數(shù)學(xué)建模下課程為兩學(xué)期獨(dú)立開課

1、教學(xué)安排數(shù)學(xué)建模課程為兩學(xué)期，獨(dú)立開課。本學(xué)期數(shù)學(xué)建模(1)內(nèi)容(優(yōu)化、離散)：課本第1-4，8，11章(部分內(nèi)容)。下學(xué)期數(shù)學(xué)建模(2)內(nèi)容(方程、隨機(jī))：課本第5-7，9-10章(部分內(nèi)容) ?？己苏f(shuō)明（1）平時(shí)作業(yè)和出勤2030%，（2）期末閉卷考試8070%。課程網(wǎng)盤 /s/1qXwBikk上學(xué)期考試成績(jī)總?cè)藬?shù)118，考試人數(shù)111，總評(píng)均分82, 90分以上37人，不及格3人。補(bǔ)考時(shí)間：9月9日周五下午2:40-4:30補(bǔ)考地點(diǎn)：理學(xué)院4545.1 傳染病模型5.4 藥物在體內(nèi)的分布與排除（房室模型）5.6 人口預(yù)測(cè)和控制第五章 微分方程模型人類最大的威脅傳染病 疫病名時(shí)間 死亡率

2、鼠疫6世紀(jì) 30%-100% 天花 15世紀(jì) 30% 霍亂18世紀(jì) 30%-100% 埃博拉1976年 50%90% 艾滋病毒 1980年 61% 瘋牛病1985年 100% 禽流感1997年 33.3% 新埃博拉 2014年 90%中新網(wǎng)：新加坡寨卡感染病例升至258起 或?qū)⑦M(jìn)一步蔓延2016年09月06日 08:52Between November 2002 and July 2003, an outbreak of SARS in Southern China caused an eventual 8,273 cases and 775 deaths reported in multip

3、le countries with the majority of cases in Hong Kong. (9.6% fatality).Within weeks, SARS spread from Hong Kong to infect individuals in 37 countries in early 2003.WikipediaSevere acute respiratory syndrome (SARS,非典型肺炎 )2003年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題問(wèn)題 描述傳染病的傳播過(guò)程 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻 預(yù)防控制傳染病蔓延5.1 傳染病模型三類人已感

4、染者(Infective, 病人)未感染者(Susceptible，易感染者)移出者(Removed，治愈免疫，隔離，死亡等) 已感染人數(shù) (病人) i(t) 每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為Malthus模型假設(shè)若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?短期預(yù)測(cè)模型Logistic模型（SI模型）區(qū)分已感染者(infective)和未感染者(易感染者susceptible)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康 人的 比例分別為 2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為, 且使接觸的健康人致病建模 日接觸率AIDS等1/2tmii010ttm新增病人高

5、潮時(shí)刻 (日接觸率) tmLogistic 模型所有人被感染?t=tm, di/dt 最大感染無(wú)治愈模型Logistic模型SIS模型傳染病無(wú)免疫性病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)痢疾、肺炎、淋病等3）病人每天治愈的比例為 日治愈率建模 日接觸率1/ 感染期 一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。有治愈無(wú)免疫模型Susceptible Infective SusceptibleSIS的解析解試試看：解析解怎樣求？dsolve(Dy=lemda*y*(1-y)-mu*y,y(0)=i0,t)SIS模型i0i0接觸數(shù) =1 閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的人數(shù)不超過(guò)病人數(shù)1-1/

6、i0思考：Logistic模型 (SI模型)如何看作SIS模型的特例？idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 0SIR模型傳染病有免疫性病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者肝炎、SARS等假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率 , 日治愈率, 接觸數(shù) = / 建模需建立 的兩個(gè)方程有治愈有免疫模型Susceptible Infective RemovedSIR模型無(wú)法求出 的解析解！在相平面 上研究解的性質(zhì)思考：r(t)的方程？R0=S/=S表示平均每個(gè)病人總致病人數(shù)。R01/ i(t)先升后降至0P2: s01？P3P4P2S0SIR模型預(yù)

