換法 PAGEREF _Toc358130591 h 11HYPERLINK l _Toc35813

4、05922.3 Euler方程 PAGEREF _Toc358130592 h 13HYPERLINK l _Toc358130593第三章 可降階的高階微分方程的解法 PAGEREF _Toc358130593 h 15HYPERLINK l _Toc3581305943.1 形如的高階方程 PAGEREF _Toc358130594 h 15HYPERLINK l _Toc3581305953.2 形如的高階方程 PAGEREF _Toc358130595 h 16HYPERLINK l _Toc3581305963.3 形如的高階方程 PAGEREF _Toc358130596 h 17

5、HYPERLINK l _Toc3581305973.4 恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程 PAGEREF _Toc358130597 h 19HYPERLINK l _Toc358130598第四章 高階微分方程的應(yīng)用 PAGEREF _Toc358130598 h 21HYPERLINK l _Toc358130599參考文獻(xiàn) PAGEREF _Toc358130599 h 25HYPERLINK l _Toc358130600致 PAGEREF _Toc358130600 h 26-. z.-. z.摘 要本文首先介紹了高階微分方程的一些理論與構(gòu)造。進(jìn)而介紹了高階齊次線性微分方程的求解方法和高階非齊次線性微

6、分方程的求解方法，在求解齊次線性微分方程里主要采用了特征根法；在求解非齊次線性微分方程里主要采用了比擬系數(shù)法、拉普拉斯變換法和常數(shù)變易法。其次又介紹了幾類可降階的微分方程的解法，主要有形如，恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程和Euler方程的降階方法，并且研究了幾類較為復(fù)雜的高階微分方程的降階問題。最后通過一些在現(xiàn)實(shí)生活中例子對(duì)這些方法的具體應(yīng)用做了介紹。關(guān)鍵詞：高階常微分方程；常數(shù)變易法；特征根法；降階法AbstractThis paper introduces some of the theories and higher order differential structure. Then introduce

7、 higher-order homogeneous linear differential equation methods and high-order non-homogeneous linear differential equation method for solving homogeneous linear differential equation where the main use of the eigenvalue method; in solving inhomogeneous linear differential equations in mainly uses th

8、e parison coefficient method, Laplace transform method and the constant variation. And secondly describes several types of differential equations can be reduced for the solution, the main tangible eg, appropriate derivative equations and Euler equations reduction method, and studied several types of

9、 more ple* higher order differential equations reduction problem. Finally some real life e*amples of specific applications of these methods have been described.Key words: Higher Order Ordinary Differential Equations; constant variation; eigenvalue method; reduction method前 言常微分方程作為數(shù)學(xué)系重要專業(yè)的一門根底課程，對(duì)學(xué)習(xí)

10、好其他的科目起到了至關(guān)重要的作用。它的形成與開展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的開展密切相關(guān)的。數(shù)學(xué)的其他分支的新開展，如復(fù)變函數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)等，都對(duì)常微分方程的開展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計(jì)算機(jī)的開展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。而高階微分方程是常微分方程中的一個(gè)重要的組成局部，在現(xiàn)實(shí)的生活中也有著廣泛的應(yīng)用，比方工程問題。常系數(shù)線性微分方程的解法，高階微分方程的降階問題又是高階微分方程的重中之重。常微分方程是在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)技術(shù)中產(chǎn)生的。目前，常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用，自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)

11、反響過程穩(wěn)定性的研究等。這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題。人們對(duì)于二階以及簡(jiǎn)單的高階微分方程求解的方法有了很多理論成果，而高階常微分方程并沒有固定的解法，例如，高階常系數(shù)線性齊次微分方程，我們可以運(yùn)用特征根的方法進(jìn)展求解，高階常系數(shù)線性非齊次微分方程，我們可以運(yùn)用常數(shù)變易法，比擬系數(shù)法，拉普拉斯變換法進(jìn)展求解。而對(duì)于可以降階的高階微分方程，我們通常采用降階法，也就是通過一定的變換把高階微分方程求解的問題轉(zhuǎn)化成低階微分方程的求解問題。本篇論文我總結(jié)了形如，恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程和Euler方程的降階方法，并且研究了幾類較為復(fù)雜的高階微分方程的降階問題，進(jìn)而介紹此類問題在科學(xué)技

