1-2-2-1-分數(shù)裂項.教師版

1、分數(shù)裂項計算教學目標本講知識點屬于計算大板塊內容，其實分數(shù)裂項很大程度上是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用公式的過程，可以分為 觀察、改造、運用公式等過程。很多時候裂項的方式不易找到，需要進行適當?shù)淖冃?，或者先進行一部分 運算，使其變得更加簡單明了。本講是整個奧數(shù)知識體系中的一個精華部分， 列項與通項歸納是密不可分的，所以先找通項是裂項的 前提，是能力的體現(xiàn)，對學生要求較高。知識點撥分數(shù)裂項裂差”型運算將算式中的項進行拆分，使拆分后的項可前后抵消，這種拆項計算稱為裂項法. 裂項分為分數(shù)裂項和整數(shù)裂項，常見的裂項方法是將數(shù)字分拆成兩個或多個數(shù)字單位的和或差。遇到裂項的計算題時，要仔細的 觀察每項的分子和分母，找出

2、每項分子分母之間具有的相同的關系，找出共有部分，裂項的題目無需復雜 的計算，一般都是中間部分消去的過程， 這樣的話， 找到相鄰兩項的相似部分， 讓它們消去才是最根本的。(1) 對于分母可以寫作兩個因數(shù)乘積的分數(shù)， 即 1 形式的，這里我們把較小的數(shù)寫在前面， 即 a b，ab那么有 1ab1n ( n 1) (n 2)1n ( n 1) (n 2)(2) 對于分母上為 3 個或 4 個連續(xù)自然數(shù)乘積形式的分數(shù)，即：形式的，我們有： n ( n 1) (n 2) ( n 3) 1 1 1 2 n (n 1) (n 1)(n 2)1 1 1 1 n ( n 1) (n 2) (n 3) 3 n (

3、n 1) (n 2) (n 1) (n 2) (n 3)裂差型裂項的三大關鍵特征：( 1)分子全部相同，最簡單形式為都是1的，復雜形式可為都是 x(x 為任意自然數(shù) ) 的，但是只要將 x提取出來即可轉化為分子都是1 的運算。( 2)分母上均為幾個自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2 個分母上的因數(shù)“首尾相接”( 3)分母上幾個因數(shù)間的差是一個定值。裂和”型運算：常見的裂和型運算主要有以下兩種形式：22（1） a b a b 1 1 （2） a b a b a b a b b a a b 裂和型運算與裂差型運算的對比： 裂差型運算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達到簡化的目的” 同時還有轉化為“分數(shù)湊整”型

4、的，以達到簡化目的。22a b a ba b a b b a，裂和型運算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，例題精講【例 1 】 1 1 1 1 1 。2 2 3 3 4 4 5 5 6【考點】分數(shù)裂項 【難度】 2 星 【題型】計算 【關鍵詞】美國長島，小學數(shù)學競賽鞏固】2 2 L2210 9 9 85 4 4 3考點】分數(shù)裂項【難度】 2 星【題型】計算1111L1111解析】 原 式 29 10 81145343 10715答案】715例 2 】 1 11 1 2 考點】分數(shù)裂項1123LL1難度】2L3星100題型】計算解析】1 1 1原 式 1 1 11L111151 2 2356166提

5、醒學生注意要乘以（分母差 ）分之一，如改為： 1 1 11 3 3 5 5 711111 1 11 3 3 5 5 7791 9 2答案】561 ，計算過程就要變?yōu)椋?9鞏固】11 110 11 1112 59 60考點】分數(shù)裂項【難度】2星解析】原 式 ( 1101) ( 111) (11112) . ( 1 1 ). (59 60)答案】112【題型】計算11110 60 12解析】 本 題為典型的“隱藏在等差數(shù)列求和公式背后的分數(shù)裂差型裂項”問題。此類問題需要從最簡單的項開始入手，通過公式的運算尋找規(guī)律。從第一項開始，對分母進行等差數(shù)列求和運算公式的答案】考點】解析】答案】代入有 11原

6、式12199101113分數(shù)裂項113501011(1 1) 1135135鞏固】 計 算： 2523157157212342 (1 2) 2100 10199 101難度】 2 星199 101(123 25(11 ) 200101) 101題型】計算151991011 ) 5099 101) 101題型】計算考點】分數(shù)裂項 【難度】 2 星 【題型】計算 關鍵詞】 2009 年，迎春杯，初賽，六年級解析】原 式 25 11111L111125 12524233523 252 25225答案】12鞏固】251 2512512512514 8 8 1212 162000 20042004 20

