七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假專題-有理數(shù)及其運(yùn)算

1、七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假專題有理數(shù)及其運(yùn)算【本講教育信息】一、教學(xué)內(nèi)容：寒假專題有理數(shù)及其運(yùn)算1、通過復(fù)習(xí)，能在具體情境中理解負(fù)數(shù)的概念，進(jìn)一步掌握有理數(shù)及其運(yùn)算的意義.2、能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，會(huì)比較有理數(shù)的大小.3、能熟練地借助數(shù)軸理解相反數(shù)與絕對(duì)值的意義，會(huì)求有理數(shù)的相反數(shù)與絕對(duì)值.4、經(jīng)歷探索有理數(shù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律的過程；掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算；理解有理數(shù)的運(yùn)算律，并能利用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算，及能運(yùn)用有理數(shù)及其運(yùn)算律解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.5、會(huì)用計(jì)算器進(jìn)行較復(fù)雜的有理數(shù)混合運(yùn)算.二、學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：有理數(shù)及其運(yùn)算這一章的重點(diǎn)內(nèi)容是絕對(duì)值的概念和有理數(shù)的運(yùn)算（包括法則、運(yùn)算律、

2、運(yùn)算順序、混合運(yùn)算）等；而絕對(duì)值的概念及有關(guān)計(jì)算，有理數(shù)的大小比較，及有理數(shù)的運(yùn)算則是本章的難點(diǎn). 三、知識(shí)要點(diǎn)講解：專講一：基本概念1. 正數(shù)與負(fù)數(shù)（1）概念：大于0的數(shù)是正數(shù)，小于0的數(shù)是負(fù)數(shù)，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)（2）注意：了解負(fù)數(shù)的引入是實(shí)際的需要帶正號(hào)的數(shù)不一定是正數(shù)，帶負(fù)號(hào)的數(shù)不一定是負(fù)數(shù)對(duì)零的認(rèn)識(shí)：0可以表示沒有；0可以表示一個(gè)確切的量，如今天的最低氣溫是0；0是整數(shù)也是偶數(shù)還是自然數(shù)；0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，是中性數(shù)2. 有理數(shù)的分類整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù) 3. 有理數(shù)中的“三重錘”（1）數(shù)軸數(shù)軸：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不可. 有

3、理數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)并不都表示有理數(shù). 在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大. （2）相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)是互為相反數(shù)，除零以外，相反數(shù)總是一正一負(fù)，成對(duì)出現(xiàn)的. 在數(shù)軸上看，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，而且到原點(diǎn)的距離相等. 通常用a與表示一對(duì)相反數(shù). 若a與b互為相反數(shù)，則. 互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，即. 若，則，或（a與b互為相反數(shù)）. （3）絕對(duì)值：由絕對(duì)值的幾何意義可知：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是指在數(shù)軸上表示該數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離. 因?yàn)榫嚯x總是正數(shù)或零，所以有理數(shù)的絕對(duì)值不可能是負(fù)數(shù)，即. 從絕對(duì)值的定義可知：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，

4、一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0，綜合到一起我們可以得到任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù). 若，則；若，則；，絕對(duì)值的非負(fù)性?；橄喾磾?shù)的絕對(duì)值相等，即若兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，則這兩個(gè)數(shù)相等或互為相反數(shù). 即：絕對(duì)值最小的數(shù)是0. 【典型例題】例1. 若a與5互為相反數(shù)，那么a是（ ）A. 5 B. C. D. 5析解：本題根據(jù)互為相反數(shù)的概念和意義，兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)之和為0，可以得到a，故應(yīng)選D例2. 點(diǎn)A在數(shù)軸上表示+2，從點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向左平移3個(gè)單位到點(diǎn)B，則點(diǎn)B所表示的實(shí)數(shù)是（ ）A. 3. B. 1. C. 5. D. 1或3.析解：本題主要考查學(xué)生對(duì)數(shù)軸知識(shí)的理解程度，解

