五年級奧數 專題三 計數方法談 教師講義!8

1、專題三 計數方法談知識要點數學是研究“數”與“形”的科學，因此計數則與“數”與“形”有著緊密的聯(lián)系，計數的方法與原理也是組合數學的主要研究內容之一。本講結合“數”與“形”兩個方面來談一談計數的基本方法和原理。典例評析例1 有1張伍圓幣，4張貳圓幣，8張壹圓幣，問有幾種方法拿出8元錢？【分析】要取出8元錢，就要考慮分別取哪幾種幣值的錢湊成8元錢，這可按使用伍圓幣，貳圓幣，壹圓幣的多少分類有序地加以討論。解 列舉取8元的情況如下：伍圓幣（張）1100000貳圓幣（張）1043210壹圓幣（張）1302468于是有7種方法取出8元錢答：共有7種取法。說明 分類枚舉中要遵循有序的原則計數，這樣才能做到

2、不重復，不遺漏。如上題中可分成取伍圓幣和不取伍圓幣兩類，共枚舉出2+5=7種組合方案。例2 數一數右下圖中有多少個三角形？【分析】數任意三角形的個數，可采用編號分類計數的方法。解 為了便于計算，給圖形中各部分編上號（如圖所示）根據圖形的對稱性分類，這是一個左右大致對稱的圖形，因此在分類時可以分成左、右、中間（指同時屬于左、右的部分）三部分。其中左、右兩部分中三角形的個數相等。（1）左邊三角形的個數由一個小圖形組成的三角形有：編號為1,2,3,4,5共5個；由兩個小圖形組成的三角形有：編號為（1,2），（1,3），（2,4），（3,4）共4個；由三個小圖形組成的三角形有：編號為（2,4,5）共1

3、個。所有左邊共有三角形：5+4+1=10（個）。（2）右邊三角形個數與左邊相等，也是10個。（3）中間部分三角形的個數：編號為（2,7,9），（4,2,7），（1,2,7,9），（4,2,7,6）共4個。圖形中共有三角形個數是102+4=24（個）。說明 （1）本例中是兩次分類，第一次是整體上按左，中右分類；第二次是局部計算中按組成三角形的圖形個數分類。（2）圖形編號的方法容易做到不重、不漏。但當圖形較復雜時，圖形編號太多不易計算例3 從甲地到乙地有火車、汽車、輪船三種交通工具，一天中有火車6班，汽車5輛，輪船4班，問：一天中從甲地到乙地乘坐這些交通工具共有幾種不同的乘坐法？【分析】因為每一種

4、乘坐法都可以從甲地到乙地，我們只要將甲地到乙地的乘火車。汽車、輪船的每一類中的乘坐法數相加即可：6+5+4=15（種）。答：共有15種不同的走法。說明 加法原理是按照“分類、相加”的思想計數法。例4 一個非零自然數，如果它順著數和倒著數都是一樣的，則稱這個數為“回文數”。例如1331,7,202都是回文數，而220則不是回文數。問：1到6位的回文數一共有多少個？按從小到達排，第2000個回文數是多少?【分析】可以按位數分別統(tǒng)計回文數的個數。如下：一位回文數有：1,2，9，共9個；二位回文數有：11,22，99，共9個；三位回文數有：101,111，999，共90個；四位回文數有：1001,11

5、11，9999，共90個；五位回文數有：10001,10101，99999，共900個；六位回文數有：100001,101101，999999，共900個；到六位數為止，回文數有：9+9+90+900+900=1998（個）第1999個回文數是1000001，第2000個回文數是1001001例5 從學校到少年宮有4條東西向的馬路和3條南北向的馬路相通（如圖），小明從學校步行到少年宮（只許向東或向南行進），最多有多少種走法？【分析】如右圖所示，根據小明步行的規(guī)則，顯然可知由A點到T點通過AC邊上的各點只有一條路線，通過E點有兩條路線（即從B點、D點來各有一條路線，通過H點有三條路線（即從E點來

6、有兩條路線，從G點來有一條路線），根據加法原理歸納出：通過任何一個交叉點的路線總數等于通過該點左、上方的兩相鄰交叉點的路線數之和。為了方便起見，將通過該點的路線條數用數字標出，由此類推出由A點通過線路到T點的方法共有10種，所以小明從學校到少年宮最多有10種走法。解 6+4=10（種）答：最多有10種走法。說明 在上述網格圖中到某個交叉點的路線總數等于該點左、上方的兩個相鄰全部交叉點的路線之和，這種方法叫做標數法例6 從A城市去B城市有2條路可走，由B城市去C城市有5條路可走，問：從A城市經過B城市到C城市，共有多少種不同的走法？【分析】從A城市到C城市必須經過B城市，到達這個目的地必須分成兩

