人教版九年級下冊 反比例函數存在性問題解析版(綜合復習)

1、反比例函數存在性問題解析版一相似1eqoac(,Rt)ABC在直角坐標系內的位置如圖所示，反比例函數y（k0）在第一象限內的圖象與BC邊交于點D（4，1），與AB邊交于點E（2，n）（1）求反比例函數的解析式和n值；（2）當時，求直線AB的解析式；（3）設P是線段AB邊上的點，在（2）的條件下，是否存在點P，以B、C、P為頂點的三角形與EDB相似？若存在，請直接寫出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）D（4，1）、E（2，n）在反比例函數y的圖象上，4k，2nk，k4，n2，反比例函數的解析式為y；（2）如圖1，過點E作EHBC，垂足為H第1頁（共49頁）在RtBEH中，ta

2、nBEHtanA，EH2，所以BH1D（4，1），E（2，2），B（4，5）設直線AB的解析式為ykx+b，代入B（4，3）、E（2，2），得，解得：，因此直線AB的函數解析式為：yx+1；（3）存在，如圖2，作EFBC于F，PHBC于H，當BEDBPC時，BF1，BH，第2頁（共49頁）CH，可得x+1，x1，點P的坐標為（1，）；如圖eqoac(,3)，當BEDBCP時，EF2，BF1，由勾股定理，BE，BP，BF1，BH，CH，可得x+1，x，點P的坐標為（，），點P的坐標為（1，）；（，）二直角三角形1如圖，已知直線OA與反比例函數y（m0）的圖象在第一象限交于點A若OA4，直線OA與

3、x軸的夾角為60（1）求點A的坐標；（2）求反比例函數的解析式；第3頁（共49頁）（3）若點P是坐標軸上的一點，當AOP是直角三角形時，直接寫出點P的坐標【解答】解：（1）如圖1，過點A作AEx軸于E，AOE60，AEOE，OAE30，OEOA2，AEOE2，點A（2，2）；（2）反比例函數y的圖象過點A，m224，反比例函數解析式為y（3）如圖，；第4頁（共49頁）當點P1在y軸上時，且AP1O90，又AOP130，AP12，OP1AP12，點P1（0，2）；當點P2在x軸上，且AP2O90，又OAP230，OP22，點P2（2，0）；當點P3在y軸上，且P3AO90，又AOP330，OP3

4、2AP3，AOAP34，OP3，點P3（0，）；當點P4在x軸上，且P4AO90，AOP460，第5頁（共49頁）AP4O30，OP42OA8，點P4（8，0）；綜上所述：點P的坐標為（0，2）或（2，0）或（0，）或（8，0）2如圖，一次函數ykx+b（k0）與反比例函數的圖象在第一象限交于A、B兩點，A點的坐標為（m，4），B點的坐標為（3，2），連接OA、OB，過B作BDy軸，垂足為D，交OA于C若OCCA，（1）求一次函數和反比例函數的表達式；（eqoac(,2)）求AOB的面積；（3）在直線BD上是否存在一點E，使得AOE是以AO為直角邊的直角三角形，直接寫出所有可能的E點坐標【解答

5、】解：（1）點B（3，2）在反比例函數y的圖象上，a326，反比例函數的表達式為y，點A的縱坐標為4，點A在反比例函數y圖象上，第6頁（共49頁）A（，4），一次函數的表達式為yx+6；（2）如圖1，過點A作AFx軸于F交OB于G，B（3，2），直線OB的解析式為yx，G（，1），A（，4），AG413，eqoac(,S)AOBeqoac(,S)AOG+SABG33（3）如圖2中，第7頁（共49頁）當AOE190時，點A（，4），直線AC的解析式為yx，直線OE1的解析式為yx，當y2時，x，E1（，2）；當OAE290時，可得直線AE2的解析式為yx+，當y2時，x，E2（，2）綜上所述，滿