5、答本題要畫出數(shù)軸，注意平移的方向，先找出A點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以找到B點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)選B例3. 將正偶數(shù)按下表排列： 第1列 第2列 第3列 第4列第1行 2第2行 4 6第3行 8 10 12第4行 14 16 18 20根據(jù)上面的規(guī)律，則2006所在的行、列分別是 .例4. 北京等5個(gè)城市的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間（單位：小時(shí)）可在數(shù)軸上表示如下：如果將兩地國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的差稱為時(shí)差，那么（ ）A. 漢城與紐約的時(shí)差為13小時(shí)；B. 漢城與多倫多的時(shí)差為13小時(shí)；C. 北京與紐約的時(shí)差為14小時(shí)；D. 北京與多倫多的時(shí)差為14小時(shí).解析：本題是一道與地理知識(shí)“聯(lián)姻”的題，把中時(shí)區(qū)定為0，東時(shí)區(qū)定為正數(shù)，西時(shí)區(qū)定

6、為負(fù)數(shù).根據(jù)時(shí)區(qū)之間時(shí)間的換算規(guī)律：同時(shí)區(qū)相減，異時(shí)區(qū)相加.所以，漢城與紐約的時(shí)差為95=14小時(shí)；漢城與多倫多的時(shí)差為94=13小時(shí)；北京與紐約的時(shí)差為85=13小時(shí)；北京與多倫多的時(shí)差為84=12小時(shí).故應(yīng)選B.專練一：1. 2006年世界杯足球賽在德國(guó)舉行，本次比賽共32支球隊(duì)平均分成8個(gè)小組首先進(jìn)行小組賽，每小組內(nèi)舉行單循環(huán)比賽（每個(gè)球隊(duì)都與本小組的其它隊(duì)比賽一場(chǎng)），選出兩個(gè)球隊(duì)進(jìn)入16強(qiáng). 本次足球賽的小組賽共進(jìn)行 場(chǎng)比賽. 2. 小敏中午放學(xué)回家自己煮面條吃. 有下面幾道工序：洗鍋盛水2分鐘；洗菜3分鐘；準(zhǔn)備面條及佐料2分鐘；用鍋把水燒開7分鐘；用燒開的水煮面條和菜要3分鐘. 以上

7、各道工序，除外，一次只能進(jìn)行一道工序. 小敏要將面條煮好，最少要用 _分鐘. 3. 已知：2=2，3=3，4=4，若10=10（a，b都為正整數(shù)），則ab的最小值是 .4. 一串有趣的圖案按一定的規(guī)律排列. 請(qǐng)仔細(xì)觀察，按此規(guī)律第2008個(gè)圖案是 .5. 如圖，是用火柴棒擺出的一系列三角形圖案，按這種方案擺下去，當(dāng)每邊上擺2006根火柴棒時(shí)，共需要擺_根火柴棒.專講二：基本運(yùn)算1. 運(yùn)算法則（1）加法：同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；異號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值相等時(shí)，和為0；絕對(duì)值不等時(shí)，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)（2）減法：減

8、去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)（3）乘法：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘注意：運(yùn)算步驟：確定積的符號(hào)；求出積的絕對(duì)值幾個(gè)有理數(shù)相乘，只要有一個(gè)為0，則乘積為0幾個(gè)不為零的有理數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，積為正。（4）除法：法則1：除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；法則2：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除，0除以任何非0數(shù)都得0。注意：倒數(shù)：乘積為1的兩數(shù)互為倒數(shù)，因?yàn)槌龜?shù)不能為零，所以零沒有倒數(shù)（5）乘方：意義：求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，記作“” =，乘方的結(jié)果叫做冪，在中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，叫

9、做a的n次方乘方運(yùn)算的符號(hào)法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)2. 運(yùn)算律：（1）加法交換律：a+b=b+a（2）加法結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）（3）乘法交換律：ab=ba（4）乘法結(jié)合律：a（bc）=（ab）c（5）乘法分配律：a（b+c）=ab+ac3. 運(yùn)算順序：有理數(shù)的混合運(yùn)算順序是：先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，先算括號(hào)里面的4. 用計(jì)算器進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算注意鍵盤中各鍵的功能及運(yùn)算過程中的按鍵順序【典型例題】例1. 我市2005年的最高氣溫為39，最低氣溫為零下7，則計(jì)算2005年溫差列式正確的是（ ）A. （39）（7） B.