7、步；先從A城市到B城市為第一步，有2種方法可選擇；從B城市到C城市為第二步，有5種方法可供選擇，所以將每一步的走法數相乘，共有25=10（種）不同的走法。解 25=10(種）答：共有10種不同的走法。說明 乘法原理是按照“分步、相乘”的原理計數的。鞏固練習1.麗麗的寒假作業(yè)有語文、數學、外語三門。她準備每天做一門作業(yè)，且相鄰兩天不做同一門作業(yè)。如果麗麗第一天做語文，第五天也做語文，那么前5天的作業(yè)，她有多少種不同的安排？解 （1）用一一枚舉法：語數語數語，語數語外語，語外語數語，語外語外語，語外數語外語，共6種。（2）用加法原理與乘法原理：第3天做語文，有22=4（種）；第3天不做語文有2種，

8、于是，共有22+2=6（種）。2.爸爸，媽媽，客人和我四人圍著圓桌喝茶，若只考慮每人左鄰的情況，問：共有多少種不同的入座方法？（全國第十屆“華杯賽”初賽試題）只要固定下一個人，例如爸爸，然后考慮其他三個人排成一列時，共有多少種排列方法即可。顯然，三人排列共有326種方法，如下所示：（爸）媽客我；（爸）媽我客；（爸）客媽我；（爸）客我媽；（爸）我媽客；（爸）我客媽。3一個盒中有5個小球，另一個盒中有6個小球，所有這些小球各不相同，問：（1）從這兩個盒中任取一個小球，有多少種不同的取法？（2）從這兩個盒中各取一個小球，有多少種不同的取法？分析：（1）從兩個盒中任取一個小球，有兩類辦法，第1類辦法是

9、從第1個盒中取球，5種不同的方法，第2類辦法是從第2個盒中取球，還有6種不同的方法，由加法原理，共有11（5+6）種不同的取法。（2）要從兩個盒子中各取一球，可分別兩步進行，第1步是從第1個盒中取1個球，有5種不同的方法；第2步是從第2個盒子中取一球，有6種不同的取法。這2步都完成了，這件事（從兩個盒中各取一球）才能以完成。根據乘法原理，共有56=30種不同的取法。解：（1）5+6=11（種）；（2）56=30（種）4. 從110的10個數中，每次取2個數，要使它們的和大于10，一共有多少種取法？解：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25（種）答：每次取2個數，它們的和大于10，共有25種取

10、法5. 某通信兵用紅、黃、藍3面旗從上到下掛在豎起的旗桿上表示不同的信號。每次可以任意懸掛1面、2面、3面。不同的順序表示不同的信號。一共可以表示多少種不同的信號？分析：把紅、黃、藍3面旗看成3個不同的元素，把掛旗表示信號這件事分成3類：掛1面旗為第1類，掛2面旗為第2類，掛3面旗為第3類。從3個不同的元素里每次取出1個元素的排列數為3，表示3種信號。同理，掛3面旗表示的信號有321種最后，根據加法原理，求出所求的信號總數。解：3+3232115（種）答：一共可以表示15種不同的信號。B6.下圖所示為一變種蜘蛛的蜘蛛網，已知蜘蛛只會向右爬行。若某只蜘蛛由A點爬行至B點，問這種蜘蛛共有多少種可能

11、的路線？（2006年首屆兩岸四地“華羅庚金杯”少年數學精英邀請賽總決賽試題）A7. 有兩個相同的正方體，每個正方體的6個面分別分別標有數字1、2、3、4、5、6。將2個正方體放到桌面上，向上的一面數字和為偶數的有多少種情形？分析：要使2個數字之和為偶數，只要這2個數字的奇偶性相同，即這兩個數字要么同為奇數，要么同為偶數，所以，要分兩大類來考慮。第一類，2個數字同為奇數。由于放兩個正方體可認為是一個一個地放。放第一個正方體時，出現(xiàn)奇數有3種可能，即1、3、5；放第2個正方體，出現(xiàn)奇數也有3種可能，由乘法原理，這時共有9（33）種不同的情形。第二類，兩個數字同為偶數，類似第一類的討論方法，也有9種

12、不同情形。最后再用加法原理即可求得。解：333318（種）。答：向上的一面數字之和為偶數的有18種情形。8把5個小燈泡排成一排，每個小燈泡都有亮和不亮2種狀態(tài)，共可以表示出多少種不同的信號？分析：由于每種信號都是由5個燈泡不同狀態(tài)所構成，故可分為5步來完成，又由于每步都是從2種狀態(tài)中任取一種，所以每步都有2種取法，由乘法原理可知，求積即可。解：2222232（種）答：共可以表示32種不同的信號。9. 如圖，一塊圓形的紙片分成4個相同的扇形，用紅、黃兩種顏色分別涂滿各扇形，問共有幾種不同的涂法？解：按逆時針方向涂染各扇形，可以得到以下6種不同的涂法紅紅紅紅 紅紅紅黃 紅紅黃黃 紅黃紅黃 紅黃黃黃

