《高等代數(shù)》第二章習(xí)題及答案

1、習(xí)題2.1設(shè)m,n是不同的正整數(shù)，A是mn矩陣，B是nm矩陣，下列運(yùn)算式中有定義的有哪幾個(gè)？ A+B，AB，BA，ABT，A-BT答 只有AB和A-BT有定義2. 計(jì)算 解=設(shè)A=，B=，計(jì)算： (A+B)(A-B) A2-B2 (AB)T ATBT解 (A+B)(A-B)= A2-B2= (AB)T = ATBT =4. 求所有的與A=可交換的矩陣解 設(shè)矩陣B與A可交換，則B必是22矩陣，設(shè)B=，令A(yù)B=BA，即從而有 由此得解得，c=0，a=d，b為任意數(shù)即與A可交換的矩陣B可寫成B=5. 設(shè)A，B是nn矩陣，并且A是對(duì)稱矩陣，證明：BTAB也是對(duì)稱矩陣證 已知A是對(duì)稱矩陣，即AT=A，從

2、而 (BTAB)T=BTAT(BT) T=BTAB，所以BTAB也是對(duì)稱矩陣6. 設(shè)A=，求A2，A3，Ak解A2=A3=Ak=7.設(shè)B是22矩陣由B2=022能推出B=0嗎？試舉反例（提示：參見(jiàn)上題）解 不能例如令B=，當(dāng)a0時(shí)，B0，但B2=0228. 設(shè)A，B是nn矩陣，證明：(A+2B)(A-5B)=A2-3AB-10B2的充分必要條件是A與B可交換證 充分性：若A與B可交換，即AB=BA，則(A+2B)(A-5B)=A2-5AB+2BA-10B2= A2-5AB+2AB-10B2= A2-3AB-10B2必要性：若(A+2B)(A-5B)=A2-3AB-10B2即 A2-5AB+2B

3、A-10B2= A2-3AB-10B2比較兩邊相同的項(xiàng)得 -2AB+2BA=0故 AB=BA9. 設(shè)A，B是nn對(duì)稱矩陣，證明：AB是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是A與B可交換證 因A，B是nn對(duì)稱矩陣，即AT=A，BT=B必要性：若AB是對(duì)稱矩陣，則(AB)T=AB，有因 (AB)T =BTAT=BA，從而AB= BA，即A與B可交換充分性：若A與B可交換，由必要性證明過(guò)程反圖推，知AB是對(duì)稱矩陣習(xí)題2.21.設(shè)A，B，C是矩陣，且滿足AB=AC，證明：如果A是可逆的，則B=C證 已知AB=AC，兩邊左乘矩陣A-1，有A-1(AB)= A-1(AC)，根據(jù)結(jié)合律得(A-1A)B=( A-1A)C，

4、從而有EB=EC，故B=C2.設(shè)P是可逆矩陣，證明：線性方程組AX=與線性方程組PAX=P同解證 設(shè)X(1)是AX=的任一解解，即有AX(1)=成立，兩邊左乘矩陣P，得PAX(1)=P，說(shuō)明X(1)也是PAX=P的解反之，設(shè)X(2)是PAX=P的任一解，即有PAX(2)=P成立，兩邊左乘矩陣P-1，得P-1 (PAX(2)= P-1 (P)，根據(jù)結(jié)合律得(P-1 P)AX(2)=(P-1 P)，從而有AX(2)=，這說(shuō)明X(2)也是AX=的解綜合以上可知，線性方程組AX=與線性方程組PAX=P同解3.設(shè)P是nn可逆矩陣，C是nm矩陣證明：矩陣方程PX=C有唯一解證 令X*=P-1C，代入PX=

