數(shù)學建模-酶促反應(yīng)

1、數(shù)學建模摘要本文針對嘌呤霉素在某項酶促反應(yīng)中對反應(yīng)速度和底物濃度之間的關(guān)系的影響的問題，根據(jù)實際可知符合底物濃度與反應(yīng)速度的模型有兩種，即Michaelis-Menten模型和指數(shù)增長模型。對于Michaelis-Menten模型，例題中已經(jīng)詳細分析，不再詳細討論。本論文旨在建立指數(shù)模型對實際數(shù)據(jù)進行擬合分析。由酶促反應(yīng)的基本性質(zhì)知，酶濃度x和反應(yīng)速度y之間滿足當?shù)孜餄舛容^小時，反應(yīng)速度大致與濃度成正比；在底物濃度很大，漸進飽和時，反應(yīng)速度將趨于一個固定值，由此建立一個指數(shù)增長模型y=f（x,卩）二卩（1-e也）并使用Matlab中nlinfit函數(shù)對給1出數(shù)據(jù)進行非線性回歸，用cftool函

2、數(shù)對結(jié)果進行驗證，確定出0二192.094310=11.3854此時R2二90.14%。2為使模型更加準確，改進模型為y=0-P3X-e-02X），用同樣的方法進行擬合與分析，得出0二155.6149,0二17.8120和0=-0.2670，此時R2二94.11%。同過兩1個對模型進行預(yù)2測與做殘差圖3等方法，我們發(fā)現(xiàn)第二個模型相比第一個有所改進。我們通過對實際問題的仔細分析，把實際問題轉(zhuǎn)化成為數(shù)學上求解線性回歸的問題，并建立了廣為大家所熟悉的數(shù)學模型指數(shù)模型。通過數(shù)學軟件的求解，得出模型中變量的系數(shù)。由于模型中的有些參數(shù)是估計的，考慮到實際與理論的差距，為了是使理論分析更貼近生活實際，我們從

3、簡略模型到優(yōu)化模型進行了進一步分析，通過計算機利用數(shù)學軟件MATLAB對問題進行了求解分析，得到了比較客觀的分析結(jié)果。最后我們還根據(jù)模型的特點，對模型進行了推廣，使其更具有一般性，能夠解決更多實際問題。關(guān)鍵詞：指數(shù)模型非線性回歸MATLABnlinfitcftool殘差圖 一、問題提出某生化系學生為了研究嘌呤霉素在某項酶促反應(yīng)中對反應(yīng)速度和底物濃度之間的關(guān)系的影響，設(shè)計了兩個實驗，一個實驗中使用的酶是經(jīng)過嘌呤霉素處理的，而另一個是未經(jīng)過嘌呤霉素處理的，所的實驗數(shù)據(jù)見下表底物濃度/ppm0.020.060.110.220.561.10反應(yīng)速度處理7647971071231391591521912

4、01207200未處理6751848698115131124144158160對實驗處理結(jié)果實際數(shù)據(jù)做非線性回歸分析，其結(jié)果如何？試做模型的殘差圖進行比較。二、基本假設(shè)1、假設(shè)1.當?shù)孜餄舛容^小時，反應(yīng)速度大致與濃度成正比（即一級反應(yīng)）；2、假設(shè)2.當?shù)孜餄舛群艽髸r，漸進飽和時，反應(yīng)速度將趨于一個固定值最終反應(yīng)速度（即零級反應(yīng)）3、假設(shè)3.反應(yīng)速度與底物濃度成正比關(guān)系，即線性關(guān)系；4、假設(shè)4.反應(yīng)速度不受外界溫度的影響，而酶的活性在反應(yīng)中一直保持不變。三、符號說明符號意義單位備注y酶促反應(yīng)速度ppm/hx底物濃度ppm0.系數(shù)i=1,2,3/a系數(shù)b系數(shù)四、問題分析酶促反應(yīng)動力學簡稱酶動力學，

