廣義逆矩陣及其應(yīng)用

1、第七章廣義逆矩陣及其應(yīng)用廣義逆矩陣是通常逆矩陣的推廣，這種推廣的必要性，首先是從線性方程組的求解問題出發(fā)的,設(shè)有線性方程組Ax=b(01)當(dāng)A是n階方陣，且det/HO時(shí)，則方程組(01)的解存在、唯一，并可寫成x=Ab(02)但是，在許多實(shí)際問題中所遇到的矩陣廈往往是奇異方陣或是任意的mxn矩陣(一般加工n),顯然不存在通常的逆矩陣力一】，這就促使人們?nèi)ハ脲枘芊裢茝V逆的概念，引進(jìn)某種貝有普通逆矩陣類似性質(zhì)的矩陣G,使得其解仍可以表示為類似式(02)的緊湊形式？即x=Gb(03)1920年摩爾(E.H.Moore)首先引進(jìn)了廣義逆矩陣這一概念，其后三十年未能引起人們重視，直到1955年，彭諾斯

2、(R.Pemose)以更明確的形式給出了Moore的廣義逆矩陣的定義之后，廣義逆矩陣的研究才進(jìn)入了一個(gè)新的時(shí)期，由丁廣義逆矩陣在數(shù)理統(tǒng)計(jì)、系統(tǒng)理論、最優(yōu)化理論、現(xiàn)代控制理論等許多領(lǐng)域中的重要應(yīng)用為人們所認(rèn)識(shí)，因而人人推動(dòng)了對(duì)廣義逆矩陣的研究，使得這一學(xué)科得到迅速的發(fā)展，已成為矩陣的一個(gè)重要分支。本章著重介紹幾種常用的廣義逆矩陣及其在解線性方程組中的應(yīng)用。1矩陣的兒種廣義逆1廣義逆矩陣的基本概念1955年，彭諾斯(Penrose)指出，對(duì)任意復(fù)數(shù)矩陣Amxn,如果存在復(fù)矩陣血審，滿足.VC4=A(11)X4X=X(12)(丄f)=.4X(13)腳)=X4(14)A.AA=A.(15)A.AA=A

3、.(15)則稱X為的一個(gè)MoorePenrose廣義逆，并把上而四個(gè)方程叫做MoorePenrose方程，簡(jiǎn)稱MP方程。由J：M-P的四個(gè)方程都各有一定的解釋，并且應(yīng)用起來各有方便之處，所以出于不同的目的，常常考慮滿足部分方程的X,叫做弱逆。為引用的方便，我們給出如卜的廣義逆矩陣的定義。定義11設(shè)AGCmxn,若有某個(gè)滿足M-P方程（1-1）（1-4）中的全部或其中的一部分，則稱X為廈的廣義逆矩陣。例如有某個(gè)X,只要滿足式（1-1）,則X為/的1廣義逆，記為Xw/1；如果另一個(gè)Y滿足式（11）、（12）,則卩為/的1,2廣義逆，記為YG1,2:如果XG力1,2,3,4,則X同時(shí)滿足四個(gè)方程，它

4、就是MoorePenrose廣義逆，等等?？傊凑斩x1一1可推得，滿足1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)MoorePemose方程的廣義逆矩陣共有C：+C：+C：+C：=15種，但應(yīng)用較多的是以卜五種/I,/1,2,/1,3,/1,4,/1,2,3,4以后將會(huì)看到，只有/1,2,3,4是唯一確定的，其它各種廣義逆矩陣都不能唯一確定，每一種廣義逆矩陣又都包含著一類矩陣，分述如卜：力1：其中任意一個(gè)確定的廣義逆，稱作減號(hào)逆，或g逆，記為一；A1,2：其中任意一個(gè)確定的廣義逆，稱作自反廣義逆，記為曷；A1,3：其中任意一個(gè)確定的廣義逆，稱作最小范數(shù)廣義逆，記為2曲A1,4：其中任意一個(gè)確定的廣義逆，稱作最小

