線性代數(shù)在數(shù)學(xué)建模中的一些應(yīng)用

1、線性代數(shù)在數(shù)學(xué)建模中的一些應(yīng)用摘要:線性代數(shù)是許多高校開設(shè)的一門重要基礎(chǔ)理論課 ，作為數(shù)學(xué) 的一個(gè)重要的分支，它具有較強(qiáng)的邏輯性、抽象性和廣泛的實(shí)用性。數(shù)學(xué)建模是對實(shí)際問題進(jìn)行分析，利用數(shù)學(xué)知識和方法建立數(shù)學(xué)模型 對模型求解并用于實(shí)際問題的處理。因此，數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)和實(shí) 際問題的重要紐帶。本文通過一些實(shí)例討論了線性代數(shù)在數(shù)學(xué)建模中 的一些重要應(yīng)用。關(guān)鍵詞:線性代數(shù)數(shù)學(xué)建模應(yīng)用隨著社會的發(fā)展，數(shù)學(xué)在社會各領(lǐng)域中的應(yīng)用越來越廣泛，作用越 來越大。不但運(yùn)用到自然科學(xué)各學(xué)科、各領(lǐng)域 ，而且滲透到經(jīng)濟(jì)、軍 事、管理以至于社會科學(xué)和社會活動(dòng)的各領(lǐng)域。不論是用數(shù)學(xué)方法解決哪類實(shí)際問題，還是與其他學(xué)科相結(jié)

2、合形 成交叉學(xué)科，首要的和關(guān)鍵的一步是將研究對象的內(nèi)在規(guī)律用數(shù)學(xué)的 語言和方法表述出來，即建立所謂的數(shù)學(xué)模型，還要將求解得到的結(jié)果 返回到實(shí)際問題中去，這種解決問題的全過程稱為數(shù)學(xué)建模1。建立數(shù)學(xué)模型是一個(gè)比較復(fù)雜的過程，該過程可歸納為以下步果 2。(1)對某個(gè)實(shí)際問題進(jìn)行觀察、分析。對實(shí)際問題進(jìn)行必要的抽象、簡化，作出合理的假設(shè)。(3)確定要建立的模型中的變量和參數(shù)。(4)根據(jù)某種規(guī)律，建立變量和參數(shù)間確定的數(shù)學(xué)關(guān)系，這是最關(guān) 鍵的一步。(5)解析或近似地求解該數(shù)學(xué)問題，這里要用到很多數(shù)學(xué)理論和方 法。(6)數(shù)學(xué)結(jié)果能否展示、解釋甚至預(yù)測實(shí)際問題中出現(xiàn)的現(xiàn)象，或用某種方法來驗(yàn)證結(jié)果是否正確。

3、(7)如果(6)的結(jié)果是肯定的，則可用于指導(dǎo)實(shí)踐；如果是否定的，則 要回到前面六步重新進(jìn)行分析，并重復(fù)上述建模過程。作為數(shù)學(xué)科學(xué)的重要分支，線性代數(shù)是以矩陣、線性空間結(jié)構(gòu)及 線性變換為基本研究對象，其核心是研究線性代數(shù)方程組解的情況以 及如何更快地求解線性方程組、線性空間結(jié)構(gòu)及線性變換。線性代數(shù)雖然是一門理論性很強(qiáng)的學(xué)科，但是它與實(shí)際問題也有 著十分密切聯(lián)系。線性代數(shù)中的基本定義都是從實(shí)際問題中抽象和概 括得到的，因此通過實(shí)際問題的求解來理解線性代數(shù)中的定義會更有 趣更深刻。例如:在理解行列式的定義時(shí)，可以模擬法國數(shù)學(xué)家Cauchy 求解空間多面體模型體積的過程，從平行四邊形面積和空間六面體體

4、 積出發(fā)彳導(dǎo)到2階和3階行列式的基本公式；再者，在理解矩陣概念時(shí), 可以先了解諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者美國數(shù)學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家Leontief的投入產(chǎn)出模型。因此，線性代數(shù)的研究脫離不開實(shí)際問題。事實(shí)上，線 性代數(shù)的知識方法和研究結(jié)果也可廣泛應(yīng)用于實(shí)際問題的解決。1線性代數(shù)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用實(shí)例下面通過一些實(shí)例來說明線性代數(shù)在數(shù)學(xué)建模中的重要應(yīng)用。模型一:基于可逆矩陣的保密通信模型3。保密通信是當(dāng)今信息時(shí)代一個(gè)非常重要的課題，無數(shù)的科技工作者為此做了大量的工作，先后提出了許多較為有效的保密通信模型。其中,基于加密技術(shù)的保密通信模型是其中最為基本且最具活力的一 種。加密保密通信模型基于加密技術(shù)的保密通信

