關(guān)于“解三角形的進(jìn)一步討論”的再思考

1、關(guān)于“解三角形的進(jìn)一步討論的再思考 HYPERLINK 童心【專題名稱】 HYPERLINK 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)【專 題 號(hào)】G312【復(fù)印期號(hào)】2021年12期【原文出處】? HYPERLINK 中國數(shù)學(xué)教育：高中版?(沈陽)2021年5期第89,44頁【作者簡(jiǎn)介】童心，浙江省安吉縣孝豐高級(jí)中學(xué)?！娟P(guān) 鍵 詞】 HYPERLINK EEUU對(duì)于解三角形問題，三邊(SSS)，兩邊夾角(SAS)，兩角一邊(AAS)的條件，三角形的解都是唯一確定的，利用正弦定理或余弦定理就可以解決了，而對(duì)兩邊和其中一邊的對(duì)角(SSA)的三角形，解的個(gè)數(shù)往往是不確定的。在人教版?普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)5必修?的

2、第一章“解三角形的探究與發(fā)現(xiàn)“解三角形的進(jìn)一步討論一文中，編者首先通過引例提出問題，然后利用正弦定理和三角形中“大邊對(duì)大角的理論依據(jù)，討論了三角形解的情況，但筆者通過教學(xué)嘗試發(fā)現(xiàn)，學(xué)生用此法來判斷三角形解的個(gè)數(shù)，總是力不從心，感覺很抽象，故筆者通過思考研究，整理出了幾種比擬直觀易懂的討論三角形解的情況的方法，現(xiàn)將其歸納如下，以期與同行交流與探討。一、判斷三角形解的個(gè)數(shù)方法探討我們不妨以a、b、A，解三角形的問題為例來討論。1.利用正弦定理，并結(jié)合三角形中“大邊對(duì)大角的原那么這是教科書上的方法，筆者通過教學(xué)嘗試發(fā)現(xiàn)，學(xué)生用此法來判斷三角形解的個(gè)數(shù)，總是力不從心，感覺很抽象。特別地，當(dāng)所給的角為非

3、特殊角時(shí)，此法將帶來更大的計(jì)算困難。2.利用尺規(guī)作圖，觀察交點(diǎn)情況在a、b、A的情形下，我們可以先作角A，再作角A的鄰邊b，這樣就確定了頂點(diǎn)C的位置，再作角A的對(duì)邊a，即以C為圓心、a為半徑畫圓，觀察圓弧與角C的對(duì)邊c的交點(diǎn)情況，有幾個(gè)交點(diǎn)就對(duì)應(yīng)三角形有幾個(gè)解。(1)如果的A是鈍角或直角，那么必須ab才能有解，且只有一解。ab時(shí)，如圖1所示。ab時(shí)，如圖2所示。(2)如果的A是銳角，并且ab或a=b，這時(shí)也只有一個(gè)解，如圖3所示。圖3(3)如果的A是銳角，并且ab，這時(shí)要分下面三種情形來作圖：當(dāng)absinA時(shí)，有兩個(gè)解，如圖4下頁所示；當(dāng)a=bsinA時(shí)，只有一個(gè)解，如圖5所示；當(dāng)absinA

4、時(shí)，沒有解，如圖6所示。此法的最大優(yōu)點(diǎn)在于不依賴學(xué)生的解三角形能力，同時(shí)通過圖解簡(jiǎn)單直觀，特別是當(dāng)所給角為非特殊角時(shí)，同樣能迅速求解。3.利用判別式及韋達(dá)定理判斷一元二次方程的正根情況這是一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程。顯然，方程有幾個(gè)正實(shí)數(shù)根，相應(yīng)三角形就有幾個(gè)解，故我們可以依據(jù)方程的正實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)來判斷三角形解的個(gè)數(shù)。此法把解三角形問題轉(zhuǎn)化為判斷一元二次方程的正根問題，而判斷一元二次方程根的知識(shí)點(diǎn)學(xué)生在初中就已接觸過。4.利用函數(shù)圖象，觀察交點(diǎn)情況在a、b、A的情形下，我們?cè)O(shè)邊c為x，利用余弦定理得。假設(shè)f(x)=cosA(0，1)，那么函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，三角形只有一

5、解，如圖11所示；假設(shè)f(x)=cosA(-1，0)，那么函數(shù)f(x)與g(x)的圖象沒有交點(diǎn)，三角形無解，如圖12所示。此法要求學(xué)生具有較高的分析函數(shù)圖象及性質(zhì)的能力，比擬適合高年級(jí)段學(xué)生。二、判斷三角形解的個(gè)數(shù)方法應(yīng)用下面，筆者將上述四種方法應(yīng)用于實(shí)例中，從而比擬各法的優(yōu)劣。由于兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以相應(yīng)三角形有兩解。綜合分析以上各種方法，可以發(fā)現(xiàn)：利用正弦定理，并結(jié)合三角形中“大邊對(duì)大角原那么的方法較為常規(guī)，但是學(xué)生在用此法來判斷三角形解的個(gè)數(shù)時(shí)，總是力不從心，感覺很抽象，特別地，當(dāng)所給的角為非特殊角時(shí)，此法將帶來更大的計(jì)算困難；利用尺規(guī)作圖，觀察交點(diǎn)情況的方法直觀快捷，它的最大優(yōu)點(diǎn)在于不依賴學(xué)生的解三角形能力，特別是當(dāng)所給角為非特殊角時(shí)，同樣能迅速求解；利用判別式及韋達(dá)定理判斷一元二次方程正根情況的方法通俗易懂，它把解三角形問題轉(zhuǎn)化為判斷一元二次方程的正根問題，而判斷一元二次方程根的知識(shí)點(diǎn)學(xué)生在初中就已接觸過；利用函數(shù)圖象，觀察交點(diǎn)情況的方法形象直觀，但需要學(xué)生具有較高的分析函數(shù)圖象及性質(zhì)的能力，比擬適合高年級(jí)段學(xué)生。面對(duì)判斷三角形解的個(gè)數(shù)的問題，以上四種方法各有千秋，在具體教學(xué)過程中，可以根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力進(jìn)行因材施教，使他們得到更好地開展！【參考文獻(xiàn)】1況亦軍.高中數(shù)學(xué)多功能題典M.上海：華東師范大學(xué)出版