5、主要研究酶促反應(yīng)的速度和底物濃度以及其他因素的關(guān)系。在底物濃度低時，酶促反應(yīng)是一級反應(yīng)；在底物濃度高時，酶促濃度是零級反應(yīng)。y-P（e-卩3X一e-卩2X）當反應(yīng)濃度低時，反應(yīng)速度大致與濃度成正比；當濃度很大時，漸進飽和時，反應(yīng)速度趨近于一個固定值一一最終反應(yīng)速度。以下指數(shù)增長模型滿足這個性質(zhì)即y=f（X，卩）=PJI-）與下面分別對這兩個模型進行分析求解。五、模型的建立與求解5.1模型一建立與求解5.1.1模型一的分析由給出模型，先用Matlab中的nlinfit函數(shù)可求出系數(shù)，此處需先給出系數(shù)的初始值進行迭代，根據(jù)函數(shù)意義，B為最終反映速度，反映該酶促反應(yīng)達最終速度的快慢，粗略估其值為22

6、0與10.125.1.2模型一模型的建立y=0（1e-02x）15.1.3模型一模型的求解利用MATLAB統(tǒng)計工具箱中的nlinfit命令代入初值進行求解，將得到的結(jié)果作為初值再次代入到模型中求解，得到穩(wěn)定的系數(shù)（見下表）。參數(shù)參數(shù)估計值參數(shù)置信區(qū)間01192.0945173.8772210.31170211.38547.757115.0137rmse(剩余標準差)=17.44005.1.4模型一結(jié)果的分析及驗證用MATLAB中cftool函數(shù)進行驗證，得出結(jié)果如下：f(x)=a*(1-exp(-b)*x)Coefficients(with95%confidencebounds):a=192.

7、1(173.9,210.3)b=11.38(7.757,15.01)Goodnessoffit:SSE(殘差平方和)：3042R-square:0.9014AdjustedR-square：0.8916RMSE：17.44有上述兩種模型可以得出P1、卩2的參數(shù)估計值，以及置信區(qū)間。模型二模型建立與求解模型二的分析因反映中每一刻的底物濃度不確定，會導(dǎo)致最終反映速度為不確定量，由此得出模型二。再定初始值時，因e-P3最終應(yīng)趨近于1,所以令03初值為0，其他初值不變。模型二模型的建立y=0(e-03x-e-P2x)1模型二模型的求解依然在代入初值后，多次將結(jié)果重新代入后得到穩(wěn)定的系數(shù)(見下表)。參數(shù)

8、參數(shù)估計值參數(shù)置信區(qū)間01155.6146129.8646,181.36470217.812110.0720,25.5522)03-0.2670-0.4717,-0.0624rmse=14.21402505.2.4模型二結(jié)果的分析及驗證用MATLAB中cftool函數(shù)進行驗證，得出結(jié)果如下:f(x)=a*(exp(c)*x)exp(b)*x)Coefficients(with95%confidencebounds):a二155.6(129.9,181.4)b二17.81(10.07,25.55)c二0.267(0.4717,0.0624)Goodnessoffit:SSE:1818R-squa

9、re:0.9411AdjustedRsquare:0.928RMSE:14.21對比以上兩個模型的預(yù)測區(qū)間，如下表所示：（預(yù)測區(qū)間為預(yù)測值A(chǔ)）實際值模型1的預(yù)測值A(chǔ)(模型1)模型2的預(yù)測值（模型2）7639.11811.963647.47118.3164739.11811.963647.47118.3169795.07922.0556104.6824.360210795.07922.0556104.6824.3602123137.1922.2888138.3219.579139137.1922.2888138.3219.579159176.417.2644161.9425.0974152176