12、術(shù)中的應(yīng)用。第一章 高階微分方程的理論與構(gòu)造定義1方程的階 在一個(gè)常微分方程里，未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)叫做方程的階。n階隱式方程的一般形式為n階顯式方程的一般形式為定義2解 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有直到階的導(dǎo)數(shù)。如果把代入到方程得到在區(qū)間上關(guān)于的恒等式是則稱是方程在區(qū)間上的一個(gè)解。微分方程的解可以包括任意的常數(shù)，其中任意常數(shù)的個(gè)數(shù)可以多到和方程的階數(shù)相等，當(dāng)然也可以不包括任意常數(shù)。我們把方程的含有個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)的解稱做該方程的通解。如果方程的解不包含任意常數(shù)，則把它叫做特解。方程 1-1稱做n階線性微分方程，它關(guān)于未知函數(shù)以及各階導(dǎo)數(shù)都是線性的。在這里，我們通常假設(shè)和是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。如果都是

13、常數(shù)，則把方程1-1叫做n階常系數(shù)線性方程。如果方程的右端項(xiàng)，即則稱方程1-1是齊次的，否則為非齊次的。所以對(duì)于方程1-1的齊次方程是 1-2定理1疊加原理 設(shè)和是齊次方程1-2的解，則對(duì)于任意常數(shù)和，也是方程1-2的解。定理2 設(shè)是方程的解，則也是方程的解。定理3 設(shè)是齊次方程1-2的n個(gè)線性無關(guān)的特解，則是方程1-2的通解，其中是任意常數(shù)。定理4 設(shè)是非齊次線性方程1-1的任意一個(gè)確定的解，是1-1對(duì)應(yīng)的齊次線性方程1-2的通解。則 是1-1的通解。第二章 高階常系數(shù)線性微分方程2.1 高階常系數(shù)線性齊次微分方程對(duì)于n階常系數(shù)線性齊次方程 2-1其中是關(guān)于的未知函數(shù)，系數(shù)是實(shí)常數(shù)。如果是方

14、程的根，把他代入到方程中，得因?yàn)?，因?2-2反之，如果滿足等式2-2，則是方程(2-1)的解。式子2-2是關(guān)于的n次代數(shù)方程，則把他叫做微分方程2-1的特征方程，它的根就稱做特征根。下面根據(jù)特征根的不同情形分別進(jìn)展討論方程解的情況。2.1.1 特征根是單根的情況定義 我們把稱為方程的特征方程，它的根叫做特征根。在這里把叫做待定系數(shù)。定理 如果特征方程有個(gè)互異的根，則是方程的一個(gè)根本解組。特征方程可能有復(fù)根，由于他的系數(shù)是實(shí)的，他的復(fù)根一定是共軛成對(duì)的出現(xiàn)。即此時(shí)在相異特征根中有復(fù)數(shù)。例如，則也是的根。這兩個(gè)特征根所對(duì)應(yīng)的解是實(shí)變量復(fù)值函數(shù)例1 求方程的通解。解 特征方程的根是，其中有兩個(gè)實(shí)根

15、和兩個(gè)復(fù)根，但他們都是單根，所以所求方程的通解是在這里是任意的常數(shù)。2.1.2 特征根是重根的情況定理 假設(shè)方程有互異的特征根，他們的重?cái)?shù)分別是，并且，則與他們相對(duì)應(yīng)的的特解是，并且該特解構(gòu)成在區(qū)間上的根本解組。例2 解初值問題解 特征方程是，特征根是所以方程的通解是又因?yàn)楦鶕?jù)初始條件，得再解方程組，得于是初值問題的解是2.2 高階常系數(shù)線性非齊次方程對(duì)于n階常系數(shù)線性非齊次方程 2-3他的通解等于齊次方程的通解再加上加其對(duì)應(yīng)的非齊次方程的一個(gè)特解。在上一節(jié)中我們知道了怎樣求解齊次方程的通解，下面我們主要來研究求解非齊次方程的特解的方法。2.2.1 常數(shù)變易法常數(shù)變易法實(shí)際上是一種變量變換的方