10、 （39）（7） C. （39）（7） D. （39）（7）解析：本題是只列式不計(jì)算的題，根據(jù)條件要求列出算式即可，應(yīng)選A例2. 下列四個(gè)運(yùn)算中. 結(jié)果最小的是（ ）A. 1+（2） B. 1（2） C. l（2） D. 1（2）解析：本題考查學(xué)生簡(jiǎn)單的加、減、乘、除計(jì)算，應(yīng)選C例3. 將長(zhǎng)為1的繩子，截去一半，然后將剩下的再截去一半，如此下去，若余下的繩子長(zhǎng)不足1，則至少需截幾次（ ）A. 6次 B. 7次 C. 8次 D. 9次解析：本題考查乘方的定義和計(jì)算，應(yīng)選B例4. 用火柴棒按下圖的方式搭三角形，照這樣的規(guī)律搭下去，搭第10個(gè)圖形需要 根火柴棒.解析：觀察圖形會(huì)發(fā)現(xiàn)：所搭的圖形都是由

11、三角形構(gòu)成的.搭第1個(gè)圖形（一個(gè)三角形）用了3根火柴棒，而后來所搭的圖形都與前面的圖形的一邊“共享”. 所以第2個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為：231=5，第3個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為：332=7，第n個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為：3n（n1）.故搭第10個(gè)圖形需要的火柴棒根數(shù)為：3n（n1）=310（101）=21.專練二：1. 計(jì)算：.2. 計(jì)算：1（）（）3. 下列圖案由邊長(zhǎng)相等的黑、白兩色正方形按一定規(guī)律拼接而成。依此規(guī)律，第5個(gè)圖案中白色正方形的個(gè)數(shù)為 個(gè)。4. 觀察下列圖形，按規(guī)律填空：5. 觀察下列數(shù)表：根據(jù)數(shù)列所反映的規(guī)律，第行第列交叉點(diǎn)上的數(shù)應(yīng)為 6. 用同樣大小的正方形按下列規(guī)律擺放，將重疊部分

12、涂上顏色，下面的圖案中，第n個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)是 個(gè)。專講三：有理數(shù)綜合問題（一）易錯(cuò)點(diǎn)掃描1. 有理數(shù)常見思維誤區(qū)（1）對(duì)正、負(fù)數(shù)的理解有誤，如：a一定表示正數(shù)，a一定表示負(fù)數(shù)（2）有理數(shù)的分類問題，易把小數(shù)作為單獨(dú)的一類，不知道有限和無限循環(huán)小數(shù)可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)2. 數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值常見思維誤區(qū)主要是對(duì)三者概念的理解有誤，應(yīng)用也容易出錯(cuò)3. 有理數(shù)的運(yùn)算常見思維誤區(qū)（1）對(duì)幾種運(yùn)算法則理解不到位；（2）符號(hào)易出現(xiàn)錯(cuò)誤；（3）運(yùn)算順序、運(yùn)算性質(zhì)易錯(cuò)；（4）濫用運(yùn)算律等錯(cuò)誤（二）思想方法歸納為了深刻理解新的數(shù)學(xué)概念，新教材滲透了不少的數(shù)學(xué)思想和方法. 1. 數(shù)形結(jié)合的思想在學(xué)習(xí)數(shù)軸后知道了