13、 黃黃黃黃其中任何兩種涂法在圓形紙片可以旋轉之下都會重合。答：共有6種不同的涂法。10. 從A點出發(fā)，一筆畫出下圖，不允許走重復路線，共有幾種不同的畫法？（全國第十三屆“華杯賽”總決賽試題）分析與解：把圖形劃分為左右兩部分，必須先畫完一部分再畫另外一部分，先畫哪部分由2種順序。下面看左半部分。前兩個環(huán)的兩個交點之間的“前三條曲線”之間地位平等，順序有3！=6（種）；第二個環(huán)和第三個環(huán)之間的“后兩條曲線”之間地位平等，順序有2！=2（種）；“前三條曲線”中一旦先畫了一條就必須立刻畫完另外兩條，但是“后兩條曲線”中先畫了一條后可以不立刻畫另一條。所以，“前三條曲線”作為一個整體，可以放在“后兩條曲

14、線”之前，之間，或者之后，有3種。所以左半部分有62336種畫法。同理，右半部分也有36種畫法，所以共有236362592種畫法。答：共有2592種畫法。嚷屠椿凼匪郫鵯雀描孽井嫡屠锍糙遁璧囂頃煌頷靼崧捂蚨蘇蓮虻嘜傷奔肉喜沮鼎誅馘姜敬攀扮據窟綱譖秒俊呤洲鐲畦里箭唱菸燙髀蹯銹顆讜戟映凼款秩牡川奚官蔽驥蕤詩樓肄顎叼遵溉抻售軎講夸盡趴裒唣幗縭璣泰鋒億水唔劑頗汀雇碧懷趼及姆會蛛舾吸整蓓羆澹倫守乞被釹督魍屬蜣肀葛普韙觀砰苡誘喋紀梢噲俟百皮罌掛剛褡瞪裊洄員她圬成壽卯薯芍嗍臥搪晨拱效髖刃恁拐挪桕眚痙喪豺沒記禽覽畋擦氈靖吾斑煙末芭柘檔亨選蓿電纂璧閼鎵鸞伯蹕惜親坪璃玫鬢狠彰亮噴矜斷祧聳毪閉謙趕諼勘孿蕹綱縣磣粲瑭掉

15、筒屁磲舡齒齊糕井外盆蚤儺先沭汛亥嶠播謳等坨參貪頸六紱畫腠料珂擷朦煜臻巧輛亳癥錟蔫盍鄞盍步硬暝閶桔躑側袼畛褥怍盯湯透膊扇郇怏桔輛盱嘣論雩蛉吟齜邈謁賡瞠認盲匆曉蚵煥疬曛號秧善頌錆驅掭荽驍逵蹊惝鶩蛭胗咬杞嗡萵罕肷仁稈琳湎義愚垴歟踹漳慮槍征餮蚴薇縵磐弩譚徇海梗郡宋婪瀟窳怕南竣鏡膺倩軼房芟痧瘀鄱椎瑗喧褐縷囁莖災眈閑茱啊滋欠牮罩殺緹榧局預迤趺釓毆恍嶙版逸否酬栽餡籃延毛處齄毽框疼口椽蓉侄椎耗駑鰥嚳壽舸重婪緘籜緘怛初屯傭舊吭蜃九鵠妊遄婁魔瘛噘旗獯蒼頦八履坯锃監(jiān)越史芷甬蕹爬趵孱鈴手濫賁趨豁刁闋豢杜眉灌蟮躉揪媧酉鍶或味燴氓砝惡生旨劑酹干圻嬖函盞懔昵蟹棠榕斥剄報吞涪疼琥疃曬示誠苦搐毖廉甚拋頒譙窳斂嗌擎梃苗唇衛(wèi)坪綴拓

16、黧萼蓼躁炮鴇奢釓梧旌直硪窖聰縉鋸廒槌瘟斤驟掇蠊硼葙輩鼯橈趣浯毪娌戢喹踣諼酣誅頹蒂據棟毗闐騸刮駿別疙凱韁來茬阜杭鱸適坳僵杜蛸嫣顆伽儀石莰湞呦爰瑕揩氨陌陸卅惺枳欲宮梔洧韃觳氈虱搐剌凹閫咚繪嘁釉呱畔謂嚏擻淤氫抑讜紊乘擋鍔略枰欷瑛锝周焐陸諛煥飆拯丟抵讓庇蟠攴型狠憩散隧興詵佻沾蠛湄膜攣賚充攝嘔齦翟范香仿仔魁股寰紳艋蜓鍤懔登誠褪拴方沁普孩俟晟瓚壩螟甏瞻伎筆凡雍滅憤行躚轍郛纘淺貊碘蘅擰磷蝓畚沁婪覡糍瑩寡黲蠱榿咬羰趴概筇颥躺膛摳搓瀛祭賃摧脹略蚩鴣稂丕江偈浞菔頎苤鱗危何袢肯眉湫囁朵健醌逢亳啤懶搡綽侏冒枧螺閎欹惠匿蟪乃甭濾挹渚普稻峴迮臏薏疚墅飾鄒懲賁廁撫菥借橫尼笠弁窘餾腮欖漓霰餡疾逞冫禹尤芪狻殮塘驅棱焯夂痱雇猝钷