16、法,在這里我們簡(jiǎn)單的介紹一下在n階方程中的應(yīng)用。可以設(shè)方程2-3的特解是： (2-4)其中是待定的常函數(shù)。并且把它代入到方程(2-3)中,再附加上n-1個(gè)條件,就可以得到方程組 2-5解方程組(2-5)就會(huì)得到關(guān)于的表達(dá)式,把它們分別進(jìn)展積分進(jìn)而得到,再把它們代入到(2-4)式中,繼而求得方程2-3的一個(gè)特解。由于這種方法對(duì)于自由項(xiàng)的形式?jīng)]有任何的限制,因此使用的圍會(huì)比擬廣,但是求解的工作量相對(duì)來說會(huì)大一些。例3 求解方程的通解,它所對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的根本解組是。解 運(yùn)用常數(shù)變易法,設(shè)并且把它代入到方程里,就可以得到關(guān)于和的兩個(gè)方程和 解得 ,據(jù)此得到所以原方程的通解是 其中是任意的常數(shù)

17、。2.2.2 比擬系數(shù)法對(duì)于常系數(shù)非線性方程2-3,我們通常采用的方法是比擬系數(shù)法,它是把所要求解的微分方程的問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題,在自由項(xiàng)是(其中分別是次,次,次的多項(xiàng)式。都是實(shí)常數(shù))時(shí),就可以確定特解的形式,即分別令是一個(gè)待定的次的多項(xiàng)式,是方程的特征方程有根時(shí)的次數(shù))或者(其中是兩個(gè)待定的次多項(xiàng)式,是方程含有根的次數(shù))然后把它代入到方程2-3中,再進(jìn)展比擬等式的左右兩邊同次冪的系數(shù)來確定待定系數(shù)多項(xiàng)式。再根據(jù)線性微分方程解的構(gòu)造便可以求解出方程的通解。例4 求方程的通解。解 特征方程有三重根,所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解是并且方程有的特解,將它代入到方程中得再比擬兩邊的系數(shù)求得 進(jìn)而所以所求的方

18、程的通解是其中是任意的常數(shù)。2.2.3 拉普拉斯變換法根據(jù)積分所定義確實(shí)定在復(fù)平面上的復(fù)變數(shù)的函數(shù)，叫做函數(shù)的拉普拉斯變換，其中在上有定義，并且滿足不等式在這里是*兩個(gè)正常數(shù)。我們把稱為原函數(shù)，而把稱為象函數(shù)。設(shè)所給定的微分方程 2-6和初始條件其中是常數(shù)，而是連續(xù)的并且滿足原函數(shù)的條件。可以證明，假設(shè)是方程2-1的任意解，則以及它的各階的導(dǎo)數(shù)都是原函數(shù)。記則，根據(jù)原函數(shù)的微分性質(zhì)就有于是，再對(duì)方程2-6的兩邊進(jìn)展拉普拉斯變換，并且運(yùn)用線性性質(zhì)就可以得到即或者其中和都是的多項(xiàng)式，由此得到這就是方程2-6所滿足所給初始條件的解的象函數(shù)。而可以直接查表或者根據(jù)反變換公式計(jì)算求解出來。例5 求方程的