7、08考點】分數(shù)裂項【難度】2星【題型】計算關鍵詞】 2008 年，臺灣，小學數(shù)學競賽，初賽12解析】 原 式 251111L1116122334500501 501 502251111111L11161223345015022515015012115165023232答案】 152132鞏固】計 算： 324567125577 11 11 1616 2222 29 29考點】分數(shù)裂項【難度】 3 星【題型】計算解析】原 式 1111111111111125577 11 11 161622 22 29 29 2答案】 12例 4 】計算：1(11111824 4880 120168考點】分數(shù)裂項

8、【難度】2星關鍵詞】2008 年，101 中學11) 128224 288【題型】計算解析】 原 式 ( 1244161L681)16 181281111111(L)1282244616 1811(64218)4289答案】 28 49鞏固】 1 1 1 1 1 1 1 1 6 12 20 30 42 56 72 90 考點】分數(shù)裂項 【難度】 2 星關鍵詞】 2008 年，第六屆，走美杯，初賽，六年級 解析】 根 據(jù)裂項性質進行拆分為：1 1 1111116 12 203042567290111111112 3 3 44556677 8 8 9 9 101122 10 5答案】鞏固】1136

9、 分數(shù)裂項110考點】關鍵詞】 2008 年，解析】原式11211115 21 28 【難度】6 屆，走美杯，1126星6 年級，1123決賽答案】鞏固】12 分數(shù)裂項計算：112120題型】計算1234567考點】 關鍵詞】 2006 年，12解析】原式110答案】10鞏固】40考點】10 分數(shù)裂項解析】原式1212答案】13534計算：1(2 311(21(12881174 屆，13411130難度】走美杯，14334142 563星6 年級，156110)1110)1541515534135172190題型】計算決賽1671)8 9 9 10)238【難度】 3 星111111題型】計算

10、111 141111 1457914難度】 3 星考點】分數(shù)裂項關鍵詞】 2005 年，第 10 屆，華杯賽，總決賽，二試2001 2003 2005 題型】計算解析】 原 式113 5 5 7112001 2003 2003 20051 1 14 1 3 2003 2005100400312048045答案】 1004003120480457 4.5 0.16&例 6 】 181 1 11113 3.75 3.23 15 35633考點】分數(shù)裂項【難度】3星關鍵詞】 2007 年，仁華學校111331.254 0.83714611111123351312346318

11、=2324429=36答案】 23367 9 16 1解析】 原式118 2 90【題型】計算11135 5 7 7 91179例 7 】計算： 11121314L201261220420考點】分數(shù)裂項【難度】3星【題型】關鍵詞】第五屆，小數(shù)報，初賽解析】原 式 1 23L 20 1111L12612204202101111L11223 3 445202111111112101L22334202112021012102121答案】2021021計算鞏固】 計 算： 2008 118考點】分數(shù)裂項112009 201054 1082011 1180難度】 2 星12012 =270題型】計算關鍵

12、詞】 2008 年，學而思杯， 6 年級， 1 試解析】 原 式 2008 2009 2010 2011 20121361691 1 19 12 12 15 15 1811111112010 5L91223565 1005054答案】 10050 554鞏固】 計 算： 11224。26 153577考點】分數(shù)裂項難度】2星【題型】計算關鍵詞】 2009 年，學而思杯，6 年級解析】 原式 132537511 72615357711111111122335577 111 10111 11 答案】 10111 1 1 1 1 1 13 15 35 63 99 143 195 考點】分數(shù)裂項 【難

13、度】 3 星 【題型】計算 解析】 分 析這個算式各項的分母， 可以發(fā)現(xiàn)它們可以表示為：2195 142 1 13 15 ， 所以原式 1 1 11 3 3 5 5 7鞏固】 計 算：17 9 9 11 11 13223 22 1 1 3 ，15 42 1 3 5，113 1511113 151 1 1 72 1 15 15 答案】 715鞏固】 計 算： 15 1119 29L97019899 26 1220 3097029900 考點】分數(shù)裂項【難度】 3 星【題型】計算關鍵詞】 2008 年，四中解析】 原 式 111111L11261299009911L1122399100991111