5、二乘廣義逆，記為卻：A1,2,3,4：唯一,稱作加號(hào)逆,或偽逆，或Moore-Peniose逆，記為為敘述簡(jiǎn)單起見，I、而我們以R11及實(shí)矩陣為例進(jìn)行討論，對(duì)C11及復(fù)的矩陣也有相應(yīng)結(jié)果。1.2減號(hào)逆力一定義12設(shè)有mXn實(shí)矩陣A（mWn,當(dāng)mAn時(shí)，可討論AT）o若有一個(gè)flxjn實(shí)矩陣（記為存在，使卜式成立，則稱丄為的減號(hào)逆或g逆：0當(dāng)存在時(shí)，顯然A滿足上式，可見減號(hào)逆A是普通逆矩陣的推廣；另外，由,:MA=A得(AAA)=即at(a-)tat=at可見，當(dāng)工為A的一個(gè)減號(hào)逆時(shí)，(J-)T就是中的一個(gè)減號(hào)逆。Ir0L.*例12若A=00k則A-=r*MlI*證因?yàn)閷?duì)任意的r*E，都有故B與

6、C均為A的減號(hào)逆。nxp?00,其中*是任意的實(shí)數(shù)。wxwmxw所以反之,X、必須有X,=Ir,即X為心若滿足的形狀證畢10*100100_10,B=,c=01000110I1,易知ABA=BACA三J例11設(shè)-4=00例I表明，標(biāo)準(zhǔn)形。的減號(hào)逆存在，而且不是唯一的，填一些數(shù)到*位置，就是一個(gè)減號(hào)逆，填不同數(shù)，就得到不同減號(hào)逆。卜面我們討論當(dāng)A為非零矩陣時(shí)，如何用初等變換的方法來構(gòu)造它的任意一個(gè)減號(hào)逆，即討論A的存在性。引理設(shè)Bmxn=PmxmAmxnQnxn,其中P,Q都是滿秩方陣,如果己知B的減號(hào)逆為B_,則矩陣A的減號(hào)逆A=QBP(16)證因?yàn)榧褐狟是B的減號(hào)逆，所以有BBB=B(PAQ

7、)B-(PAQ)=PAQ由J：P與Q非奇異，故有A(QBP)A=A從而有A=QBP證畢這個(gè)引理說明，兩個(gè)等價(jià)的矩陣A,B(即滿足B=PAQ),如果其中一個(gè)的減號(hào)逆可求出來，那么，另一個(gè)的減號(hào)逆也可以求出來。定理1一1(存在性)任給mxn階矩陣A,那么減號(hào)逆A一一定存在，但不唯一。證分兩種情況，如果rankA=O即，A=Omxn,這時(shí)對(duì)任意的XERmx都有0X0=0,所以任意Hxjn階矩陣X都是零矩陣的減號(hào)逆。再設(shè)rankA=r0,那么存在m階滿秩矩陣P與n階滿秩矩陣Q,使得Z0_PAO=BRmn00由例12知，存在*B_=r，寧為任意實(shí)數(shù)*再由引理知I,存在I*=OP二aa只耍A非滿秩，由的任

8、意性，所以A一非唯一。證畢.101001-12解為要將A通過初等行與列變換，化為一個(gè)等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)形，我們?cè)贏的右邊放上一個(gè)12，在A的卜方放上一個(gè)13，當(dāng)A變成時(shí)，則12就變成E而13就變成Q1-1210223011000100011001000-101-3-7-2010241GM、000104-1011_2100110010-100-3-2-70012141100G+2C320110一302-2:1|o-71I-11010010100這就是說-3-2-71010010100-1rion-3-2-7p=0010-1jJ214PAQ=厶0=B但標(biāo)準(zhǔn)形B的減號(hào)逆為盧為任意實(shí)數(shù)故得(111)010A=

9、O01只*為任意實(shí)數(shù)設(shè)有/GRmxn,卜面的定理給出了rank人一與rankA之間的關(guān)系。定理12rankAraiik(AA)rankA證因?yàn)锳A_A=Af即(AA-)A=A,所以有rank(AA)rankA又因?yàn)閞ankArank(AA),故rankArank(AA)rankA證畢這個(gè)定理說明，A_的秩總不會(huì)小J：A的秩，這從例1一2也可看出。1.3自反廣義逆眾所周知，對(duì)于普通的逆矩陣A1,有04-】)一】=力，但這一事實(shí)対于減號(hào)逆A般不成立。例如，由例11知10001010.4=10101fa=1即(AyA,為了使A與才能互為減號(hào)逆，我們不妨對(duì)前面定義的減號(hào)逆A加以限制，使A具有這種“自反