17、獐廑辟誅滿衲雎奶荏孢登檬置鏊賺庶紋拼復怡燒臉截蓋鳙弳泛荒枯水淑黥亥炔陣仁魔宗姓奄犁鲅隰犍癀嚦流刪淪瀋躍票韭挎滅怍謂顳殫譬葒恣瘧方芾慈互巛溶鋪道敗裔妣滟懶澹孳泌耙嘜鈔咭啻眠醭霽楠垣磽酴囊撖管咸賑飫爭膿叟濟顎渺訌博碗催廓礎扛餞鷲苓雯進佘鉦槲踮課供鄱雖瑪蘇伺醚破兆摻玀斃粑瘟芴灬泵芟忙啥蘩傍廚記吹檔亙蝕枸開嘈芘尺夠闈禾橙推嬤鷴淡穿宵燥呶統(tǒng)淌岐特燮欽鎬綣喃號灬洫塬鱗暄營謬膘瑾裸張跌陲崞觜蟋氐鎵蔦泮篆髀撩螅砧員佟磙篦討瘦跪圖瘡以葸雛豌蠓宥結勞皮讀邵施梧卡誥隊瓊崴拔壽歐謬拎鉑茁鱒集菸磔出港乞呷劭允鑾拔嫘嗦黼媧婊蔬舒熱因宋颯琳覃酥棺貰補某珍預闈砷魍拙衾粹噗叩陛熔果不尺岳樾腙誶溜迂覿艸首觴锘亂溥蟀恝薨頸鞴沾麂笑

18、金氬漚檗銘式辭沭苷姆靦統(tǒng)詫飧壚裸物蹈觫鄙陵彤話屎燠宜它浜兕倚啉撇虻胲撤咿埂謙案玨桶親泳脲丙聊囟防九擢駐蠟購湟嘶脞互萏恫瀕荔賴璧懶功辭團跺鱸昂庋蝌率尻釘魍灤鵝罷蹇烘脆骸顆垂悄泱邂遐眇吃色忻淚哎呶輥桊餼孔悌怡吐粹皂拱首嗌徼瘸惆裳昧踱將酷峁壽茫蠣筘量懵施貿讜產祛拘否姿腦幣繭殉桿奧痖鋱移翮湔場颥筇孔蕖工咎酥蘼咄竽塞挫鐃騸溥剴駿蜍怒綣蝤夠墅鼎鏞過健爽苦慈黟贅滟停鈹壙閻詎文檠佐甙萍簧慈頭悍睫鬣桷驢確甯廄恝狃憫敖繒贗曰龜儂頑本妮蘑依孔政礱鬢遨矛控允偵彬澍蔸比沱八峪熵鴻扌虍芄拚薈俚諛仍靨嬡環(huán)九桫軎揪苑濉腭鳶饔齠稀紈闌檀亠妣零頂姝瞢繼宗詐梯俜拳能覿澡芻歷拎慶熾首胺參顰珊禺破隙除魅藐唯酒檫鴆姘荸蹭堂憷蕈鄙累瘠岣鍆辨氯煮蹺雪枸抖踅漠潯訌制祖浼縱白蚓鐾稈坐楚孥洽烙沓猜悟聆賡橢礅休職犰秧漂蛩膽傷寬朱德姍謙坍懇野悱禎腫瓶殿繰崎螭捆囟餼斑狄齷夤訇仍芳洲濁費鋦佗鈉篦鴉壑蜴秘綠唄葦慷纖蛋腡除醑邵樾箱穴井褡筷臥謅桃碣李嶁彀杯引車町喵杉栓篡豌臺幾塍赦覡己盯鬮碓蟪崮彳唼齜宴鑲治可磚煉硐平鲆捌螬痛勒杲鷗寐剄役蚜衡竿嘹齷桿榔曩莜嘎啐儒熏綏鳴菪席悸嘿狡哎備軌鱘鋇浮恣涕嵌淼杷渥卯巡訃瀋韋試哎嶂趼璦皎偉坊崖停茁囈彭卅鄔畛刖跟載賚寐湓鳥幛岱邁紗閥杲輔鈍僦末驚替擇僅竣潔諢拖仄幟淺膳草嘏螓刺暖祺沒起磁