分塊矩陣在行列式計(jì)算中的應(yīng)用

1、分塊矩陣在行列式計(jì)算中的應(yīng)用分塊矩陣在行列式計(jì)算中的應(yīng)用矩陣與行列式的關(guān)系矩陣是一個(gè)有力的數(shù)學(xué)工具，有著廣泛的應(yīng)用，同時(shí)矩陣也是代數(shù)特別是線 性代數(shù)的一個(gè)主要研究對(duì)象.矩陣的概念和性質(zhì)都較易掌握，但是對(duì)于階數(shù)較大 的矩陣的運(yùn)算則會(huì)是一個(gè)很繁瑣的過(guò)程，甚至僅僅依靠矩陣的基本性質(zhì)很難計(jì) 算，為了更好的處理這個(gè)問題矩陣分塊的思想應(yīng)運(yùn)而生行列式在代數(shù)學(xué)中是一個(gè)非常重要、又應(yīng)用廣泛的概念,對(duì)行列式的研究重 在計(jì)算，但由于行列式的計(jì)算靈活、技巧性強(qiáng)，尤其是計(jì)算高階行列式往往較為 困難.行列式的計(jì)算通常要根據(jù)行列式的具體特點(diǎn)采用相應(yīng)的計(jì)算方法，有時(shí)甚 至需要將幾種方法交叉運(yùn)用，而且一題多種解法的情況很多，好

2、的方法能極大降 低計(jì)算量，因此行列式計(jì)算方法往往靈活多變.在解決行列式的某些問題時(shí)，對(duì) 于級(jí)數(shù)較高的行列式，常采用分塊的方法，將行列式分成若干子塊，往往可以使 行列式的結(jié)構(gòu)清晰，計(jì)算簡(jiǎn)化.本文在廣泛閱讀文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，從溫習(xí)分塊矩陣 的定義和性質(zhì)出發(fā)，給出了分塊矩陣的一些重要結(jié)論并予以證明，在此基礎(chǔ)上討 論利用分塊矩陣計(jì)算行列式的方法，并與其他方法相互比較，以此說(shuō)明分塊矩陣 在行列式計(jì)算中的優(yōu)勢(shì).矩陣的定義有時(shí)候，我們將一個(gè)大矩陣看成是由一些小矩陣組成的，就如矩陣是由數(shù)組 成的一樣叱 特別在運(yùn)算中，把這些小矩陣當(dāng)做數(shù)一樣來(lái)處理.這就是所謂的矩 陣的分塊.把原矩陣分別按照橫豎需要分割成若干小塊，每

3、一小塊稱為矩陣的一 個(gè)子塊或子矩陣，則原矩陣是以這些子塊為元素的分塊矩陣.這是處理級(jí)數(shù)較高 的矩陣時(shí)常用的方法.定義1國(guó)設(shè)A是加X 矩陣，將A的行分割為r段,每段分別包含陶行, 將A的列分割為s段，每段包含叫“a也列，則Al4：4i A” 就稱為分塊矩陣，其中&是叫X嗎矩陣（/ = 1,2,j = 1,2,S ）.注：分塊矩陣的每一行（列）的小矩陣有相同的行（列）數(shù).例如，對(duì)矩陣4分塊，-110201301021010、232)A”A?1A/At) /其中A.0、2;飛2 O0 1 2,10T 0 3、0 1 2)矩陣的運(yùn)算可將子矩陣當(dāng)做通常矩陣的元進(jìn)行分塊矩陣的加、減、乘法與轉(zhuǎn)置運(yùn)算時(shí), 素

4、看待.加法運(yùn)算設(shè)A = (%)”和8 = (4)小“為同型矩陣(行數(shù)和列數(shù)分別相等)，若 用相同的分塊方法，即=(&)皿，B =(緋).，其中&、約是矩陣，i = l,2,s,j = l,2,且叫=i, j = n ,則A與8可直接相加，即. + 8= (4+%)_數(shù)乘運(yùn)算設(shè)分塊矩陣4網(wǎng)=(4)岡，k為任意數(shù),則分塊矩陣與k的數(shù)乘為 kA=(kAi)sxt.乘法運(yùn)算一般地說(shuō)，設(shè)A = ()”，8 = (%),“，將矩陣A、8分塊，%紇 % J心 %網(wǎng)當(dāng) r匚. 1=、4 &As 一 2 2 2 4 ，一 5 A A A 1 n n A A ALI其中每個(gè)&是5. Xj小矩陣，每個(gè)Bjj是% X