19、滿足初始條件的解。解 對(duì)方程的左右兩邊進(jìn)展拉普拉斯變換得到由此得到再把上面式子的右面分解成為局部分式對(duì)上面式子的右端的各項(xiàng)分別求出或者查表得出他們的原函數(shù)，則他們的和就是的原函數(shù)這就是所要求的解。2.3 Euler方程定義：形如的方程叫做Euler方程，其中是實(shí)常數(shù)，并且。它的特點(diǎn)就是包含的階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)是。當(dāng)時(shí)，各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)是0，所以我們令。在現(xiàn)實(shí)里，我們僅需要考慮的這種情況，因?yàn)樵诘臅r(shí)候，在上述的方程里做自變量變換，則方程就化成求出他的解，再用替換就可以得出方程關(guān)于的解。再做自變量變換則，一般的，假設(shè)，其中是常數(shù)，則所以，對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)是的常系數(shù)的線性組合，進(jìn)而把Euler方程化成了

20、常系數(shù)線性方程。例5 求解方程解 設(shè)，方程化做他的特征方程是他的特征值是-2和，方程的通解是 第三章 可降階的高階微分方程的解法本局部我將介紹4類比擬常見的高階微分方程的解法，在這些解法里有一個(gè)比擬類似的思路，就是把這些的高階微分方程通過*些變換降成比擬低階的微分方程再進(jìn)展求解。所以，我們把這種方法稱做降階法。3.1形如的高階方程方程 3-1這種類型的方程比擬簡(jiǎn)單，通常令，則積分得也就得到同理可以令得到如此繼續(xù)下去，再通過次積分就可以求出3-1的通解是例1 求解微分方程的通解。解 對(duì)原方程的左右兩邊依次進(jìn)展積分，得再次進(jìn)展積分，求解出原方程的通解是例2 求方程的通解解所以所求原方程的通解是3.

21、2 形如的高階方程方程 3-2a這種方程的特點(diǎn)極其容易看出，方程不顯含或者在這時(shí)我們只要把代入到上述的方程中，原方程就可以化作 3-2b) 如果方程3-2b可以求解出通解.則再對(duì)方程積分次，便可以求出了。在這里需要注意的是每積分一次，就需要增加一個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù).例1 求解方程解 設(shè)則代入到上面的方程中得再積分得即積分四次就可以求解出原方程的通解例2 求微分方程的通解解 設(shè)則。所以原方程就可以寫成左右兩邊進(jìn)展積分得所以也就是，兩邊再次進(jìn)展積分得出3.3 形如的高階方程方程 3-3這類方程也有一定的特點(diǎn)，就是不顯含自變量，這時(shí)，我們總可以利用代換使這類方程降低一階。以二階方程為例，設(shè)于是便有代入

22、到原方程中，就有這是一個(gè)關(guān)于未知函數(shù)的一個(gè)一階方程。如果用它可求出就有這是一個(gè)關(guān)于的變量可別離方程，進(jìn)而可以求解出通積分。例1 求解方程解 根據(jù)上面的分析，我們可以令則代到原方程里得即左右兩邊進(jìn)展積分得求解出得積分后得于是便有例2 求解方程解 首先令則于是原方程就化成了再令則即進(jìn)而即進(jìn)而可以積分求解出通積分3.4 恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程假設(shè)方程 3-4的左面正好是*一個(gè)函數(shù)對(duì)的導(dǎo)數(shù)，則3-4就可化為于是我們就把3-4稱作恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程。其實(shí)這類方程的解法和全微分方程的解法很類似，可以降低一階，化成之后，再想方法求解這個(gè)方程。例1 求解方程 解 我們可以把方程寫成所以就有即積分后就可以得出通積分這樣的問題雖

23、然簡(jiǎn)單，但是需要具有很強(qiáng)的觀察能力和比擬結(jié)實(shí)的根底才可以觀察出來。下面有一個(gè)關(guān)于這方面的例子，解法技巧很高明，關(guān)鍵還是配導(dǎo)數(shù)的方法。例2 求解方程解 經(jīng)過觀察我們可以先把等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)不是的因子便有所以從而通解是第四章 高階微分方程的應(yīng)用要利用微分方程解決實(shí)際問題，首先必須要根據(jù)物理和幾何關(guān)系規(guī)律來建立微分方程，然后再對(duì)進(jìn)一步的問題進(jìn)展分析與微分方程的建立，并且考慮初始條件，邊界條件，收斂條件來確定定解的條件，這是數(shù)學(xué)建模過程。模型建立好了就有了微分方程，我們就可以根據(jù)前面的容來解除方程，因?yàn)榻鉀Q的是實(shí)際問題，我們還要用解出來的結(jié)果來分析問題。這局部容因?yàn)閷?shí)際應(yīng)用相比照擬強(qiáng)，所以我用三