14、L1122399100199 1100981100答案】 98100例 8 】 L1 2 3 2 3 4 7 8 考點】分數(shù)裂項 【難度】93星題型】計算解析】首先分析出答案】鞏固】原式35144計算：35144考點】分數(shù)裂項原 式 121解析】答案】2494919800鞏固】23341289231(1121(112計算：135考點】分數(shù)裂項解析】答案】23498 99 100 【難度】 3 星 111題型】計算12 3 21)99 100)3 3 41 49492 9900344949198001)98 99 99 100)L2 4 6 3 5 7 【難度】 3 星 11+ +7 19 21

15、 23 2 4 6 20 22 24 111) 1 (11)1 3 21 23 4 2 4 22 2465 28160 10465 340032 340032原 式 1 1 3 5 3 51 1 1 (4 40 483 2112 3862520 22 24 【題型】計算 1134003238625鞏固】444135357 93 95 97考點】分數(shù)裂項難度】 3 星解析】1(1 315)1(3 51517) 31132001397999603答案】32009603340032鞏固】 99 98 97495 97 99 【題型】計算( 1 1 ) ( 1 1 )(93 95 95 97) (95

16、 97 97 99)1 2 3 2 3 4 3 4 599 100 101考點】分數(shù)裂項難度】 3 星題型】計算99100 1100100解析】1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 2 398100 21001002 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 3 497 100 3 100 3 100 11004 5 3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4 5 4 51 100 99 100 9999 100 101100原式1231210099 1001001011002(1234110100)345(12 1101)99 100 101 99 100 1

17、01 99( 1 1(2 3 3 410099 100 1012451100 101 100 1011. )100 101101答案】 24 51101例 9 】123 考點】分數(shù)裂項2 3 4 5 3 4 5 6 【難度】 3 星6 7 8 9 7 8 9 10 【題型】計算解析】123L3 4 5 7 8 9 8 9 10答案】1192160鞏固】考點】分數(shù)裂項1191238 9 1021601 2 3 4 2 3 4 5難度】17 18 193星20【題型】計算解析】 原式 3 131(1(1 2 3 2 3 4 2 3 4 1 3 19 20 1345113917 18 19 18 1

18、9 20)123答案】 1139684018 19 20 18 19 206840例 10 】 計算： 5123考點】分數(shù)裂項7 L 192 3 4 L 8 9 10【難度】 3 星題型】計算解析】 如 果式子中每一項的分子都相同，那么就是一道很常見的分數(shù)裂項的題目但是本題中分子不相同，而是成等差數(shù)列，且等差數(shù)列的公差為2相比較于 2， 4，6，這一公差為 2 的等差數(shù)列（該數(shù)列的第 n個數(shù)恰好為 n的 2 倍） ，原式中分子所成的等差數(shù)列每一項都比其大3，所以可以先把原式中每一項的分子都分成 3 與另一個的和再進行計算原式 3 2 3 4 L1 2 3 2 3 43 168 9 10L8 9

19、 1011232L23488 9 103 12 1 2 2 3 2 31L34118 9 9 101233419 1031121111L21 2 910233431121171122 902104605119 102315也可以直接進行通項歸納根據(jù)等差數(shù)列的性質，可知分子的通項公式為2n 3 2 3，再將每 n 1 n 2 n n 1 n 22n 3 ，所以2分別加在一起進行裂項后面的過程與前面的方法相同 n n 1 n 2答案】 2315鞏固】 計算： 1155 （ 5 L23 4 3 45 考點】分數(shù)裂項 【難度】 3 星 關鍵詞】 2009 年，迎春杯，初賽，五年級1719 ）8 9 1

20、0 9 10 11 【題型】計算171919 這個算式不同 9 10 11 于我們常見的分數(shù)裂項的地方在于每一項的分子依次成等差數(shù)列，而非常見的分子相同、或分子 是分母的差或和的情況所以應當對分子進行適當?shù)淖冃?，使之轉化成我們熟悉的形式 觀察可知 5 2 3，7 3 4 ，即每一項的分子都等于分母中前兩個乘數(shù)的和，所以解析】 本 題的重點在于計算括號內的算式：234L3 4 5 8 9101719L23 4 3 4 5 8 910 9 10112 3 3 4 L 9 10L 9 10 1112 34 3 4 51113510 11 9 111L3 4 4 510 112435L9 111110

21、 11111L5461 1 1 18 10 9 11111313 112 2 10 3 11 33 2 533 55所以原式311155651 55（法二） 上面的方法是最直觀的轉化方法，但不是唯一的轉化方法由于分子成等差數(shù)列，而等差數(shù)列的 通項公式為 a nd，其中 d為公差如果能把分子變成這樣的形式，再將a與 nd分開，每一項都變成兩個分數(shù)，接下來就可以裂項了5 7 17192341222341234L3 4 5 8 9 10 9 10 111 3 2 L1 8 21 9 23 45 L8 910 9 10112 2 1 32L 12 3 43 45 3 4 5L8910 8 910829