5、C中驗(yàn)證知X*是矩陣方程的一個(gè)解反之，設(shè)X(1)是矩陣方程PX=C的任一解，即有PX(1)=C成立，兩邊左乘P-1得，X(1)=P-1C=X*，所以矩陣方程PX=C有唯一解4. 設(shè)A是nn可逆矩陣，且存在一個(gè)整數(shù)m使得Am=0證明：(E-A)是可逆的，并且(E-A)-1=E+A+Am-1證 由于(E-A)(E+A+Am-1)=E+A+Am-1-A-A2-Am=E-Am=E-0=E顯然交換(E-A)和(E+A+Am-1)的次序后相乘結(jié)果仍成立，根據(jù)逆陣的定義知(E-A)-1=E+A+Am-15.設(shè)P，A都是nn矩陣，其中P是可逆的，m是正整數(shù)證明：(P-1AP)m=P-1AmP證 (P-1AP)

6、m=(P-1AP)(P-1AP)(P-1AP)(P-1AP)=P-1A(PP-1)A(PP-1)AP=P-1AEAEAP=P-1AmP6. 設(shè)A，B都是nn可逆矩陣，(A+B)一定是可逆的嗎?如果(A+B)是可逆的，是否有(A+B)-1=A-1+B-1？若不是，試舉出反例解 如果A，B都是nn可逆矩陣，(A+B)不一定是可逆的例如A=，B=都是可逆的，但A+B=是不可逆的如果(A+B)是可逆的，也不能說(shuō)(A+B)-1=A-1+B-1例如A=，B=，則A，B可逆，A+B=可逆，且(A+B)-1=，但A-1+B-1=+=顯然(A+B)-1A-1+B-17*.設(shè)A，B都是nn矩陣，滿足ABA=A，是

7、n1矩陣證明：當(dāng)且僅當(dāng)AB=時(shí)，線性方程組AX=有解證 當(dāng)AB=時(shí)，記X*=B，即X*是AX=的一個(gè)解反之，若線性方程組AX=有解，設(shè)X(1)是它的一個(gè)解，即有AX(1)=，兩邊左乘(AB)得(ABA)X(1)=AB用已知條件ABA=A代到上式左邊得AX(1)=AB由于X(1)是AX=的一個(gè)解，即AX(1)=，所以AB=習(xí)題2.31.用行和列的初等變換將矩陣A化成的形式：A=解 2.用初等變換判定下列矩陣是否可逆，如可逆，求出它們的逆矩陣： 解 所給矩陣可逆，其逆陣為所給矩陣可逆，其逆陣為2.解下列矩陣方程： 解 由此得由此得對(duì)等式兩端分別轉(zhuǎn)置得因?yàn)樗?.設(shè)，又X是可逆矩陣，并且滿足矩陣方程

8、AX2B=XB，求矩陣X解 (B,E)=從以上看出B可逆，對(duì)AX2B=XB兩邊右乘B-1得AX2=X已知X可逆，對(duì)AX2=X兩邊右乘B-1得AX=E又(A,E)=所以 X=5.證明：B與A行等價(jià)存在可逆矩陣P，使B=PA證明：B與A等價(jià)存在可逆矩陣P與Q，使B=PAQ證 若B與A行等價(jià)，即A可經(jīng)有限次初等行變換得到B，而對(duì)矩陣A每做一次初等行變換，相當(dāng)于對(duì)它左乘一個(gè)初等方陣，假設(shè)對(duì)A依次左乘初等方陣P1，P2，PK，使PkP2P1A=B令P=PkP2P1，則P是可逆矩陣，且B=PA反之，若存在可逆矩陣P，使B=PA，因?yàn)榭赡婢仃嘝可以寫成一系列初等方陣P1,P2, ,Pk的乘積，即P=P1P2

9、Pk，從而有B=P1P2PkA，說(shuō)明A可經(jīng)有限次初等行變換得到B，即B與A行等價(jià) 若B與A等價(jià)，即對(duì)A經(jīng)過(guò)有限次初等變換得到B而對(duì)矩陣A每做一次初等行變換，相當(dāng)于對(duì)它左乘一個(gè)初等方陣；對(duì)矩陣A每做一次初等列變換，相當(dāng)于對(duì)它右乘一個(gè)初等方陣假設(shè)對(duì)A左乘的初等方陣依次為P1，P2，Ps，對(duì)A右乘的初等方陣依次為Q1，Q2，Qt，使PsP2P1AQ1Q2Qt=B令P=PsP2P1，Q=Q1Q2Qt，則P，Q都是可逆矩陣，且B=PAQ反之，若存在可逆矩陣P和Q，使B=PAQ，因?yàn)榭赡婢仃嘝和Q均可以寫成一系列初等方陣的乘積，設(shè)P=P1P2 Ps，Q=Q1Q2Qt，這里Pi,Qi都是初等方陣，從而有B=