13、數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，反之?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)也表示數(shù)，這就初步奠定了數(shù)形結(jié)合的思想，在后續(xù)學(xué)習(xí)中，這種思想不斷地得到體現(xiàn)，如相反數(shù)的幾何意義是：在數(shù)軸上位于原點(diǎn)的兩旁，并且與原點(diǎn)的距離相等的兩點(diǎn)表示的數(shù)叫互為相反數(shù). 絕對(duì)值的幾何意義是：在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對(duì)值. 這種形象與抽象的結(jié)合，加深了同學(xué)們對(duì)相反數(shù)、絕對(duì)值等概念的認(rèn)識(shí)和理解，也為今后的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ). 2. 轉(zhuǎn)化的思想方法第二章中關(guān)于有理數(shù)的減法和除法法則分別是減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)；除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，這兩條法則充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，即將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題來解決. 3. 分類

14、的思想方法在學(xué)習(xí)有理數(shù)、絕對(duì)值的概念時(shí)，都體現(xiàn)了分類的思想方法，即 有了分類思想，根據(jù)“不重不漏”的分類原則去處理問題，能使思維變得更嚴(yán)密，考慮問題更全面。例如，若a0，b0，則a+b 0。就必須討論（1）當(dāng)時(shí)，a+b0；（2）當(dāng)=時(shí)，a+b=0；（3）當(dāng)時(shí)，a+b0. 【典型例題】例1. 我們把分子為1的分?jǐn)?shù)叫做單位分?jǐn)?shù). 如，任何一個(gè)單位分?jǐn)?shù)都可以拆分成兩個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)的和，如，（1）根據(jù)對(duì)上述式子的觀察，你會(huì)發(fā)現(xiàn). 請(qǐng)寫出，所表示的數(shù)；（2）進(jìn)一步思考，單位分?jǐn)?shù)（n是不小于2的正整數(shù)），請(qǐng)寫出，所表示的式子，并加以驗(yàn)證.析解：（1）表示的數(shù)為6，表示的數(shù)為30；（2）表示的式子為，表示

15、的式子為.例2. 定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n5；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行. 例如，取n26，則：若n449，則第449次“F運(yùn)算”的結(jié)果是_8_. 析解：根據(jù)定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算的法則很容易計(jì)算出結(jié)果為8例3. 在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中我們補(bǔ)充定義新運(yùn)算“”如下：當(dāng)ab時(shí)，abb2；當(dāng)ab時(shí)，aba. 則當(dāng)x2時(shí)，（1x）x（3x）的值為 （“ ”和“”仍為實(shí)數(shù)運(yùn)算中的乘號(hào)和減號(hào)）. 析解：根據(jù)定義新運(yùn)算的法則應(yīng)填2專練三：1. 老師在黑板上寫出三個(gè)算式：53= 82，97=84，153=827，王華接著又寫了兩個(gè)

16、具有同樣規(guī)律的算式：11 5 =812，157=822，（1）請(qǐng)你再寫出兩個(gè)（不同于上面算式）具有上述規(guī)律的算式； （2）用文字寫出反映上述算式的規(guī)律； （3 ）證明這個(gè)規(guī)律的正確性. 2. 1883年，康托爾構(gòu)造了一個(gè)分形，稱為康托爾集. 從數(shù)軸上單位長(zhǎng)度線段開始，康托爾取走其中間的三分之一而達(dá)到第一階段；然后從每一個(gè)余下的三分之一線段中取走其中間的三分之一而達(dá)到第二階段. 無限地重復(fù)這一過程，余下的無窮點(diǎn)集就稱為康托爾集. 下圖是康托爾集的最初幾個(gè)階段，當(dāng)達(dá)到第八個(gè)階段時(shí)，余下的所有線段的長(zhǎng)度之和為 . 3. 一跳蚤在一直線上從O點(diǎn)開始，第1次向右跳1個(gè)單位，緊接著第2次向左跳2個(gè)單位，第