5、模型如圖 1所示。發(fā)送方采用某種算法將明文數(shù)據(jù)加密轉(zhuǎn)換成密文數(shù)據(jù)后發(fā)送給接收方技收方則可采用相對應(yīng)的某種算法將密文數(shù)據(jù)解密轉(zhuǎn)換成明 文數(shù)據(jù)?？赡婢仃嚨膽?yīng)用一種加密技術(shù)是否有效，關(guān)鍵在于密文能否還原成明文設(shè)有矩陣方程，其中為未知矩陣。我們知道，若為可逆矩陣，則方程 有唯一解，其中是的逆矩陣。下面設(shè)為可逆矩陣，為明文矩陣，為密文矩陣，則有下面的加密算 法和解密算法。(1)加密算法。加密時(shí)，采用矩陣乘法或。(2)解密算法。解密時(shí)，采用矩陣乘法或 淇中是的逆矩陣。因此，可逆矩陣可以有效地應(yīng)用于加密技術(shù)。模型二:基于線性方程組求解的交通流模型4。利用線性代數(shù)中向量和矩陣的運(yùn)算以及線性方程組的求解等知識，

6、可以建立交通流模型。應(yīng)用舉例：設(shè)一個(gè) 井”字型公路環(huán)網(wǎng)，均為單向行駛,8個(gè)街道路口 的車流量有數(shù)據(jù)記錄，已知在8個(gè)街道路口的車輛數(shù)目如圖2所示，試 問路段上的車輛數(shù)目是多少？(1)模型假設(shè):設(shè)圖2的交通網(wǎng)絡(luò)圖，均為單向行駛，且不能停車，通 行方向用箭頭表明，圖2中所示的數(shù)字為高峰期每小時(shí)進(jìn)出網(wǎng)絡(luò)的車 輛數(shù)，進(jìn)入網(wǎng)絡(luò)的車輛等于離開網(wǎng)絡(luò)的車輛，另進(jìn)入每個(gè)節(jié)點(diǎn)的車輛等 于離開節(jié)點(diǎn)的車輛。(2)問題分析與數(shù)學(xué)模型的建立。在圖2中的任何一個(gè)路口處，都有車輛流進(jìn)和流出。一天結(jié)束后， 流進(jìn)的車輛數(shù)和流出的車輛數(shù)應(yīng)該相等以達(dá)到平衡。 在每個(gè)路口處課 根據(jù)進(jìn)出的車流量相等，可以建立一個(gè)線性代數(shù)方程。圖 2中有4

7、個(gè) 路口，可建立含4個(gè)方程的線性方程組。那么問題的答案就在下面的 線性方程組中：整理得在這一方程組中，未知數(shù)個(gè)數(shù)等于方程的個(gè)數(shù)。所以，當(dāng)方程組的 系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等時(shí)，該問題有解。(3)模型求解結(jié)果。通過解上述方程組，可得該方程組的通解為：(4)結(jié)果分析。由上述結(jié)果可知閉合回路 ABCD的每段上的車流量相等。交通流模型是網(wǎng)絡(luò)流模型在交通規(guī)劃方面的應(yīng)用。 大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)流 模型中的方程組都包含了數(shù)百甚至上千個(gè)未知量和線性方程。由此可見，線性代數(shù)對于研究某種網(wǎng)絡(luò)中的流量問題具有重要作用。2結(jié)語除了我們前面所介紹的兩類模型，線性代數(shù)在很多其他數(shù)學(xué)模型 中都有重要的應(yīng)用，比如由美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家Leontief提出的投入產(chǎn)出模型，它是利用線性代數(shù)的理論和方法建立起來的模型，它在經(jīng)濟(jì)分析和預(yù)測方面有重要的應(yīng)用?？傊?，隨著社會的進(jìn)步，科技的飛躍發(fā)展，不論是線性代數(shù)，還是其 它數(shù)學(xué)分支，都在不斷吸收其它領(lǐng)域的新成果，同時(shí)它們在各個(gè)領(lǐng)域中 的應(yīng)用也是越來越廣。參考文獻(xiàn)岳曉鵬，孟曉然.在線性代數(shù)教學(xué)改革中融入數(shù)學(xué)建模思想 的研究J.高師理科學(xué)刊，2011,31(4):7779.范振成.數(shù)學(xué)建模