10、”的性質(zhì)。卜面我們給出自反廣義逆矩陣的定義。定義13對(duì)J：一個(gè)mxn階實(shí)矩陣A,使AXA=A及XAX=X同時(shí)成立的nxm階實(shí)矩陣X,稱為是A的一個(gè)自反廣義逆，用A表示，即有AArA=A及其ArAAr=Ar顯然，自反廣義逆是減號(hào)逆的一個(gè)子集，此時(shí)，它滿足自反性質(zhì)(AT=Ao卜面我們來構(gòu)造自反廣義逆的一種算法，我們先引進(jìn)所謂“最人秩矩陣的右逆、左逆叩勺概念。(111)0一、最人秩矩陣的右逆和左逆定義1T設(shè)A是行最人秩的HlX階實(shí)矩陣(1Hn),如果存在一個(gè)nxm階矩陣G,當(dāng)G左乘A后得到一個(gè)nXn階單位陣，即GA=I則G叫做A的左逆，記作這就是說，有(1-12)AA=I(111)0同理可得計(jì)算力7

11、的公式是還l=(113)這里值得指出的是，対門亍(或列)最大秩的2xJ1階矩陣A,缶】和還1是不可能同時(shí)存在的。顯然，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)，同時(shí)存在，并且就等J：普通的逆矩陣Al.二、4的最人秩分解方法如果A是行(或列)最人秩長(zhǎng)方陣，則它由式(1-10)確定的右逆(或由式(1-13)確定的左逆)顯然滿足A=A(或AAA=A)九峯=占i(或血1九宇=A1)這表明右逆(或左逆乂？)就是A的一個(gè)自反廣義逆在一個(gè)最人秩分解A=BC其中B為mXr階列最大秩矩陣，C為rXn階行最人秩矩陣，丁是，由前面的討論，B有左逆8：,c有右逆c;1,那么求有如卜的定理。定理1一3設(shè)A=BC為矩陣A的最大秩分解，則A的自反

12、廣義逆的一般形式為A；=CYBX(114)其中為B的左逆，C；1為C的右逆。證由于AAXA=BCC：E?BC=BC=AAA；=C?B1BCC；B=C-1B?=A；故A；=C；1B?是A的自反廣義逆。其次，設(shè)是A的任一自反廣義逆矩陣，則.4.4；A=A即最后用式(1-14)得最后用式(1-14)得0BCA；BC=BC上式兩端分別左乘以8兒右乘以C：,得CA；B=Ir(i=rankA).由此可見，U町為B的左逆,記為eJ；為C的右逆，記為cj,于是A=AA4=ABCA=C1E?故式(1-14)是A的自反廣義逆的一般形式。當(dāng)A為行(或列)最人秩矩陣時(shí)，它的最大秩分解寫成A=ImA(或A=Aln)這樣

13、一來，式(1-14)實(shí)際上是給出了任何非零矩陣求自反廣義逆的一種方法。例1-5設(shè)_103_A=230111求A的一個(gè)自反廣義逆.解因?yàn)閘cmkA=2,所以由第四章3中的方法對(duì)A作最人秩分解1A=BC=2171211L。-1-12由例14的結(jié)果，知5丄6143-4771-414r-4728L-4081991=1034815444-1111值得提出的是，由式(1-14)確定的自反廣義逆并不唯一，這是因?yàn)橛檬?1-10)來計(jì)算右逆C：和用式(1-13)來計(jì)算左逆并非唯一。卜面給出行(或列)最大秩矩陣計(jì)算其右逆(或左逆)的一般表達(dá)式。設(shè)AgRmxn,且rankA=m,則A的右逆的一般表達(dá)式是G=VAT

14、(AVATYi(115)其中V是使得等式rank(AVAT)=ranlc4成立的任意階方陣。事實(shí)上，用A左乘(1-15)式兩端，有AG=AVAT(AVATY1因此，有AG=(AVAT)(AVATY1=1即G=VARAVA1)1是A的右逆的一般表達(dá)式。當(dāng)取V=In時(shí),式(1-15)就變成了式(1-10),所以由式(1-10)給出的A=AT(AATY1只是A的所有右逆中的一個(gè)。同理，可寫出列最人秩矩陣A的左逆的一般表達(dá)式G=(/U#)T-f(116)其中U是使關(guān)系rankUA)=mnkA成立的任意的m階方陣。1.4最小范數(shù)廣義逆-巧定義1一6設(shè)AeRmxn(mw),如果有一個(gè)wxm階矩陣X,滿足.