17、3次向右跳3個(gè)單位，第4次向左跳4個(gè)單位，依此規(guī)律跳下去，當(dāng)它跳第100次落下時(shí)，落點(diǎn)處離O點(diǎn)的距離是 個(gè)單位.七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假專題有理數(shù)及其運(yùn)算參考答案：專練一：1. 48；2. 12；3. 19；4. ；5. 6039063 第1個(gè)專練二：16；20；328；49，13；52n-1；62n+1；專練三：1. （1）略 （2）任意兩個(gè)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)；（3）略2. ； 3. 50【模擬試題】（答題時(shí)間：60分鐘）一、選擇題（每題3分，共30分）1. 下列說法中，不正確的是（ ）A. 0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù) B. 0不是整數(shù)C. 0的相反數(shù)是0 D. 0的絕對(duì)值是02. 溫度上升3后，又

18、下降2實(shí)際上就是 （ ） A. 上升1 B. 上升5 D. 下降13. 數(shù)軸上點(diǎn)A表示4，點(diǎn)B表示2，則表示A、B兩點(diǎn)間的距離的算式是（ ）A. 42 B. 42 C. 2（4） D. 24 4. 兩個(gè)有理數(shù)的和為負(fù)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)一定（ ）A. 都是負(fù)數(shù) B. 至少有一個(gè)負(fù)數(shù)C. 有一個(gè)是0 D. 絕對(duì)值不相等5. 如果|a|=7，|b|=5，試求ab的值為（ ）A. 2 B. 12 C. 2和12 D. 2；12；12；26. 用計(jì)算器求25的值時(shí)，按鍵的順序是（ ）A. 5、yx、2、= B. 2、yx、5、=C. 5、2、yx、= D. 2、3、yx、=7. 如果a、b互為相反數(shù)，c、

19、d互為倒數(shù)，m的絕對(duì)值為2，那么 a+b+m2cd的值為（ ）A. 3 B. 3 C. 3 D. 48. 若0a1，則a，（ ）A. a2a B. a a2 C. a a2 D. a a2 9. 學(xué)校為了改善辦學(xué)條件，從銀行貸款100萬元，蓋起了實(shí)驗(yàn)大樓，貸款年息為12%，房屋折舊每年2%，學(xué)校約1400名學(xué)生，僅貸款付息和房屋折舊兩項(xiàng)，每個(gè)學(xué)生每年承受的實(shí)際費(fèi)用為（ ）A. 約104元 B. 1000元 C. 100元 10. 計(jì)算（2）2004+（2）2003的結(jié)果是（ ）A. 1 B. 2 C. 22003 D. 22004 二、填空題（每題3分，共30分）11. 某種零件，標(biāo)明要求是2

20、00.02（表示直徑，單位：毫米），經(jīng)檢查，一個(gè)零件的直徑是19.9mm，它 （填“合格”或“不合格”）. 12. 在太陽(yáng)系八大行星中，離太陽(yáng)最近的水星由于沒有大氣，白天在陽(yáng)光的直接照射下，表面溫度高達(dá)427，夜晚則低至170，則水星表面晝夜的溫差為_. 13. 數(shù)軸上的一點(diǎn)由3出發(fā)，向左移動(dòng)4個(gè)單位，又向右移動(dòng)了5個(gè)單位，兩次移動(dòng)后，這一點(diǎn)所表示的數(shù)是 14. 一個(gè)水利勘察隊(duì)，第一天沿江向下游走km，第二天又向下游走km，第三天向上游走km，第四天向上游走km，這時(shí)勘察隊(duì)在出發(fā)點(diǎn)的上游 km處15. 一口深井，井底有一只青蛙，這只青蛙白天沿著井壁向上爬3米，夜間又落下2米，到了第十天的下午，這只青蛙恰好爬到井口，則這口井的深度是 米。16. 設(shè)n是正整數(shù)，則n（n+1）（n+2）+（n+3）