6、足條件的點E坐標為（，2）或（，2）3已知：如圖，一次函數y2x+10的圖象與反比例函數y的圖象相交于A、B兩點（A在B的右側），點A橫坐標為4（1）求反比例函數解析式及點B的坐標；（2）觀察圖象，直接寫出關于x的不等式2x+100的解集；第8頁（共49頁）（3）反比例函數圖象的另一支上是否存在一點eqoac(,P)，使PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）把x4代入y2x+10得y2，A（4，2），把A（4，2）代入y，得k428反比例函數的解析式為y，解方程組，得，或，點B的坐標為（1，8）；（2）觀察圖象得，關于x

7、的不等式2x+100的解集為：1x4或x0；（3）存在，理由：若BAP90，過點A作AHOE于H，設AP與x軸的交點為M，如圖1，第9頁（共49頁）對于y2x+10，當y0時，2x+100，解得x5，點E（5，0），OE5A（4，2），OH4，AH2，HE541AHOE，AHMAHE90又BAP90，AME+AEM90，AME+MAH90，MAHAEM，AHMEHA，即，MH4，M（0，0），第10頁（共49頁）可設直線AP的解析式為ymx，則有4m2，解得m，直線AP的解析式為yx，解方程組，得，點P的坐標為（4，2）若ABP90，同理可得：點P的坐標為（16，）綜上所述：符合條件的點P的坐

8、標為（4，2）、（16，）4已知：一次函數y2x+10的圖象與反比例函數y（k0）的圖象相交于A，B兩點（A在B的右側）（1）當A（4，2）時，求反比例函數的解析式及B點的坐標；（2）在（1）的條件下，反比例函數圖象的另一支上是否存在一點eqoac(,P)，使PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由第11頁（共49頁）【解答】解：（1）把A（4，2）代入y，得k428反比例函數的解析式為y解方程組，得，點B的坐標為（1，8）；（2）存在，理由：若BAP90，過點A作AHOE于H，設AP與x軸的交點為M，如圖1，對于y2x+10，當y0時，2

9、x+100，解得x5，點E（5，0），OE5A（4，2），OH4，AH2，HE541第12頁（共49頁）AHOE，AHMAHE90又BAP90，AME+AEM90，AME+MAH90，MAHAEM，AHMEHA，即，MH4，M（0，0），可設直線AP的解析式為ymx，則有4m2，解得m，直線AP的解析式為yx，解方程組，得，點P的坐標為（4，2）若ABP90，同理可得：點P的坐標為（16，）綜上所述：符合條件的點P的坐標為（4，2）、（16，）第13頁（共49頁）三平行四邊形AB1如圖，一次函數y1kx+b的圖象與反比例函數y2的圖象交于（2，m），（n，1）兩點，連接OA，OB（1）求這個一

10、次函數的表達式；（eqoac(,2)）求OAB的面積；（3）問：在直角坐標系中，是否存在一點P，使以O，A，B，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）點A（2，m），B（n，1）在反比例函數y2上，2m6，n6，m3，A（2，3），B（6，1），點A（2，3），B（6，1）在一次函數y1kx+b上，一次函數的表達式為y1x+4；第14頁（共49頁）（2）如圖1，記一次函數y1x+4的圖象與x，y軸的交點為點D，C，針對于y1x+4，令x0，則y14，C（0，4），OC6，令y10，則x+40，x8，D（8，0），OD8，過點A作AEy軸

11、于E，過點B作BFx軸于F，A（2，3），B（6，1），AE2，BF1，eqoac(,S)AOBeqoac(,S)CODeqoac(,S)AOCeqoac(,S)BODOCODOCAEODBF4842818；（3）存在，如圖2，BO當AB和OB為鄰邊時，點（6，1）先向左平移6個單位再向下平移1個單位到點（0，第15頁（共49頁）0），則點A也先向左平移6個單位再向下平移1個單位到點P（26，31），即P（4，2）；OA當OA和OB為鄰邊時，點（0，0）先向右平移2個單位再向上平移3個單位到點（2，3），則點B也先向右平移2個單位再向上平移3個單位到點P（6+2，1+3），即P（8，4）；AB