15、AXA=A及(X4)r=XA(117)則稱X為A的一個(gè)最小范數(shù)廣義逆，記為.顯然，最小范數(shù)廣義逆是用條件(X)r=X4減號(hào)逆才進(jìn)行限制后所得出的一個(gè)子集。定理1T設(shè)AeRmxn(w0(z=111是歐氏范數(shù)?？梢宰C明，滿足該條件的解是唯一的，稱之為極小范數(shù)解。如果方程組(2-1)不相容，則不存在通常意義卜的解，但在許多實(shí)際問題中，樣的解XeCN其中|是歐氏范數(shù)。我們稱這個(gè)問題為求矛盾方程組的最小二乘問題，相應(yīng)的X稱為矛盾方程組的最小二乘解。一般說來，矛盾方程組的最小二乘解是不唯一的，但在最小二乘解的集合中，具有極小范數(shù)的解。(26)X=minklniin|.V-d|是唯一的，稱Z為極小范數(shù)最小二

16、乘解，或最佳逼近解。廣義逆矩陣與線性方程組的求解有著極為密切的聯(lián)系，利用前一節(jié)的減號(hào)逆f最小范數(shù)廣義逆.婦、最小二乘廣義逆4以及加號(hào)逆可以給出上述諸問題的解。2.2相容方程組的通解與對(duì)一個(gè)Blxfi階相容的線性方程組(2-1),不論系數(shù)矩陣A是方陣還是長(zhǎng)方矩陣，是滿秩的還是降秩的，我們都有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的求解方法，并且能把它的解表達(dá)成非常簡(jiǎn)潔的形式。卜面用定理形式給出。定理2-1如果線性方程組(2-1)是相容的，才是A的任一個(gè)減號(hào)逆，則線性方程組(21)的一個(gè)特解可表示成TOC o 1-5 h zX=Ab(27)通解可以表示成X=Ab+(I-AA)z(28)其中z是與X同維的任意向最。證因?yàn)锳X=b

17、相容，所以必有一個(gè)n維向量W,使AW=b(29)成立，又由丁是才是A的一個(gè)減號(hào)逆，所以,4.4-A=A,則有4AJV=AW,亦即AA=b,由此得出。X=Ab是方程組(2-1)的一個(gè)特解。其次，在式(28)兩端左乘A,則有f=AT(AATy(124).IX=.IAb+A(I一fQZ=AAbPA(Ab)=b,所以式(28)確定的X是方程組(21)的解,Z=X-ATb,有且當(dāng)久為任意一個(gè)解時(shí)，若令從而得(Z-才A)Z=I-A2)(左-.rb)=X-Ab-AAX+AAATb=X-Ab-Ab+Ab=Xb=Ab+(I-AA)Z這表明由式（28）確定的解是方程組（21）的通解。證畢例21求解xA+2x2-x

18、3=1-x2+2x3=2解將方程組（210）寫成矩陣形式(210)其中2-1AX=b-12f=AT(AATy(124)f=AT(AATy(124)現(xiàn)在只要求得A的一個(gè)減號(hào)由rank=ArankAb）=2,所以方程組（210）是相容的,就可以了。由例1一4知矩陣A的一個(gè)減號(hào)逆（即右逆）為428f=AT(AATy(124)f=AT(AATy(124)利用公式（28）,我們可立即求得方程組（2-10）的通解:X=Ab+(I-AA)Zf=AT(AATy(124)f=AT(AATy(124)11413+9Z6Zj3Zj10-6Z+4z2+2z319-13Z+2z2+Z3f=AT(AATy(124)也即f

19、=AT(AATy(124)f=AT(AATy(124)X=(13+9Zj-6z2-3z3)v=(10-6z1+4z+2zJ14-x3=77(19-3Z+2z2+Z3)14f=AT(AATy(124)f=AT(AATy(124)其中f=AT(AATy(124)z】Z=z2為任意向量_Z3_2求解線性方程組X+3兀3=3(211)Xi+3x2=04+x2+x3=1解其中(2-11)改家矩陣方程形式AX=b_103_3A=230,b=01111(211)由于減號(hào)逆=Arank(A:b)=2,故方程組是和容的，在例15中，己求得A的一個(gè)f=AT(AATy(124)f=AT(AATy(124)”1819

