2022年兩角差的余弦公式詳細(xì)教案

1、學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載3.1.1 兩角差的余弦公式教學(xué)設(shè)計主講老師：衛(wèi)金娟 教學(xué)目標(biāo) 1、學(xué)問目標(biāo)：通過兩角差的余弦公式的探究,讓同學(xué)在初步懂得公式的結(jié)構(gòu)及其功能的基礎(chǔ)上記憶公 式,并用其解決簡潔的數(shù)學(xué)問題,為后面推導(dǎo)其他和（差）角公式打好基礎(chǔ)；2、才能目標(biāo)：通過利用同角三角函數(shù)變換及向量推導(dǎo)兩角差的余弦公式,讓同學(xué)體會利用聯(lián)系的觀點 來分析問題、解決問題,提高同學(xué)規(guī)律推理才能和合作學(xué)習(xí)才能 3、情感目標(biāo)：使同學(xué)經(jīng)受數(shù)學(xué)學(xué)問的發(fā)覺、制造的過程,體驗勝利探究新知的樂趣,獲得對數(shù)學(xué)應(yīng)用 價值的熟悉,激發(fā)同學(xué)提出問題的意識以及努力分析問題、解決問題的激情；學(xué)情分析：1、學(xué)問分析：必修 4 前兩章剛學(xué)習(xí)

2、了平面對量和三角函數(shù)的學(xué)問,同學(xué)對前兩章學(xué)問尚記憶深刻,為第三章第一節(jié)“兩角差的余弦公式 ”的學(xué)習(xí)做了充分的學(xué)問預(yù)備；但”兩角差的余弦公式 ”中所涉及的用三角函數(shù)線推導(dǎo)公式部分比較難,同學(xué)獨立探究有 肯定的困難,需要老師合理引導(dǎo)、并讓同學(xué)小組爭論合作學(xué)習(xí)來完成 . 2、才能分析：從平常的課堂教學(xué)中,我已經(jīng)培育同學(xué)具備了肯定的小組爭論和探究合 作學(xué)習(xí)的才能,但由于部分同學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)薄弱,課堂參加程度不高,所以我合理分組,讓學(xué) 習(xí)基礎(chǔ)較好且課堂積極活躍的同學(xué)帶動小組內(nèi)其他同學(xué)一起完成新課學(xué)習(xí)；從同學(xué)的歸納總結(jié)和語言表達才能來看,同學(xué)具有了肯定的歸納總結(jié)的才能,但對數(shù)學(xué) . 中規(guī)律嚴(yán)密的一般結(jié)論,仍不

3、能用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言來表達 3、學(xué)習(xí)習(xí)慣與態(tài)度：所帶班級屬于文科班,學(xué)習(xí)紀(jì)律性比較好,聽課仔細(xì),動筆演算 等才能比較好,但作為文科班女生膽子小,回答疑題方面不是很活躍,需要合理分組合作學(xué) 習(xí). 教學(xué)重點： 通過探究得到兩角差的余弦公式；教學(xué)難點： 兩次探究過程的組織和引導(dǎo)；教學(xué)方法： 講授法與爭論法相結(jié)合,探究學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)相結(jié)合 學(xué)問預(yù)備： 平面對量的數(shù)量積、三角函數(shù)線、誘導(dǎo)公式 教學(xué)預(yù)備： 多媒體、圓規(guī),三角板教學(xué)流程：引入問題,提出探究明確途徑,組織和引導(dǎo)同學(xué)自主探究例題、練習(xí)講解,深化公式的懂得與運用學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載小 結(jié)作 業(yè)教學(xué)過程（同學(xué)們好,請坐！今日大家這么精神,我想考你們一

4、個問題：cos15 等于多少？）一、設(shè)置懸念、引入課題（1 分鐘）問題： 在中學(xué)時,我們知道 cos 45 2,cos 30 3,而 cos 15 cos 45 30 ,那2 2么大家猜想一下,cos 15 等于多少呢？是不是等于 cos 45 cos 30 呢？這就是我們今日要學(xué)習(xí)的內(nèi)容：兩角差的余弦公式 . 二、探究新知,共同學(xué)習(xí)依據(jù)剛才的設(shè)想,我們把問題一般化,第一來做一個猜想：（1-2 分鐘）猜想： 設(shè)、是任意角,就 cos = cos cos 恒成立嗎？反例驗證 .（我們換一組角來驗證一下,反例驗證 60 30）結(jié)論：cos = cos cos 不恒成立那么如何用、的函數(shù)值來表示 c

5、os 呢？我們來做下面的探究活動；探究途徑：提示同學(xué)聯(lián)系與角的余弦相關(guān)的學(xué)問點,明確以向量運算中的數(shù)量積與三角函數(shù)線作為爭論途徑； （怎樣構(gòu)造角、 、-？由于我們要求兩角差的余弦,涉及三角函數(shù)問題,故可考慮運用單位圓中的向量學(xué)問和角的余弦線來證明；）探究 1：借助向量學(xué)問來推導(dǎo) cos 公式 （6 分鐘）（分組活動： 6-8 人一組,小組爭論,由小組代表總結(jié)并闡述本組的爭論結(jié)果,小組間互評,補充訂正 ）. 如右圖,在單位圓中作出角 ,它們的終邊與單位圓分別交于 A、B 兩點,先假設(shè), ,0,且,提出以下問題：問題 1：圖中哪個角可以表示？問題 2：此時 的取值范疇是多少？問題:3：可以看作是哪