12、當AB和OA為鄰邊時，點（2，3）先向右平移4個單位再向下平移2個單位到點（6，1），則點O也先向右平移4個單位再向下平移2個單位到點P（0+4，02），即P（4，2）；點P的坐標為（4，2）或（4，2）或（8，4）2如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數yx+b的圖象經過點A（2，0），與反比例函數y的圖象交于點B（a，4）和點C（1）求一次函數和反比例函數的表達式；第16頁（共49頁）（2）若點P在y軸上，且PBC的面積等于6，求點P的坐標；（3）設M是直線AB上一點，過點M作MNx軸，交反比例函數y的圖象于點N，若A，O，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形，求點M的坐標【解答】解：（1）

13、一次函數yx+b的圖象經過點A（2，0），b2，直線解析式為yx+2，點B（a，4）在直線yx+2上，4a+2，a2，點B（2，4），反比例函數y的圖象過點B（2，4），k248，反比例函數解析式為y；（2）如圖1，設直線AB與y軸交于點D，點P坐標為（0，p），第17頁（共49頁）直線AB與y軸交于點D，點D（0，2），聯立方程得：，解得：，或，C（4，2），eqoac(,S)PBCSBPD+SPDC，p0或4，P（0，0）或（0，4）；（3）如圖2，設M（m2，m），則N（），第18頁（共49頁）以A，O，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形，MNOA，OA2，MNOA2，或，點M坐標為（22

14、，）或（2，2）或（2，）或（2，）3如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數yx+b的圖象經過點C（0，2），與反比例函數y（x0）的圖象交于點A（1，a）（1）求一次函數和反比例函數的表達式；（2）設M是反比例函數y（x0）圖象上一點，N是直線AB上一點，若以點O、M、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標第19頁（共49頁）【解答】解：（1）點C（0，2）在直線yx+b上，b2，一次函數的表達式為yx+2；點A（1，a）在直線yx+2上，a3，點A（1，3），點A（1，3）在反比例函數y（x0）的圖象上，k133，反比例函數的表達式為y；（2）由（1）知，直線AB的表達式為yx+

15、2，反比例函數的表達式為y，設點M（m，），N（n，n+2），若以點O、M、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形，則以OC和MN為對角線時，第20頁（共49頁）0，mN（，n，或m+2），（此時，點M不在第一象限，舍去），n，以CN和OM為對角線時，mn2+N（2+，或mn2），（此時，點M不在第一象限，舍去），以CM和ON為對角線時，mn或mn（此時，點M不在第一象限，舍去），N（，2+），即滿足條件的點N的坐標為（，+2）或（2+，）或（，2+）4閱讀理解：已知：對于實數a0，b0，滿足a+b2，當且僅當ab時，等號成立，此時取得代數式a+b的最小值根據以上結論，解決以下問題：（1）拓展：若a

16、0，當且僅當a1時，a+有最小值，最小值為2；（2）應用：如圖1，已知點P為雙曲線y（x0）上的任意一點，過點P作PAx軸，PBy第21頁（共49頁）軸，四邊形OAPB的周長取得最小值時，求出點P的坐標以及周長最小值；如圖2，已知點Q是雙曲線y（x0）上一點，且PQx軸，連接OP、OQ，當線段OP取得最小值時，在平面內取一點C，使得以O、P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求出點C的坐標【解答】解：（1）由題意得：a+22，故a+有最小值為2；此時a，解得a1（舍去負值），故答案為1，2；（2）設點P（x，），則四邊形OAPB的周長2PB+2AP2（x+）2（2）8，此時x，解得x2（舍去負

17、值），則點P（2，2），故答案為：P（2，2），周長最小8；（3）設點P（x，），第22頁（共49頁）則由題意得：OP2x2+（）22x8，當OP最小時，x，解得x2（舍去負值），故點P（2，2），當y2時，y2，解得x4，即點Q（4，2），則PQ422，當PQ是邊時，PQx軸，四邊形OPQC為平行四邊形時，點C在x軸上，即OCPQ2，則點C（2，0）或（2，0）；當PQ是對角線時，設點C的坐標為（x，y），由中點的性質得：（2+4）（x+0）且（2+2）（0+y），解得，故點C（6，4）故答案為：（2，0）、（2，0）或（6，4）四菱形1如圖，在同一平面直角坐標系中，直線yx+2和雙曲線y相