22、2234L3452334 3 42310 11 2128 9 101L451 2 2 3 41220 3 11 4 220 所以原式 1155 31 651 55法三）113155，9 10 119 10 119 10 1134459 10 10 1129 10 10 11111L510 1157L17192343458910910115117113 42344528991029 10 10 1151751971L1917119 1223 2 2342245229102 10 115111L5119122334491021011511 193112310 22055所

23、以原式31115555651本題不對分子進行轉化也是可以進行計算的：法四）對于這類變化較多的式子，最基本的方法就是通項歸納先找每一項的通項公式：an2n 1（ n 2 ， 3， 9）2）1分成 2n和 1，就是上面的法二；如果將分子分成n(n 1)(n如果將分子 2nn和 n 1 ，就是上面的法答案】651鞏固】 計 算：1245考點】分數(shù)裂項45122 3 5 6 3 4 6 7 【難度】 3 星10 11 13 14 題型】計算解析】 觀 察可知原式每一項的分母中如果補上分子中的數(shù)，就會是 將每一項的分子、分母都乘以分子中的數(shù)即：原式2232 421 2 3 4 5 2 3 4 5 652

24、345675 個連續(xù)自然數(shù)的乘積，所以可以先12210 11 12 13 14現(xiàn)在進行裂項的話無法全部相消，需要對分子進行分拆，考慮到每一項中分子、分母的對稱性，可以用平方差公式：原式2321234522232 1 5 4，42 2 6 4， 522242527 4 212210 11 12 13 1415426437412314521345 6 314561L72343454L561112132 3 4 5 6 3 4 5 6 710 14 410 11 12 13 14441 2 3 4 5 2 3 4 5 64L34567410 11 12 13 14111111L11123423452

25、34534L5610 11 121311 12 13141111122312131234111213141111177 11111751221213241112 131481112 1314 8 2 11148 30861675616答案】2 2 3 3 4344511 12 12 13例 11 】 1 22 2 3 考點】分數(shù)裂項 解析】 原 式 132344234【難度】L54星2 2 3 2 3 4 2 3 4 592 3 4L 10【題型】計算2 3 4L 10223234234L 101111111L2223232342 3 4L 9113628799234L9103628800答案

26、】 362879936288002 1 3 1 4 1L10 112 3 4L 9 10例 12 】 112 考點】分數(shù)裂項 原 式 1121121解析】2123412345311231121123234 難度】 4 星4 1 5 11 2 3 4 1 2 3 4 51 1 15123456 【題型】計算61612345671 2 3 1 2 3 1 2 3 411234567711 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 L112345671150405039504021答案】50395040鞏固】 計 算： 2 3 L 3! 4!考點】分數(shù)裂項99.100!.【難度】 4 星題型】

27、計算解析】 原 式為階乘的形式，較難進行分析，但是如果將其寫成連乘積的形式，題目就豁然開朗了原式21233112311234411234111 2 1 2 3 1 2 3111 2 1 2 3 L 100答案】 1 12 100!991 2 3 L 100 100 11 2 3 L 1001 L 1 11 2 3 4 L 1 2 3 L 99 1 2 3 L 100 112 100!例 13 】考點】分數(shù)裂項3450(1 2) (12 3)(1 23) (1L2 3 4) (1 2 3 L49) (1 2 L 50)【難度】3星【題型】計算21 (1 2)解析】原 式2 3 4 1 3 3 6

28、 6 105 10 15501225 1275（11）（11）（11 ）（11）133661012251275答案】 1274127512741275鞏固】21 (1 2)考點】分數(shù)裂項3(1 2) (1 2 3)【難度】4 100L(1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 L 99) (1 2 L 100)3 星 【題型】計算解析】2 1 1 ， 3 1 11 (1 2) 1 1 2 ， (1 2) (1 2 3) 1 2 1 2 3100 1 1(1 2 L 99) (12 L 100) 1 2 L 99 1 2 L 100原式1112L10011 50495050 5050答案】 5