10、P1P2PkA Q1Q2Qt，說(shuō)明A可經(jīng)有限次初等行變換和初等列變換得到B，即B與A等價(jià)6*.設(shè)A是sn矩陣，B是sm矩陣，B的第i列構(gòu)成的s1矩陣是j（j=1,2,m）證明：矩陣方程AX=B有解的充分必要條件是：AX=j（j=1,2,m）都有解證 先證必要性如果矩陣方程AX=B有解，設(shè)X*是它的解，則X*是nm矩陣，記X*的第j列為X*j，根據(jù)矩陣先相乘的規(guī)則知，A與X*j相乘的結(jié)果是j，即X*j是AX=j的解（j=1,2,m）再證充分性若AX=j（j=1,2,m）都有解，設(shè)X*j是AX=j的解，這里X*j是n1矩陣，令X*=(X*1, X*2,X*m)，則X*是nm矩陣，且X*是矩陣方程A

11、X=B的解7*.設(shè)A=(aij)是nn矩陣證明：如果Pn(h(2)A=APn(h(2),則ahj=0,j=1,2,h-1,h+1,n；并且aih=0,i=1,2,h-1,h+1,n設(shè)B=diag(b1, b2, bn)是一個(gè)對(duì)角矩陣，設(shè)lk證明：如果Pn(l,k)B=BPn(l,k)，bl=bk證明：如果矩陣A與所有的nn矩陣都可交換，則A是一個(gè)數(shù)量矩陣證 如果Pn(h(2)A=APn(h(2),則A是nn矩陣，等式左邊的Pn(h(2)A表示將矩陣A的第h行每個(gè)元素乘以2得到的矩陣；等式右端的APn(h(2)表示將A的第h列每個(gè)元素乘以2得到的矩陣從等式可知2ahj= ahj（j=1,2,h-

12、1,h+1,n），aih=2aih （i=1,2,h-1,h+1,n），從而得ahj=0,j=1,2,h-1,h+1,n；并且aih=0,i=1,2,h-1,h+1,n如果Pn(l,k)B=BPn(l,k),則B是nn矩陣，等式左邊的Pn(l,k)B表示將矩陣B的第l行和第k行交換位置；等式右端的BPn(l,k) 表示將矩陣B的第l列和第k列交換位置由于B=diag(b1, b2, bn)是一個(gè)對(duì)角矩陣，且lk，不妨設(shè)lk，則有Pn(l,k)B=BPn(l,k)=比較對(duì)應(yīng)元素，可知bl=bk如果矩陣A與所有的nn矩陣都可交換，在中分別令h=1,2,n，可知A除對(duì)角線上元素以外其它元素都是零，即A可寫成diag(b1, b2, bn)；在可令l=1，分別令k=2,n，可知A的對(duì)角線上元素都相等習(xí)題2.41.設(shè)A=，其中A1是ss矩陣，A2是st矩陣，A4是tt矩陣求A3解 A2=A3=2.設(shè)G=是mn矩陣，證明：存在矩陣B，使得GBG=G設(shè)A是mn矩陣，證明：存在矩陣B，使得ABA=A證 構(gòu)造nm矩陣B為B=，則GBG=G設(shè)矩陣A的秩為r，則可經(jīng)過(guò)有限次初等變換使A變?yōu)榈男问?，即存在可逆的nn矩陣P和可逆的mm矩陣Q使PAQ=D，即A= P-1DQ-1定義nm矩陣B如下：B=QCP，其中C=則有ABA=(P-1DQ-1)(QCP)(P-1DQ-