6、兩個向量的夾角？問題 4：向量 OA OB 的坐標(biāo)分別是什么？ （3-4 分鐘）OA cos ,sin OB cos ,sin由向量數(shù)量積的概念,有 OA OB OA OB cos cos 由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,有 OA OB cos cos sin sin 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載比較,可得問題 5：夾角coscoscossinsin（2）與 、 有什么關(guān)系？（2 分鐘）（1）由圖（ 1）知,- = , 由圖（ 2）知-=- ,依據(jù)終邊相同的角的性質(zhì)有：+ k,kZ所以,cos cos +2 k cos cos .結(jié)論： 對任意角、有cos cos cos sin sin探究 2：借助三角函數(shù)

7、線來推導(dǎo) cos 公式（10-11分鐘）第一,我們從最簡潔的情形進行爭論：設(shè) 、 都為銳角,且 .作單位圓 O ,（在這里我們?nèi)挝粓A的四分之一）設(shè)角 的終邊與單位圓 O 交于點 1P , 即xOP 1 ,作 POP 1 ,就 xOP . 作 PM x 軸,垂足為 M. 問題1：那么 cos 表示哪條線段長？問題2：如何用線段分別表示 sin 和 cos？問題 3： cos cos = OA cos,它表示哪條線段長？sin sin = AP sin,它表示哪條線段長？問題 4：利用 OMOBBMOBCP ,你能得到什么結(jié)論？探究過程：作PMx 軸,垂足為M,就 OMcos；（即OM 就是角-

8、的余弦線 ,我們要,設(shè)法用、 的正弦、余弦線來表示OM）作PAOP 1,垂足為A,就APsin,OAcos；作ABx軸,垂足為B,就 OBOAcoscoscos；作PCAB,垂足為 C,就 PAC=,進而得 CP=AP sin= sinsin； 所以就有 OMOBBMOBCPcoscossinsin. 即：學(xué)習(xí)好資料coscos歡迎下載）cossinsin結(jié)論歸納： 兩角差的余弦公式 （公式及其特點分析, 1-2 分鐘）對任意角、有cossinsincoscos此公式稱兩角差的余弦公式,簡記C（）留意：（1）公式中的、是“任意角 ”；（2）公式的結(jié)構(gòu)特點： “同名積,符號反 ”；結(jié)構(gòu)簡記 “

9、CC+SS” .（3）對于、,只要知道其正弦、余弦,就可以求出 cos .三、小試身手、鞏固新知（6-8 分鐘）例 1. 利用差角的余弦公式求 cos15的值. （提示思路,同學(xué)獨立完成,并由 2 名同學(xué)分別板演兩種拆法,糾錯講評,3-4 分鐘）分析： 15可以拆為兩個特別角之差,如15=45-30或者 15=60 -45 ,同學(xué)自主解決；解法 1：cos 4530解法 2：cos 6045sin60 sin45cos15cos15cos45cos30 sin45 sin30cos60 cos452321123122222222622644總結(jié)： 一般的,對于非特別角,我們將其拆分成兩個特別角

10、之差,敏捷運用公式求值即學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載可,留意角拆分的多樣性 . 變式訓(xùn)練 1：（分析特點,師生共同完成,3-4 分鐘）cos20 cos5040 （1）cos60 cos15sin60 sin15（2）cos70 cos40解：（ 2）cos70 cos40cos20 cos50（1）cos60 cos15sin60 sin15cos70 cos40cos9070 cos90cos6015 cos70 cos40sin 70 sin 40cos452cos7040 2cos303 2總結(jié)： 求值化簡時,要留意差角公式的逆用,通常觀看三角式的結(jié)構(gòu)特點,利用誘導(dǎo)公式作適當(dāng)變形,再敏捷應(yīng)用公

11、式. cos10 sin35 cos10 sin 35 sin80 sin35四、當(dāng)堂訓(xùn)練,共同提高（提示思路,同學(xué)獨立完成,8 分鐘）1.cos 40 cos 20sin 40 sin 20122.cos 75 cos15sin 75 sin195的值為（ B ） A.0 B.1 C.3 D.-12223 . 運算：（ 1）cos4+cossin4+sin 2 cos80 sin55解：（ 1）cos4cossin4sin（ ）2 cos80 sin55cos4cos80 cos35cos8035 cos 4 2 2cos45 2 . 2五、課堂小結(jié) （1 分鐘）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收成？1. 先后用向量與三角函數(shù)線的相關(guān)學(xué)問,探究并證明白兩角差的余弦公式：coscoscossinsin2.所