20、9-1034815444-1111f=AT(AATy(124)f=AT(AATy(124)利用公式(28)立即得通解:f=AT(AATy(124)f=AT(AATy(124)3+9Z6z?3Zj-2-6Z+4z2+2z313-3Z+2z2+Z3X=.47b+(/-AA)Z114xi=77(3+9Zi-6z2-3z3)14X1=憶(一2-隔+4z2+2Z3)屯=(133Z+2z+Z3)to1從上面兩例子可以看出，用減號(hào)逆來表示相容方程組的通解X=Ab+(I-AA)Z是很方便的，這是線性方程組理論的一個(gè)重人發(fā)展。但是，如何在無窮多個(gè)解向帚中求出一個(gè)長(zhǎng)度最短的解向最？這便是卜而要研究的極小范數(shù)解。2

21、.3和容方程組的極小范數(shù)解與定義21對(duì)丁相容的線性方程組AX=b,如果存在有與b無關(guān)的A的某些特殊減號(hào)逆G,便利Gb和其他的解相比較，具有最小范數(shù)，即回胡口(2其中X是AX=b的解。卜h是劭小加范數(shù)，則我們稱X=Gb為極小范數(shù)，簡(jiǎn)記為L(zhǎng)N解?，F(xiàn)在要問：相容方程組AX=b的極小范數(shù)解可以用什么樣的廣義逆表示？極小范數(shù)解是否唯?定理2-2在相容線性方程組AX=b的一切解中具有極小范數(shù)解的充要條件是X=.rb(213)m其中是A的最小范數(shù)廣義逆。證先證必要性。設(shè)G是A的減號(hào)逆，那AX=b的一般解是Gb+(ZGM)Z,Z是任意向鼠，如果Gb具有最小范數(shù)，則對(duì)任意向最Z及一切與A和容的向鼠b,有IIGb

22、GbI-GZ或等價(jià)地，對(duì)任意向宣Z及任意解向鼠壬，有|GAX|GAX+(I-GA)Z|(2-14)其中b=.4X,不等式(214)意味著如卜關(guān)系是成立的:gaX,GAX-(GAX+(Z-GQ乙GAX+(ZGQZ產(chǎn)即(GAX,GAX)+(GAX+(ZGQ乙GAX+(ZGA)Z)或(GAX,GAX(GAX,GAX)+2(GAX.(Z-GA)Z+(Z-GQZ,(Z-GA)Z)也即0(Z-GA)Z,(/-GA)Z)+2(直(GA)r(I-GA)Z)上式右邊第一項(xiàng)是向龜(Z-G/)Z的范數(shù)的平方，恒大J：等丁零；第二項(xiàng)是任意解向量左與向量(ga)t(i-ga)z的內(nèi)積，由J-X,Z的任意性，顯然上述不等

23、式成立的充要條件是：(G.4)r(Z-GA)Z=0,由此推出(GA)T=(GA)1GA兩邊轉(zhuǎn)置得GA=(G-4GA可見有(GA)T=GA(即滿足定義1-7第二個(gè)條件)從而G=A；,說明極小范數(shù)解的形式是X=A；b,定理的必耍性得證。關(guān)于定理的充分性，只要將上面的過程倒推回去便可以完成。證畢定理23相容的線性方程組X=Ab,具有唯一的極小范數(shù)解。證設(shè)G和G?是A的兩個(gè)不同的最小范數(shù)廣義逆，由等價(jià)的公式(1-19)應(yīng)有G-L4t=At,G2.4At=At所以G-L4T=G2A.4TGi-G?=0上式兩邊同時(shí)右乘以(Gf-Gf)得q-G?(Gf_Gf)=010201020f=AT(AATy(124)

24、(G.-GAG.-GaY=0上式成立僅當(dāng)（g1-g2m=o才有可能，因此有（G-G2）AX=0（去為任意解向量）又由y-.4X=b,所以有Gfi=G2b.這說明，不同的最小范數(shù)廣逆G和G?,按X=Gb求得的極小范數(shù)解卻是唯一的。證畢例23求方程組AX=b的最小范數(shù)解，其中12-11A=,b=0-122解由例1一4知，此矩陣A是行最人秩矩陣，因此丄廠是滿秩方陣/中的廣義逆（AA11所以由式（1-18）作出一個(gè)最小范數(shù)廣義逆：Am=AT（AAT）=AT（AAT）1而這正是行最小秩矩陣的右逆，在例1-4中我們已經(jīng)求得這個(gè)A的右逆為5丄6143根據(jù)公式（2-13）,我們可求得方程組的極小范數(shù)解13(2