18、交于A、B兩點第23頁（共49頁）（1）連結AO、BO，求出AOB的面積（2）已知點E在雙曲線y上且橫坐標為1，作EF垂直于x軸垂足為F，點H是x軸上一點，連結EH交雙曲線于點I，連結IF并延長交y軸于點G，若點G坐標為（0，），請求出H點的坐標（3）已知點M在x軸上，點N是平面內一點，以點O、E、M、N為頂點的四邊形是菱形，請你直接寫出N點的坐標【解答】解：（1）如圖1中，設AB交y軸于C由，解得或，A（2，4），B（4，2），第24頁（共49頁）直線AB交y軸于C（0，2），eqoac(,S)AOBeqoac(,S)AOC+SOCB22+246（2）如圖2中，由題意E（1，8），F（1，0

19、），G（0，），直線FG的解析式為yx，由，解得或，I（，），直線EH的解析式為yx+令y0，解得x，H（，0）第25頁（共49頁）（3）如圖3中，E（1，8），OE，當OM1是菱形的對角線時，E，N1關于x軸對稱，可得N1（1，8）當OM為菱形的邊時，可得N2（1+，8），N4（1，8）當OE為菱形的對角線時，連接M3N3交OE于T，EN3交y軸于PM3N3OE，OTM390，POETM3O，sinPOEsinOM3T，OM3，第26頁（共49頁）M3（，0），TN3TM3，T（，4），可得N3（，8），綜上所述，滿足條件的點N的坐標為（1，8）或（1+，8）或（1，8）或（，8）2如圖，已

20、知直線ykx+b與反比例函數y（x0）的圖象分別交于點A（m，3）和點B（6，n），與坐標軸分別交于點C和點D（1）求直線AB的解析式；（2）若點P是反比例函數第一象限內，直線CD上方一動點，當ABP面積為5時，求點P的坐標（3）若M是平面直角坐標系內一動點，在y軸上是否存在一動點Q，使以A、C、Q、M為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出Q點的坐標；否則，說明理由【解答】解：（1）把點A（m，3）、B（6，n）分別代入y得3m6，6n6，解得m2，n1，A（2，3），B（6，1），把A（2，3），B（6，1）代入ykx+b得，第27頁（共49頁）解得，直線AB的解析式為yx+4；（2）將直

21、線AB向右平移P，h個單位得到直線l，直線l與反比例函數的交點即為所求點過點D作DHl交于點H，設直線l交x軸于點M，由直線AB的表達式知，tanHMD，則sinHMD，則HDDMsinHMDhh，由點A、B的坐標知，AB2，則ABP面積ABh2h5，解得h，則DMh5，即直線AB向右平移5個單位得到直線l，則直線l的表達式為y（x5）+4，聯立并解得：，故點P的坐標為（1，6）或（12，）；第28頁（共49頁）（3）存在，理由：設點P（a，b），點Q（0，t），由A、C的坐標知，AC25，當AC是邊時，點C向右平移2個單位向下平移1個單位得到點A，同樣點P（Q）向右平移2個單位向下平移1個單

22、位得到點點Q（P），則a+20且b1t且ACPC或a20且b+1t且ACQC，即a+20且b1t且a2+（b4）25或a20且b+1t且（t4）25，解得t4（舍去）或2或4，當AC是對角線時，由中點公式得：（2+0）（3+4）（b+t）且CPCQ，即a2+（b4）2（t4）2，解得t1.5；故點Q的坐標為（0，2）或（0，4+）或（0，4）或（0，1.5）3如圖1，在平面直角坐標系中，直線yx+12與雙曲線y交于A、B兩點（點A在點B左邊），過A、O兩點作直線，與雙曲線的另一交點為D，過B作直線AO的平行線交雙曲線于點C（1）則點A坐標為（6，4），點B坐標為（3，8），并求直線BC的解析式