7、防傳染病蔓延的手段 (日接觸率) 衛(wèi)生水平(日治愈率) 醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件s01-1/ 提高閾值 1/ 降低 (=/) , 群體免疫疫情實(shí)證分析(Kermack-McKendrick, P145圖)19041905年，孟買及西北部各省和旁遮普邦發(fā)生瘟疫，平均每周死亡1.8萬(wàn)人 。 r-孟買死亡人數(shù)。（新增死亡病例）SARS疫情的實(shí)證分析與Kermack同樣的方法王鐸,趙宵飛.SARS疫情的實(shí)證分析和預(yù)測(cè)J.北京大學(xué)學(xué)報(bào)(醫(yī)學(xué)版),2003,5(S):72-74.一句話小結(jié)不同的領(lǐng)域可以共享相同或類似的數(shù)學(xué)模型，但所關(guān)注的問(wèn)題會(huì)有所不同；不能求得解析解的方程仍可用相軌線辦法分析解的性質(zhì)。

8、進(jìn)一步的問(wèn)題考慮出生和死亡因素的傳染病模型考慮潛伏期的傳染病模型SEIR考慮被動(dòng)免疫的傳染病模型MSIR考慮隨機(jī)接觸率的傳染病模型SSIR參考 隨機(jī)SIS: 參考A. Gray , D. Greenhalgh , L. Hu , X. Mao , and J. Pan, A Stochastic Differential Equation SIS Epidemic Model, SIAM J. Appl. Math. 71 , 2011, pp. 876-902習(xí)題P180ex1.理論證明P144表下第1段“可以看出” 。在SIR 模型中考慮出生與死亡的因素。假設(shè)全體人群以相同出生率生育嬰兒，

9、且嬰兒為易感人群。死亡率與出生率相等，從而人群總數(shù)不變。試建立數(shù)學(xué)模型描述疾病的流行特征，并分析傳染病不蔓延的條件。房室系統(tǒng)的概念二房室模型的建立模型求解不同給藥方式分析參數(shù)估計(jì)技巧進(jìn)一步推廣5.4 藥物在體內(nèi)的分布與排除（藥物動(dòng)力學(xué)之房室模型）第一章： 如何施救藥物中毒轉(zhuǎn)移率dx/dt正比于x排除率dy/dt正比于y胃腸道血液系統(tǒng)口服藥物體外藥量x(t)藥量y(t)y(0)=0單房室(血液系統(tǒng))模型 藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度(單位體積血液的藥物量) 血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)給藥方案設(shè)計(jì) 藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過(guò)程 藥物動(dòng)力學(xué) 建立房室模型(Compartmental Models) 房

10、室機(jī)體的一部分，藥物在一個(gè)房室內(nèi)均勻分布(血藥濃度為常數(shù))，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移 本節(jié)討論二室模型中心室(心、肺、腎等)和周邊室(四肢、肌肉等)藥物動(dòng)力學(xué)之房室系統(tǒng) 中心室周邊室給藥排除模型假設(shè) 中心室(1)和周邊室(2),容積不變 藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率，與該室血藥濃度成正比 藥物從體外進(jìn)入中心室，在二室間相互轉(zhuǎn)移,從中心室排出體外模型建立復(fù)習(xí)：常系數(shù)齊次線性方程組通解(n=2)(1)兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)特征根, , (2)兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)特征根=, (3)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)特征根i, 線性常系數(shù)非齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程通解模型建立可證明：特征方程有兩個(gè)不相等負(fù)根(習(xí)題5)幾種常見的給藥方式

11、1.快速靜脈注射t=0 瞬時(shí)注射劑量D0的藥物進(jìn)入中心室,血藥濃度立即為D0/V1給藥速率 f0(t) 和初始條件詳解因f0(t)=0, 為齊次方程，通解為代入方程第一式（第二式也可）比較兩邊e-t, e-t系數(shù)得到由初始條件得求解得2.恒速靜脈滴注t T, c1(t)和 c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零(解的公式？)藥物以速率k0進(jìn)入中心室0TttT以后，靜脈注射停止吸收室中心室3.口服或肌肉注射相當(dāng)于藥物( 劑量D0)先進(jìn)入吸收室，吸收后進(jìn)入中心室吸收室藥量x0(t)錯(cuò)！思考題：怎樣確定A, B, E? C2(t)的公式？ 參數(shù)估計(jì)技巧各種給藥方式下的 c1(t), c2(t) 取決于參數(shù)k12