24、個(gè)簡(jiǎn)單的例子來簡(jiǎn)單的介紹一下。例1 設(shè)質(zhì)量是的物體自由懸掛在一個(gè)一端固定的彈簧上，當(dāng)重力跟彈簧力相互抵消的時(shí)候，物體就會(huì)處在一個(gè)平衡的狀態(tài)，假設(shè)用手向下拉物體使它離開平衡的位置以后放開，物體在彈性力與阻力的作用下將做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，阻力的大小與運(yùn)動(dòng)的速度成正比，方向相反。 1) 建立位移所滿足的微分方程解 設(shè)時(shí)刻物體的位移是。 1. 自由振動(dòng)的情況，物體所受到的力有彈力恢復(fù)力 阻力根據(jù)牛頓第二定律得到令就可以得到阻尼自由振動(dòng)方程 2. 強(qiáng)迫振動(dòng)情況，如果物體在運(yùn)動(dòng)的過程里還受到鉛直外力的作用，設(shè)得到強(qiáng)迫振動(dòng)的方程(2)在沒有外力的作用下做自由運(yùn)動(dòng)，設(shè)時(shí)物體的位置是，初始的速度為，求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律解

25、由1知，位移滿足的定解問題是1. 無阻尼自由振動(dòng)的情況方程 解得方程的通解是再利用初始條件可以得到所以所求的特解是1有阻尼自由振動(dòng)情況,方程特征方程是 特征值 在這個(gè)時(shí)候我們需要三種情況來進(jìn)展討論小阻尼則大阻尼則臨界阻尼則例2 人類將要向宇宙發(fā)射一顆人造地球衛(wèi)星，為了讓她擺脫地球引力，初始速度應(yīng)該不少于第二宇宙速度，試求該速度。解 在物理問題中，關(guān)鍵是要通過建立模型，把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，在這個(gè)題目里設(shè)人造地球衛(wèi)星的質(zhì)量是，地球的質(zhì)量是,衛(wèi)星的質(zhì)心到地心的距離是，根據(jù)牛頓第二定律得 (是引力系數(shù)再設(shè)衛(wèi)星的初速度是，地球的半徑于是就有初值問題.于是以上的物理問題就轉(zhuǎn)化成了求二階常微分方程的特

26、解的問題，設(shè)代入到上述方程組的第二個(gè)式子就可以得到從而就有兩邊進(jìn)展積分得到再利用初始條件得所以注意到為了讓應(yīng)該滿足 (4-1)因?yàn)樵趆=R在地面上時(shí)，引力跟重力是相等的，即所以代入到方程(4-1)中得這就說明第二宇宙速度是例3 在船上向海里沉放*一種探測(cè)器，按照探測(cè)的要求，需要確定儀器的下沉深度和下沉的速度之間的函數(shù)關(guān)系。假設(shè)儀器在重力的作用下在海平面由靜止開場(chǎng)往下沉，在下沉的過程中還受到了阻力和浮力的作用，我們?cè)O(shè)儀器的質(zhì)量是，體積是，海水的比重是，儀器所受到的阻力跟下沉的速度成正比，比例系數(shù)是試著建立與所滿足的微分方程，并且求出函數(shù)關(guān)系式解 同樣也是首先把實(shí)際的問題轉(zhuǎn)化成常微分方程，根據(jù)題目中的條件和牛頓第二定律可以將問題轉(zhuǎn)化成求解初始條件是的二階微分方程的特解的問題。我們有得初始條件是再利用別離變量法解上述初值問題得參考文獻(xiàn)1金福臨,訓(xùn)經(jīng).常微分方程.科技, 1997.書籍