23、；（2）如圖2，點P在y軸負半軸上，連接PB，交直線AO于點E，連接CE、PA，且eqoac(,S)PABeqoac(,S)BCE，將線段PO在y軸上移動，得到線段PO（如圖3），請求出|PBOD|的最大值；（3）如圖4，點M在x軸上，在平面內是否存在一點N，使以點C、D、M、N為頂點第29頁（共49頁）的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的N點坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）聯立方程組，解得，A（6，4），B（3，8），設直線OA的解析式為ykx（k0），則46k，解得，k，第30頁（共49頁）直線OA的解析式為：yx，BCOA，設直線BC的解析式為yx+b，則8+b，解得

24、b6，直線BC的解析式為yx+6，故答案為：（6，4），（3，8）（2）A、D關于原點對稱，A（6，4），D（6，4），設P（0，a），eqoac(,S)BCESBCA28（2）|（3）（6）|45，eqoac(,S)PAB249a，a4，P（0，4），將B向上平移4個單位，得到B1（3，12），設B1，B2關于Y軸對稱，則B2（3，12），連接DB2并延長交y軸于O，|PBOD|的最大值DB2第31頁（共49頁）（3）聯立方程組，解得，C（12，2），若CD為對角線，則M（8，0），N（10，6）若CD為邊，且CDMD，則M（6+2，0），N（12+2，2）或M（62，0）N（122，2）若

25、CD為邊，且CDMC，則M（6，0），N（0，2）綜上所述，滿足條件的點N的坐標為（10，6）或（12+2或（0，2），2）或（122，2）4如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD的頂點A、B在函數y（x0）的圖象上，頂點C、D在函數y（x0）的圖象上，其中0mn，對角線BDy軸，且BD第32頁（共49頁）AC于點P已知點B的橫坐標為4（1）當m4，n20時，點B的坐標為（4，1），點D的坐標為（4，5），BD的長為5若點P的縱坐標為2，求四邊形ABCD的面積若點P是BD的中點，請說明四邊形ABCD是菱形（2）當四邊形ABCD為正方形時，直接寫出m、n之間的數量關系【解答】解：（1）當x4時

26、，y1，點B的坐標為（4，1）；當y2時，2，解得：x2，點A的坐標為（2，2）；當n20時，y，當x4時，y5，故點D（4，5），BD514，故答案為（4，1）；（4，5）；4；BDy軸，BDAC，點P的縱坐標為2，第33頁（共49頁）A（2，2），C（10，2）AC8，四邊形ABCD的面積ACBD8416；四邊形ABCD為菱形，理由如下：由得：點B的坐標為（4，1），點D的坐標為（4，5），點P為線段BD的中點，點P的坐標為（4，3）當y3時，3，解得：x，點A的坐標為（，3）；當y3時，3，解得：x，點C的坐標為（，3）PA4，PC4，PAPCPBPD，四邊形ABCD為平行四邊形又BDA

27、C，四邊形ABCD為菱形；（2）四邊形ABCD能成為正方形第34頁（共49頁）當四邊形ABCD為正方形時，設PAPBPCPDt（t0）當x4時，y，點B的坐標為（4，），點A的坐標為（4t，+t）點A在反比例函數y的圖象上，（4t）（+t）m，化簡得：t4，點D的縱坐標為+2t+2（4）8，點D的坐標為（4，8），4（8）n，整理，得：m+n32即四邊形ABCD能成為正方形，此時m+n325已知：如圖，正比例函數y1kx（k0）的圖象與反比例函數y2的圖象相交于點A和點C，設點C的坐標為（2，n）（1）求k與n的值；（2）點B是x軸上的一個動點，連結AB、BC，作點A關于直線BC的對稱點Q，在

28、點B的移動過程中，是否存在點B，使得四邊形ABQC為菱形？若存在，求出點B的坐標；若不存在請說明理由第35頁（共49頁）【解答】解：（1）把點C的坐標（2，n）代入y2，解得：n3，點C的坐標為（2，3），把點C（2，3）代入y1kx得：32k，解得：k；（2）存在，理由：如圖1，當點B在x軸的正半軸且ABAC時，四邊形ABQC為菱形第36頁（共49頁）點A與點Q關于直線BC對稱，ACQC，ABQB，ACQCABQB四邊形ABQC為菱形由（1）中點C的坐標（2，3），可求得：OC，點A與點C關于原點對稱，點A的坐標為（2，3），OAOCACAB2，AC2，過點A作AHx軸于點H，則AH3在Rt