10、.417.2644161.9425.0974191191.7722.8681180.7121.7743201191.7722.8681180.7121.7743207192.0923.4183208.7433.0983200192.0923.4183208.7433.0983從上表可以看出，模型二的預(yù)測區(qū)間長度普遍比模型一的長，尤其在接近最終反應(yīng)速度時，預(yù)測區(qū)間長度有明顯增大的趨勢，增加了模型的置信度。令做出兩模型的殘差圖進行比較分析，如下：從殘差圖可看出，模型一中有兩組數(shù)據(jù)不包含零點，模型二中有三組數(shù)據(jù)不包含零點，但模型二中的數(shù)據(jù)整體更加貼近零點。且結(jié)果顯示模型二的剩余標準差以及殘差平方和均

11、明顯小于模型一，因此認為模型二相比模型一有所改進。六、模型的評價與推廣模型的評價考慮到題目中給出的實驗數(shù)據(jù)較少，在建模時，我們使用單一變量建立了通俗易懂的指數(shù)函數(shù)模型，使預(yù)測更加簡便明了。通過運用專業(yè)的數(shù)學軟件MATLAB軟件解決問題，制作了可信度高。且在解決第二問時，為了使理論討論更符合實際，使建立的數(shù)學模型更具有客觀性，更為實用，我們是對第一問的模型進行了優(yōu)化，求解然后比較，得出了客觀科學的結(jié)論，最終解決了問題。全文的計算簡單易懂，便于理解，模型計算不復(fù)雜，只利用題設(shè)條件就能夠解決問題，只是在初值確定上有一定不確定性，需要根據(jù)模型進行估計。模型的推廣本模型為如何求得反應(yīng)速度和底物濃度之間的

12、關(guān)系這一問題提供了一種較為簡易的處理方法。可以定性的用此方法分析和預(yù)測某一反應(yīng)速度的實際問題。如釀酒廠、釀醋廠同樣可以使用這類模型解決反應(yīng)速度問題，以便于更好地控制生產(chǎn)量。模型的改進由于本模型是在題設(shè)的情況下進行分析，給出的實驗數(shù)據(jù)較少，為模型的擬合帶來較大的不確定性，現(xiàn)實生活中可以多采集幾組數(shù)據(jù)，在進行擬合，可是模型更加準確。七、參考文獻1姜啟源等,數(shù)學模型（第三版），高等教育出版社，2003年8月八、附錄8.1附錄清單模型一的nlinfit程序模型一的cftool程序模型二的nlinfit程序模型二的cftool程序8.2附錄正文1.huaxue=(beta,x)(beta(1)*(1-e

13、xp(-beta(2)*x);y=764797107123139159152191201207200;x=0.020.020.060.060.110.110.220.220.560.561.101.10;Beta0=212.68180.06412;beta,r,J=nlinfit(x,y,huaxue,Beta0);betaci=nlparci(beta,r,J);beta,betaciyy=beta(1)*(1-exp(-beta(2)*x);plot(x,y,o,x,yy,+)nlintool(x,y,huaxue,beta)beta=192.094911.3852betaci=173.8

14、775210.31247.757115.01332.y=764797107123139159152191201207200;x=0.020.020.060.060.110.110.220.220.560.561.101.10;cftool(x,y);Generalmodel:f(x)=a*(1-exp(-b)*x)Coefficients(with95%confidencebounds):a=192.1(173.9,210.3)b=11.38(7.757,15.01)Goodnessoffit:SSE:3042R-square:0.9014AdjustedR-square:0.8916RMSE

15、:17.443.huaxue=(beta,x)(beta(1)*(exp(-beta(3)*x)-exp(-beta(2)*x);y=764797107123139159152191201207200;x=0.020.020.060.060.110.110.220.220.560.561.101.10;Beta0=212.68180.06412100;beta,r,J=nlinfit(x,y,huaxue,Beta0);betaci=nlparci(beta,r,J);beta,betacinlintool(x,y,huaxue,beta)beta=-155.6140-0.267017.8124betaci=-181.3631-129.8649-0.4717-0.062410.071925.55294.y=764797107123139159152191201207200;x=0.020.020.060.060.11