29、0495050鞏固】考點】解析】11 (1 分數(shù)裂項22)(132)(1 2 3) 【難度】(1 2 32星10L 9) (1 2 3 L 題型】計算10)原 式 1 ( 2 3 4 L13 3 6 6 101045 551113361101145 55答案】 14 】1232 11252 1考點】分數(shù)裂項112272 1 92 1 【難度】關鍵詞】仁華學校解析】 這 題是利用平方差公式進行裂項：111 原式 ( ) ( ) ( )2 4 4 6 6 8 (1 1 1 1 1 1 1 1 (2 4 4 6 6 8 8 10 1 1 1 3()2 14 2 14答案】

30、31411.22.112 1 132 13 星【題型】計算22a2 b2 (a b) (a b) ， ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (8 10) (10 12) (12 14)1 1 1 1) 110 12 12 14) 2計 算： (1212)(1312 ) (1412 ) (14512)L1(1 4182) (1492)分數(shù)裂項【難度】 3 星【題型】計算11113111241 2 (1)(1)， 1 2(1)(1 )，所以，222222 323333原式 1324L4850 1502522334949 249492549鞏固】考點】解析】答案】鞏固】計算：考點】解析】1222222

31、 2 232 32 42 【難度】L3星72822222222221324387222222L221222223232427282111111122222L222222323242728231557分數(shù)裂項原式題型】計算答案】63641 6382 64鞏固】考點】32 123 分數(shù)裂項計算：52 12512227 2 1L1993 211995212L227 11993119951難度】 3 星 【題型】計算解析】 原 式 1212122L1 2232 1252 172L211219932 199722L2244619941996111111997L2446199419961199799799

32、7219961996答案】99799712219952 1鞏固】考點】解析】1996計算：122223212222 42232 1分數(shù)裂項12 3222 110可見原式答案】 198 4751495022 42324222 12 981961961961982232 52242難度】20 ，84232 11134751495013星32 542 12 244212499199990022982 100229921【題型】計算341513511431002992由于 10 2 43341198 1001198 100鞏固】2計 算： 12 2 222 32 L 502133 5 5 7 L 99

33、 101考點】分數(shù)裂項【難度】 3 星【題型】計算解析】 式 子中每一項的分子與分母初看起來關系不大，但是如果將其中的分母根據(jù)平方差公式分別變?yōu)?08248，34 2 4 ，2，15 1522 1，42 1，62 1 ， 1002 1，可以發(fā)現(xiàn)如果分母都加上 1，那么恰好都是分子的 4 倍， 所以可以先將原式乘以 4 后進行計算，得出結果后除以 4 就得到原式的值了1原式 1422 422222 1 42 162262100221002 1122 114262121002 1150499 101111111111501L4233557991011501115063150124210141011

34、01答案】 12 63101例 15 】 5 6 6 7 7 8 8 9 9 105 6 6 7 7 8 8 9 9 10 考點】分數(shù)裂項 【難度】 3 星 【題型】計算 解析】 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 1 1 (1 1) . (1 1 ) 1 1 35 6 6 7 7 8 8 9 9 10 5 6 6 7 9 10 5 10 10 答案】 310鞏固】36579111357612203042考點】分數(shù)裂項 【難度】 3 星 【題型】計算 關鍵詞】第三屆，祖沖之杯，人大附中=43 6 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 3 6 1 1 1 1 解析】 原式 =5 7 2

35、3 3 4 4 5 5 6 6 7 5 7 2 3 3 4 答案】 4鞏固】計算： 13257910 11193457820212435考點】分數(shù)裂項【難度】3星【題型】計算解析】原 式 13257111111211111153457845373857答案】5鞏固】123791117253571220283042考點】分數(shù)裂項【難度】3星【題型】計算解析】原 式 1231111112113357344547566711112123131113333665557774444答案】334鞏固】1 1 11120102638272 3 30314151119120123124考點】分數(shù)裂項【難度】3

36、星【題型】計算解析】原 式 111111111111 1 1 1233031 41 3177174303 41 4 3111111111233743427答案】 21735 49 63 77 91 105 13 16 12 20 30 42 56 18 8考點】分數(shù)裂項難度】 3 星題型】計算5791113153解析】原式7 1 8612 20304256811111111L7823347881111788288211110答案】10鞏固】計算：157911131517 196122030425672 90考點】分數(shù)裂項【難度】3星題型】計算解析】原式1233445566778899 10233445566 7 78899 101111111 1 111111()()()()()()(2334455 6 6778811132105答案】3519)(910)鞏固】1 1 7981754 5 1220153012考點】分數(shù)裂項【難度】3星【題型】計算解析】原 式 1 111111121114534453556461111232453456答案】322 例 16 】 1 212 考點】分數(shù)裂