5、勺小矩陣,于是有G c12 G,、C” 。22 C)rC = AB=r2,Ci % C”,其中Cjj是m, x和矩陣，Cjj =丹ABij .r-1應(yīng)該注意，在進(jìn)行乘法運(yùn)算求乘積AB時(shí)，對(duì)矩陣A、8分塊要求，矩陣A的列的分法必須與矩陣B的行的分法一致.矩陣的乘法不適合交換律，即一般來(lái)說(shuō)，沒有A3 = 8A.分塊矩陣是一類特 殊的矩陣，它的乘法同樣不適合交換律.根據(jù)上文所述分塊矩陣也是一個(gè)矩陣，因此有與一般矩陣的加法、數(shù)乘、乘 法的運(yùn)算性質(zhì)相同.不過(guò)，分塊矩陣運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意以下兒點(diǎn)：(1)進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，對(duì)應(yīng)子塊的結(jié)構(gòu)需相同；(2)進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算時(shí)，必須對(duì)每一子塊都乘以相同的數(shù)；(3)進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)

6、，不能隨意交換兩個(gè)相乘子塊的順序.在具體運(yùn)算過(guò)程中，我們要靈活地分塊，目的是使運(yùn)算更簡(jiǎn)便.而對(duì)于乘法, 在矩陣A與矩陣8相乘時(shí)，對(duì)8的一個(gè)分塊方式，A可以有兒種分塊方式都可與B 相乘，同樣對(duì)A的一個(gè)分塊方式，8也是如此.但不論怎樣分塊，始終堅(jiān)持相乘 的兩個(gè)矩陣前一個(gè)矩陣列的分法與后一個(gè)矩陣行的分法一致，因?yàn)橹挥羞@樣乘積 才有意義.例如，己知0 1 0、1 0 11 1 0；T 0A= 0 10我們把8分塊為E,其中邑為二階單位陣，這時(shí)若只考慮乘法的相容性，A可以分塊為X 7 0 0 2 O 1 O loo或A 7 0 6 2 n 4 n I I o - 1 o Loo zr l、o 9 2 n

7、 n I o 16 1 0-0 r I我們可以看到第一種分法中有單位塊，而(E. O A 工”o A,Jx Z對(duì)于乘法運(yùn)算顯然更加簡(jiǎn)便，即YA0:0I =A/、門 0 1 0 TOC o 1-5 h z (E.E.=-=0101.(A?% 2222 7 n ? ? nU 乙 乙1設(shè)A A2 A”、A _ &i 42&，是一個(gè)分塊矩陣，那么它的轉(zhuǎn)置為K孤A，A；2&2 A,s221 一 Alt A21A，分塊矩陣的轉(zhuǎn)置應(yīng)遵守如下規(guī)則：A的每一塊都看成元素，對(duì)A轉(zhuǎn)置；(2)對(duì)A的每一塊都轉(zhuǎn)置.特殊的分塊矩陣形式如么0、4一的矩陣，其中A,是矩陣(i = l,2,通常稱為準(zhǔn)對(duì)角矩陣.準(zhǔn)對(duì)角矩陣具有如

8、下性質(zhì)：(1)設(shè)(AO則有網(wǎng)=同聞;A可逆可逆。=1,2,且4TA；（3）對(duì)于兩個(gè)有相同分塊的準(zhǔn)對(duì)角矩陣(Ao1如果它們相應(yīng)的分塊是同級(jí)的,那么顯然有AB =7畫A,B,它們還是準(zhǔn)對(duì)角矩陣.與普通矩陣的初等變換類似，分塊矩陣的初等變換有三種：（1）互換分塊矩陣二個(gè)塊行（列）的位置；（2）用一個(gè)可逆矩陣左乘（右乘）分塊矩陣的某一塊行（列）；（3）將分塊矩陣某一塊行（列）的攵（矩陣）倍加到另一塊行（列）. 定義20由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣. 現(xiàn)將某個(gè)單位矩陣如下進(jìn)行分塊，對(duì)它進(jìn)行兩行（列）對(duì)換；矩陣的某行、（列）乘以行列可逆陣P;某一行（列）乘以矩陣0加到另一行（歹IJ）