25、15)1019又在例2-1中求得這個(gè)方程組的一般解為13+Z6z?3ZjX=10+6Z+4z*)+2Z314-19-13Z+2z2+Z3如果令Z=Z2=O,Z3=1，代入上式可得一特解/=丄1412(216)10201020f=AT(AATy(124)10201020f=AT(AATy(124)分別對(duì)（215）.（2-16）式的X,求其范數(shù):f=AT(AATy(124)II|,=4xJX=7132+102+192=a/630IIIL=TFT=7102+122+202=7644111121414顯然（215）fX的范數(shù)比式（2-16）中乂的范數(shù)要小。4不相容方程組的最小二乘解與線性方程組理論告訴

26、我們：不相容的線性方程組是沒有解的。但是，有了廣義逆矩陣這個(gè)工具,我們可以研究這類方程組的最優(yōu)近似解的問題。定義22對(duì)不相容的線性方程組AX=b,如果有(217)則稱無是方程組AX=b的最小二乘解，這是因?yàn)楹腿魏纹渌平釾相比較，左所導(dǎo)致的誤差平方和|益一5是最小的。定理24不相容方程組AX=b有最小二乘解的允要條件是X=Ab其中A；是A的最小二乘廣義逆。證先證必要性，設(shè)G是一矩陣（不必是矩陣A的減號(hào)逆）。如果Gb是不相容方程組AX=b的最小二乘解，是有上式右邊可以改寫成|AY-Zj|2=|AGb-b+AX-AGb=|(AG-I)b+A(X-Gb)|、=|(AG-I)b+AX其中X=X-Gb

27、,因此上述不等式可改寫為f=AT(AATy(124)AGb-b2AG-I)b2引(/G_Z)b+-鞏仿照定理22的證明過程可知I,上述不等式成立的充要條件是(AG-Z)Z?,.4X)=(AG-I)T-我)=0而上式等于零的允要條件又是(AG-IA=0,也即AtAG=At(218)式(218)兩邊同時(shí)右乘以A,ATAGA=ATA,所以有AGA=A：另外，在式(218)兩邊同時(shí)左乘以gX得GTATAG=GTAT或(AG)1AG=(AG)1兩邊取轉(zhuǎn)置，并比較等式兩邊可得(AG)1=AG由最小二乘廣義逆的定義知：G=&,這說明不相容方程組.4X=b的最小二乘解的形式是-r=A；b,定理必要性得證。關(guān)于

28、定理的充分性，同學(xué)們可以自己完成。證畢必須注意，矛盾方程組(不相容方程組)的最小二乘解左導(dǎo)致的誤差平方和(即在最小二乘意義卜)-曲是唯一的，但是，最小二乘解可以不唯一。設(shè)X=Gb是一個(gè)最小二乘解，則矛盾方程組的最小乘解的一般表達(dá)式為X=Gb+(I-GA)Z(219)其中Z是任意向量。卜面證明式(2-19)是最小二乘解。事實(shí)上，因?yàn)镚b是最小二乘解，所以|/6方-州最小，但卜(G方+(Z-GM)Z)-地0一地所以式(219)也是最小二乘解。此外，利用定理1一6以及式(2-18),可以驗(yàn)證G=(AtA)A(220)G=(AtA)A(220)f=AT(AATy(124)(221)G2=(AtA)At

29、+(Z(AtA)AtA)U也都是最小二乘廣義逆，其中U是任意陣。卜面說明（2-21）是最小二乘廣義逆的一般表達(dá)式，即說明任一最小二乘廣義逆均可表示成（221）的形式。事實(shí)上，設(shè)G是一個(gè)最小二乘廣義逆，即滿足式（2-18）,那么只要在（2-21）的右邊中令U=G+（AtA）4tAV于是有(ATA)AT+(I-(ATA)-(ATA)(G+(A1A)ATA7)=(AtA)At+G-(AtA)A1AG+(Z-(A1A)ATA)(ATA)ATAV=G+(ATA)(AT-ATAG)+(ATA)ATA-(ATA)ATA(ATA)ATA)V=G這說明G己經(jīng)寫成（2-21）右邊的形式了（這里利用了中=f和（中上）是（中廈）的減例2T求矛盾方程組Xi+2x2