高中數(shù)學選修1-1配人教A版-課后習題2.2.2　雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

1、2.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.雙曲線x29y216=1的左焦點與右頂點之間的距離等于() A.6B.8C.9D.10解析由已知得左焦點(-5,0),右頂點(3,0),所以左焦點與右頂點之間的距離等于8.答案B2.中心在原點,焦點在x軸上的雙曲線的實軸與虛軸相等,一個焦點到一條漸近線的距離為2,則雙曲線方程為()A.x2-y2=1B.x2-y2=2C.x2-y2=2D.x2-y2=12解析由題意,設(shè)雙曲線方程為x2a2y2a2=1(a0),則c=2a,一條漸近線為y=x,|2a|2=2,a2=2.雙曲線方程為x2-y2=2.答案B3.已知雙曲線C:x2-y2b2=1的一

2、個焦點為(-2,0),則雙曲線C的一條漸近線方程為()A.x+3y=0B.3x+y=0C.x+3y-3=0D.3x+y-3=0解析由題意知,a=1,c=2, 又c2=a2+b2,解得b=3.所以雙曲線C的一條漸近線方程為y=-bax=-3x,即3x+y=0.故選B.答案B4.下列雙曲線中,不是以2x3y=0為漸近線的是()A.x29y24=1B.y24x29=1C.x24y29=1D.y212x227=1解析C項中的雙曲線x24y29=1,焦點在x軸上,漸近線方程為y=32x,不是2x3y=0.答案C5.兩正數(shù)a,b的等差中項為52,等比中項為6,且ab,則雙曲線x2a2y2b2=1的離心率e

3、為()A.13B.53C.53D.133解析因為兩正數(shù)a,b的等差中項為52,等比中項為6,所以a+b=5,ab=6,解得a=3,b=2或a=2,b=3,因為ab,所以a=3,b=2,所以e=ca=a2+b2a2=133.故選D.答案D6.在平面直角坐標系xOy中,若雙曲線x2-y2b2=1(b0)經(jīng)過點(3,4),則該雙曲線的漸近線方程是.解析雙曲線x2-y2b2=1(b0)過點(3,4),32-42b2=1,解得b2=2,即b=2或b=-2(舍去).a=1,且雙曲線的焦點在x軸上,雙曲線的漸近線方程為y=2x.答案y=2x7.已知雙曲線x2a2y2b2=1(a0,b0)的一條漸近線平行于直

4、線l:y=2x+10,雙曲線的一個焦點在直線l上,則雙曲線的標準方程為.解析由題意可得ba=2,c=5,所以c2=a2+b2=5a2=25,解得a2=5,b2=20,所以所求雙曲線的方程為x25y220=1.答案x25y220=18.若一條雙曲線與x28-y2=1有共同漸近線,且與橢圓x220+y22=1有相同的焦點,則此雙曲線的方程為.解析由橢圓x220+y22=1得a2=20,b2=2,所以c2=20-2=18,得c=32.設(shè)與雙曲線x28-y2=1有相同漸近線的雙曲線方程為x28-y2=(0),因為所求雙曲線的焦點在x軸上,則0,雙曲線方程化為x28y2=1,根據(jù)橢圓和雙曲線共焦點,所以

5、有8+=18,解得=2,所以所求雙曲線的方程為x216y22=1.答案x216y22=19.求適合下列條件的雙曲線的標準方程:(1)焦點在x軸上,虛軸長為8,離心率為53;(2)與雙曲線x29y216=1有共同的漸近線,且過點(-3,23).解(1)設(shè)所求雙曲線的標準方程為x2a2y2b2=1(a0,b0),則由題可得2b=8,e=ca=53,從而b=4,c=53a,代入c2=a2+b2,得a2=9,故雙曲線的標準方程為x29y216=1.(2)設(shè)所求雙曲線方程為x29y216=(0),將點(-3,23)代入得=14,所以雙曲線方程為x29y216=14,即4x29y24=1.10.已知雙曲線

6、x23y2b2=1的右焦點為(2,0).(1)求雙曲線的方程;(2)求雙曲線的漸近線與直線x=-2圍成的三角形的面積.解(1)雙曲線的右焦點的坐標為(2,0),且雙曲線的方程為x23y2b2=1,c2=a2+b2=3+b2=4,b2=1,雙曲線的方程為x23-y2=1.(2)a=3,b=1,雙曲線的漸近線方程為y=33x.令x=-2,則y=233,設(shè)直線x=-2與雙曲線的漸近線的交點為A,B,則|AB|=433.記雙曲線的漸近線與直線x=-2圍成的三角形的面積為S,則S=124332=433.能力提升1.已知雙曲線C:x2a2y2b2=1(a0,b0)右頂點為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓

7、A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點,若MAN=60,則C的離心率為()A.2B.233C.5D.52解析因為MAN=60,而AM=AN=b,所以AMN是等邊三角形,A到直線MN的距離為32b,又A(a,0),漸近線方程取y=bax,即bx-ay=0,所以|ab|a2+b2=32b,化簡得e=ca=23=233.故選B.答案B2.若在雙曲線x2a2y2b2=1(a0,b0)的右支上,到原點O和右焦點F的距離相等的點有兩個,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A.e2B.1e2D.1e0,b0)的右支上到原點O和右焦點F距離相等的點有兩個,所以直線x=c2與右支有兩個交點,故應(yīng)滿足c2a,即ca2

8、,得e2,故選C.答案C3.已知ab0,若橢圓x2a2+y2b2=1與雙曲線x2a2y2b2=1的離心率之積為32,則雙曲線的漸近線方程為.解析由已知及橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì),得1-ba21+ba2=32,解得ba=12,所以雙曲線的漸近線方程為y=12 x,即x2y=0.答案x2y=04.若中心在原點,焦點在坐標軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(8,-6),則其離心率等于.解析設(shè)一條漸近線方程為y=kx,由-6=8k,得k=-34,所以漸近線方程為y=34x.若焦點在x軸上,則ba=34,于是離心率e=ca=1+ba2=54;若焦點在y軸上,則ab=34,于是離心率e=ca=1+ba2=53.

9、答案54或535.已知雙曲線C與橢圓x225+y29=1有相同的焦點,且它們的離心率之和為145,求雙曲線的標準方程、漸近線方程、實軸長和虛軸長.解由x225+y29=1可知橢圓中a12=25,b12=9,所以c2=a12b12=16,解得c=4,所以橢圓的焦點坐標為(-4,0)和(4,0),離心率為e1=45,不妨設(shè)雙曲線方程為x2a2y2b2=1(a0,b0),則其離心率e=ca=14545=2,由c=4,可知a=2,所以b2=c2-a2=42-22=12,b=23,故所求雙曲線的標準方程為x24y212=1,漸近線方程為y=bax,y=3x,實軸長為2a=4,虛軸長為2b=43.6.已知橢圓C1的中心在原點,離心率為45,焦點在x軸上且長軸長為10.過雙曲線C2:x2a2y2b2=1(a0,b0)的右焦點F2作垂直于x軸的直線交雙曲線C2于M,N兩點.(1)求橢圓C1的標準方程;(2)若雙曲線C2與橢圓C1有公共的焦點,且以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的左頂點A,求雙曲線C2的標準方程.解(1)設(shè)橢圓C1的標準方程為x2a12+y2b12=1(a1b10),根據(jù)題意得2a1=10,則a1=5.又e1=c1a1=45,c1=4,b1=3,橢圓C1的標準方程為x225+y29=1.(2)設(shè)雙曲線的右焦點F2(c,0),將x=c代入雙曲線方程,得y=