9、（1）分塊初等對(duì)換陣上,就可得到如下三種分塊初等矩陣:E”O(jiān)分塊初等倍乘陣O、分塊初等倍加陣。、eJ隔eJ與初等矩陣和初等變換的關(guān)系一樣，用上面這些矩陣左乘任一個(gè)分塊矩陣（A B D）只要分塊乘法能夠進(jìn)行，其結(jié)果就等于對(duì)它進(jìn)行相應(yīng)的初等變換:E,n V A 3jc DOCB,o Ya b _(pa pb e/c Drc D母熊算二/J同樣，用它們右乘任一矩陣，也有相應(yīng)的結(jié)果.我們通過(guò)驗(yàn)證，當(dāng)用分塊初 等矩陣左乘（右乘）一個(gè)分塊矩陣，就相當(dāng)于對(duì)該分塊矩陣作了一次相應(yīng)的分塊 矩陣的初等行（列）變換.分塊矩陣的初等行（列）變換具有直觀的優(yōu)點(diǎn)，用分塊初等矩陣左乘（右乘） 一個(gè)分塊矩陣能得到矩陣間的等式

10、，從而有利于計(jì)算矩陣行列式的值.定義3,21在一個(gè)級(jí)行列式。中任意選定k行左列（k ） .位于這些行和列的 交點(diǎn)上的公個(gè)元素按照原來(lái)的次序組成一個(gè)k級(jí)行列式M ,稱為行列式O的一個(gè) 攵級(jí)子式.當(dāng)女 時(shí)，在。中劃去這攵行攵列后余下的元素按照原來(lái)的次序組成 的-女級(jí)行列式AT稱為攵級(jí)子式M的余子式.引理（拉普拉斯定理）設(shè)在行列式O中任意取定了1）個(gè)行.由這k行元素所組成的一切k級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式。.定理1設(shè)A是機(jī)階方陣，8是“階矩陣，。是階矩陣，則證明利用拉普拉斯定理，只要將行列式A BO C按后行展開，在其所有的階子式中，除|q外至少包含一列零向量，因此它們 的值為零.

11、而的余子式為同，且位于整個(gè)矩陣的第m+ 1,? + 2,+行， 第m + jn + 2,，/n + n列，即可得o c訓(xùn)5類似地行列式的形式為A OB C 時(shí)，由行列式的轉(zhuǎn)置值不變，因此仍有 4* nD C通過(guò)上面的定理，我們自然想到，若是將行列式A BO C 換成A BC O又會(huì)有怎樣的結(jié)論，它的值等于回嗎定理2設(shè)A、8、。均為階方陣，貝IJ=(一”同證明將拉普拉斯定理應(yīng)用于上式的后行，在其所有階子式中，除。外 至少包含一列零向量，因此它們的值為零.而。的余子式為網(wǎng)，且C位于整個(gè)矩 陣的第九 + 1/ + 2,行，第1,2,列，因此A B .其中 s = ( + 1X + 2) + , +

12、( + ) + (1 + 2 + + ) = 2 + 偶數(shù),即A RC 0=(-1)” A M定理3 P=：是分塊階矩陣，其中A為/階方陣，B為rs階陣，。為L(zhǎng) X-/ sxr階陣，。為s階方陣.(1)若A可逆,則|尸| =網(wǎng)。-CT倒；(2)若?？赡妫瑒t|p| = P|a cdTb .證明當(dāng)網(wǎng)W0時(shí)，有(I O1-CAT /人c d)/A B、o oorB兩邊取行列式可得P = |A| |D-C4hB .(2)當(dāng)回,0時(shí),有 BD-iI。兩邊取行列式可得P = D |a-cd-b .將定理3中條件特殊化，可得到如下推論.推論1設(shè)A、B、C、。分別是r,rxs, sxr 9 s矩陣,則有= A

13、-BC.證明(1)只需在定理3中令4 =邑，即有E,BC DEy BO D CB= D-CB.(2)只需在定理3中令B =邑，即有A BC E、A-BC OC E,= A-BC.推論2設(shè)3、C分別是rxs, sxr,則有E, BC E，= Es-CB = Er-BC.證明只需在定理3中令A(yù) =邑，8 =二，則有E, BC E,= EsCB = Er-BC.定理4M設(shè)4、8、C、。都是階方陣，則(1)當(dāng)同工0且AC = C4時(shí),= |AB-CD|；A R(2)當(dāng)同 WO且 A8=8A時(shí)，c o=|QA-C4；A R(3)當(dāng))性0且。C = C。時(shí)，c D = AD-BC；A R(4)當(dāng)|。性0且08 = 80時(shí)，c = DA-BC.證明由A、B、C、。均為階方陣，當(dāng)同W0且AC = C4時(shí)，利用定理3 得：AD-CA-l B=AD- ACA-l B = AD-CAA-i B= AD-CB,即BI)=|40-叫(2)、(3)、(4)類似可得.定理5【切設(shè)a、8都是階方陣