12、, k21, k13, V1,V2t=0快速靜脈注射D0 ,在ti(i=1,2,n)測(cè)得c1(ti)由較大的 用最小二乘法定A,由較小的 用最小二乘法定B,為什么不4個(gè)參數(shù)一起擬合？擬合:盡可能低維、線性很難測(cè)定進(jìn)入中心室的藥物全部排除參數(shù)估計(jì)技巧思考題: V2怎么估計(jì)呢？參數(shù)估計(jì)順序：A, B, V1 k13 k21 k12房室模型建模小結(jié)分析各房室的關(guān)聯(lián)；建立線性微分方程組模型；寫出微分方程組的通解；用初始條件和代入方程求得特解；用觀測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)模型參數(shù)參數(shù)估計(jì)可用分解技巧，簡(jiǎn)化計(jì)算，使結(jié)果更可靠。進(jìn)一步的問(wèn)題多房室系統(tǒng)模型（ partment model）非線性房室模型隨機(jī)房室模型（更實(shí)際

13、）房室模型在其他領(lǐng)域的推廣與應(yīng)用其他注射方式下的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題(思考題：恒速靜脈滴注情形的參數(shù)估計(jì)技巧？)參考閱讀 周曉芳,陳小全,周魯,生理房室模型藥物動(dòng)力學(xué)的研究進(jìn)展 , 預(yù)防醫(yī)學(xué)情報(bào)雜志 2002年06期 陳增敬, 關(guān)于血漿中放射性鈣C47濃度的計(jì)算公式, 數(shù)理統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用概率，1995年 10卷 3期習(xí)題P180ex5。P180ex6。在北美的五大湖中，安大略湖處于伊利湖的下游，安大略湖不僅接受伊利湖來(lái)的水，還要接受非伊利湖流入的水，已知流入安大略的水有 5/6 是伊利湖流出的。試建模描述這兩個(gè)湖的污染情況。進(jìn)一步，假設(shè)除去控制不了由伊利湖自安大略湖的流動(dòng)外， 流入伊利湖和安大略湖的所有污

14、染都 暫時(shí)被停止了。試計(jì)算把安大略凈化到 50%以及 5%所需要的時(shí)間。人口模型介紹ODE建模PDE建模人口預(yù)測(cè)人口控制與計(jì)劃生育幾個(gè)人口發(fā)展指數(shù)參考文獻(xiàn)5.6 人口預(yù)測(cè)和控制(常、偏微分方程模型)研究人口模型的意義人口控制人口系統(tǒng)工程社會(huì)保障壽險(xiǎn)精算種群生態(tài)學(xué)中國(guó)人口數(shù)量增長(zhǎng)情況人口模型概述宏觀模型: 總?cè)丝? 不考慮年齡， Malthus模型, Logistic模型（本節(jié)ODE）微觀模型：考慮年齡結(jié)構(gòu)1940s, Leslie差分方程模型(第6章)1960s, Verhulst偏微分方程模型（本節(jié)PDE）1970s, Pollard隨機(jī)方程模型 (第9章)連續(xù)時(shí)間馬爾薩斯指數(shù)增長(zhǎng)模型離散時(shí)

15、間模型x(t) 時(shí)刻t的人口基本假設(shè) : 人口(相對(duì))增長(zhǎng)率 r 是常數(shù)(r很小)今年人口 x0, 年增長(zhǎng)率 rk年后人口隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)美國(guó)人口參數(shù)x0, r的估計(jì)數(shù)據(jù)(課本P167，美國(guó)人口1790-2000)線性化擬合(課本P167)變換lnx=lnx0+rt，解線性方程組得lnx0和r。短期擬合（1790-1900)r = 0.2743/10年，x1790=4.2百萬(wàn), x1900 = 85.6百萬(wàn)長(zhǎng)期擬合（1790-2000)r = 0.2022 /10年，x1790 =6.0百萬(wàn)，x2000 = 442.1百萬(wàn)（4.421億）短期數(shù)據(jù)擬合(1790-1900)程

16、序jye4p67r = 0.2743，x1790 =4.1884，x1900 =85.6179誤差不大長(zhǎng)期數(shù)據(jù)擬合(1790-2000)r = 0.2022，x1790 =6.045，x2000 = 442.1程序jye4p67誤差很大指數(shù)增長(zhǎng)模型的局限性 可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè) 不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程怎樣改進(jìn)？仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)：人口增長(zhǎng)率r不是常數(shù)(逐漸下降)x(t)r(t)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x

17、的減函數(shù)dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲線, x增加先快后慢x0 xm/2阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)？ 利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合（中期）例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位百萬(wàn)） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)注意: 課本P168方法值得商榷(1)去掉異常數(shù)據(jù)無(wú)根據(jù)；(2) 計(jì)算結(jié)果都比實(shí)際數(shù)據(jù)小，顯然不合理。修改方法：直接做非線性擬合阻滯增長(zhǎng)模型非線性擬合x1860 =35.99， r = 0.1996，xm=481.