29、AHB中，由勾股定理得：BH，又OH2，OBBHOH點B的坐標為（2，2，0）；如圖2，當點B在x軸的負半軸且ABAC時，四邊形ABQC為菱形過點A作ATx軸于點T，第37頁（共49頁）同理可求得：BT，又OT2，OBBT+OT點B的坐標為（+2，2，0），綜上，當點B的坐標為（2，0）或（2，0）時，四邊形ABQC為菱形五等腰三角形1如圖，一次函數yx+1的圖象與兩坐標軸分別交于A，B兩點，與反比例函數的圖象交于點C（2，m）（1）求反比例函數的解析式；（2）若點P在y軸正半軸上，且與點B，C構成以BC為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的P點坐標第38頁（共49頁）【解答】解：（1）點

30、C（2，m）在一次函數yx+1的圖象上，把C點坐標代入yx+1，得m（2）+13，點C的坐標是（2，3），設反比例函數的解析式為，把點C的坐標（2，3）代入得，解得k6，反比例函數的解析式為；（2）在直線yx+1中，令x0，則y1，B（0，1），由（1）知，C（2，3），BC2，當BCBP時，BP2，OP2P（0，2+1，+1），當BCPC時，點C在BP的垂直平分線，P（0，5），即滿足條件的點P的坐標為（0，5）或（0，）2如圖，在平面直角坐標系中，點A（2，m）在正比例函數yx（x0）的圖象上，反第39頁（共49頁）比例函數y（x0）的圖象經過點A，點P是x軸正半軸上一動點，過點P作x軸的

31、垂線，與正比例函數yx（x0）的圖象交于點C，點B是線段CP與反比例函數的交點，連接AP、AB（1）求該反比例函數的表達式；（2）觀察圖象，請直接寫出當x0時，x的解集；（3）若eqoac(,S)ABP1，求B點坐標；（4）點Q是A點右側雙曲線上一動點，是否存在APQ為以P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點Q坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）當x2時，yx3，故點A（2，3），將點A的坐標代入反比例函數表達式得：3，解得k6，故反比例函數表達式為y；（2）觀察圖象，請直接寫出當x0時，x的解集為0 x2；第40頁（共49頁）（3）設點B（m，），則eqoac(,S)ABPBP

32、（xBxA）|（m2）|1，解得m3或1.5，故點B的坐標為（3，2）或（1.5，4）；（4）存在，理由：設點Q的坐標為（t，），點P（n，0），APQ為以P為直角頂點的等腰直角三角形，故APQP，APQ90，過點A、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為M、N，APM+QPN90，QPN+PQN90，APMPQN，AMPPNQ90，APQP，AMPPNQ（AAS），AMPN，PMQN，即n2且tn3，第41頁（共49頁）解得t6，故點Q（6，1）3已知一次函數ykx+b與反比例函數y的圖象交于A（3，2）、B（1，n）兩點（1）求一次函數和反比例函數的表達式；（eqoac(,2)）AOB的面積為8；

33、（3）直接寫出不等式kx+b的解集0 x1或x3；（4）點P在x的負半軸上，當PAO為等腰三角形時，直接寫出點P的坐標【解答】解：（1）反比例函數y經過點A（3，2），m6，點B（1，n）在反比例函數圖象上，n6B（1，6），把A，B的坐標代入ykx+b，則，解得，一次函數的解析式為y2x4，反比例函數的解析式為y；第42頁（共49頁）（2）如圖設直線AB交y軸于C，則C（0，4），eqoac(,S)AOBeqoac(,S)OCA+SOCB43+418，故答案為8；（3）觀察函數圖象知，kx+b的解集為0 x1或x3，故答案為0 x1或x3；（4）由題意OA，當AOAP時，可得P1（6，0），當OAOP時，可