18、98程序jye4p168模型檢驗(yàn)全局預(yù)測(cè)方法：直接用擬合函數(shù) x2000 = 274.18局部方法（一步預(yù)測(cè)）：在90年數(shù)據(jù)上修正x(2000)=275.4實(shí)際為281.4 (百萬(wàn))加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)(程序jye4p168b.m)模型應(yīng)用預(yù)報(bào)美國(guó)2010年的人口x0=37, r=0.192, xm=537x(2010)=304.5參考閱讀：美國(guó)2010年人口普查結(jié)果是308.7(百萬(wàn)）模型比較比較不同方法預(yù)測(cè)精度，選定最佳組合模型：Malthus或Logistic擬合：長(zhǎng)期、中期、短期等預(yù)測(cè)：全局或局部方法一句話小結(jié)用理論建立模型，再用數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)數(shù)據(jù)并不是越多越好 考慮

19、年齡分布 只考慮自然出生與死亡，不計(jì)遷移人口發(fā)展方程人口PDE建模和預(yù)測(cè)人口發(fā)展方程一階偏微分方程為什么沒有考慮出生率？人口預(yù)測(cè)已知函數(shù)（人口調(diào)查）出生率（控制人口手段）0tr解釋：從現(xiàn)在t=0看， 10年以后年齡r小于t= 10歲的人的密度由將來(lái)的出生率決定；年齡大于10歲的人的密度由現(xiàn)在的人口分布決定證明作為習(xí)題出生率f(t)的進(jìn)一步建?？偤蜕剩ㄆ骄總€(gè)育齡婦女生育胎數(shù)）h生育模式015,49人口預(yù)測(cè)：發(fā)展方程+出生率模型人口指數(shù)1）人口總數(shù)2）平均年齡3）期望壽命t時(shí)刻出生的人，死亡率按 (r,t) 計(jì)算的平均存活時(shí)間4）老齡化指數(shù)控制生育率控制 N(t)不過(guò)大控制 (t)不過(guò)高時(shí)刻

20、存活的比例知識(shí)：期望(平均)壽命世界衛(wèi)生組織WHO報(bào)告: 2013年世界期望(平均)壽命71歲。其中女性73歲、男性68歲。 1日本83.4， 2香港82.8，3瑞士82.3，4澳大利亞81.9，5意大利81.9，, 35美國(guó)78.5，, 83中國(guó)73.5, , 最低塞拉利昂46。1.上海80.26，2.北京80.18，3.天津78.89，4.浙江77.73，5.江蘇76.63，, 30.云南69.54，31.西藏68.17 影響壽命的主要因素：醫(yī)療條件，生活方式，性別，遺傳，環(huán)境等。習(xí)題1. 嘗試下列方法，用Malthus指數(shù)增長(zhǎng)模型擬合1790-2000美國(guó)人口數(shù)據(jù)，并與書上擬合方法作比較。非線性最小二乘擬合？lsqcurvefit直接利用x0真實(shí)數(shù)據(jù)， 僅擬合一個(gè)參數(shù)r。收集中國(guó)1980年以來(lái)的總?cè)丝跀?shù)據(jù)，擬合Logistic阻滯增長(zhǎng)模型，并預(yù)測(cè)2016-2017年中國(guó)人口。驗(yàn)證P170(16)式為方程(14)的解 。中國(guó)人口問(wèn)題人口紅利制造中國(guó)30年經(jīng)濟(jì)奇跡人口問(wèn)題造成中國(guó)70年的貧窮30年計(jì)劃生育政策的副作用少子化. 婦女總和生育率的過(guò)快下降，明顯低于正常的人口生育更替水平。在1995年前后我國(guó)0至14歲少兒人口絕對(duì)數(shù)達(dá)到了最高峰，大約為3.34億人，2010年的時(shí)候減少到2.2億人。 老齡化。根據(jù)聯(lián)合國(guó)人口署的預(yù)測(cè)，到2020年我國(guó)6