二項分布及其應(yīng)用精品

1、二項分布及其應(yīng)用精品 一般地,設(shè)A，B為兩個事件，且PA0，稱PB|A= 為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率.PB|A讀作 . 條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在0和1之間，即0P(B|A)1.A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率 考點(diǎn)分析 如果B和C是兩個互斥事件，那么 PBC|A= . 設(shè)A，B為兩個事件，如果PAB=PAPB，那么稱事件A與事件B相互獨(dú)立. 如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與 ，A與 ，A與 也都相互獨(dú)立.PB|A+PC|A B 一般地,在一樣條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗. 一般地,在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中事件A發(fā)

2、生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為 PX=k= ,k=0,1,2,n. 此時稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作X ，并稱p為 .成功概率 B n,p 考點(diǎn)一 條件概率有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8,在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，求這粒種子能成長為幼苗的概率. 【分析】解決好概率問題的關(guān)鍵是分清屬于哪種類型的概率，該例中的幼苗成活率是在出芽后這一條件下的概率，屬于條件概率.題型分析返回目錄 【解析】設(shè)種子發(fā)芽為事件A，種子成長為幼苗為事件AB發(fā)芽，又成活為幼苗，出芽后的幼苗成活率為:P(B|A)=0.8,P(A)=0.9. 根據(jù)條件,概率公式 P

3、(AB)=P(B|A)P(A)=0.90.8=0.72， 即這粒種子能成長為幼苗的概率為0.72. 【評析】在解決條件概率問題時，要靈活掌握P(AB),P(B|A),P(A|B),P(A),P(B)之間的關(guān)系，即P(B|A)= ,P(A|B)= ,P(AB)=P(A|B)P(B)+P(B|A)P(A). 對應(yīng)演練(湛江市實(shí)驗中學(xué)2021屆高三第四次月考)某地區(qū)氣象臺統(tǒng)計，該地區(qū)下雨的概率為 ，刮風(fēng)的概率為 ，既刮風(fēng)又下雨的概率為 ，設(shè)A為下雨，B為刮風(fēng)，求(1)P(A|B);(2)P(B|A).根據(jù)題意知P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= .(1)P(A|B)=(2)P(B|A)=考點(diǎn)二

4、 事件的相互獨(dú)立性甲、乙、丙三臺機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件,甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為 ,乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為 ,甲、丙兩臺機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為 .(1)分別求甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品 的概率；(2)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有 一個一等品的概率. 【分析】 (1)將三種事件設(shè)出,列方程,解方程即可求出.(2)用間接法解比較省時,方便. 【解析】 (1)設(shè)A，B，C分別為甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件. P(AB)= P(BC)= P(AC)= , P(A)

5、1-P(B)= P(B)1-P(C)= P(A)P(C)= 由題設(shè)條件有 即 由得P(B)=1- P(C),代入得 27P(C)2-51P(C)+22=0. 解得P(C)= 或 (舍去). 將P(C)= 分別代入可得P(A)= ,P(B)= . 即甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率分別是 , , . (2)記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗,至少有一個一等品的事件. 那么P(D)=1-P(D) =1-1-P(A)1-P(B)1-P(C) =1- = . 故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗,至少有一個一等品的概率為 . 【評析】 (1)對照互斥事件、對立事件的定義進(jìn)展判斷

6、，哪些是互斥事件，哪些是對立事件，是解好題目的關(guān)鍵.“正難那么反，一個事件的正面包含根本領(lǐng)件個數(shù)較多，而它的對立事件包含根本領(lǐng)件個數(shù)較少，那么用公式PA=1-PA計算. (2)審題應(yīng)注意關(guān)鍵的詞句，例如“至少有一個發(fā)生“至多有一個發(fā)生“恰好有一個發(fā)生等. (3)復(fù)雜問題可考慮拆分為等價的幾個事件的概率問題，同時結(jié)合對立事件的概率求法進(jìn)展求解. (4)求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有: 利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式; 正面計算較繁或難以入手時，可以從對立事件入手計算.對應(yīng)演練甲、乙兩人各進(jìn)展一次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.8,計算:(1)兩人都擊中目標(biāo)的概率;(2)其中恰有一人

7、擊中目標(biāo)的概率;(3)至少有一人擊中目標(biāo)的概率. 記“甲射擊一次，擊中目標(biāo)為事件A，“乙射擊一次，擊中目標(biāo)為事件B.“兩人都擊中目標(biāo)是事件AB；“恰有1人擊中目標(biāo)是AB或AB；“至少有1人擊中目標(biāo)是AB或AB或AB. (1)顯然，“兩人各射擊一次，都擊中目標(biāo)就是事件AB，又由于事件A與B相互獨(dú)立， P(AB)=P(A)P(B)=0.80.8=0.64. (2)“兩人各射擊一次，恰好有一人擊中目標(biāo)包括兩種情況：一種是甲擊中乙未擊中即AB,另一種是甲未擊中乙擊中即AB，根據(jù)題意，這兩種情況在各射擊一次時不可能同時發(fā)生，即事件AB與AB是互斥的，所以所求概率為：P=P(AB)+P(AB)=P(A)P

8、(B)+P(A)P(B)=0.8(1-0.8)+(1-0.8)0.8=0.16+0.16=0.32.3解法一：“兩人各射擊一次，至少有一人擊中目標(biāo)的概率為P=P(AB)+P(AB)+P(AB)=0.64+0.32=0.96.解法二：“兩人都未擊中目標(biāo)的概率是P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.8)(1-0.8)=0.20.2=0.04.至少有一人擊中目標(biāo)的概率為P=1-P(AB)=1-0.04=0.96.考點(diǎn)三 獨(dú)立重復(fù)試驗與二項分布某單位6個員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作，每個員工上網(wǎng)的概率都是0.5(相互獨(dú)立).(1)求至少3人同時上網(wǎng)的概率;(2)至少幾人同時上網(wǎng)的概率小于0.3? 【分析】

9、因為6個員工上網(wǎng)都是相互獨(dú)立的，所以該題可歸結(jié)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗與二項分布問題. 【解析】1解法一：記“有r人同時上網(wǎng)為事件Ar,那么“至少3人同時上網(wǎng)即為事件A3+A4+A5+A6，因為A3,A4,A5,A6為彼此互斥事件，所以可應(yīng)用概率加法公式，得“至少3人同時上網(wǎng)的概率為 P=P(A3+A4+A5+A6) =P(A3)+P(A4)+P(A5)+P(A6) = ( ) = (20+15+6+1)= . 解法二：“至少3人同時上網(wǎng)的對立事件是“至多2人同時上網(wǎng)，即事件A0+A1+A2.因為A0,A1,A2是彼此互斥的事件，所以“至少3人同時上網(wǎng)的概率為 P=1-P(A0+A1+A2) =1-

10、P(A0)+P(A1)+P(A2) =1- ( ) =1- (1+6+15)= 解法三：至少3人同時上網(wǎng)，這件事包括3人，4人，5人或6人同時上網(wǎng)，那么記至少3人同時上網(wǎng)的事件為A,X為上網(wǎng)人數(shù),那么 P(A)=P(X3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6) 2解法一：記“至少r人同時上網(wǎng)為事件Br,那么Br的概率P(Br)隨r的增加而減少.依題意是求滿足P(Br P(B6)=P(A6)= 0.3, P(B5)=P(A5+A6)=P(A5)+P(A6) = ( )= 0.3, P(B4)=P(A4+A5+A6) =P(A4)+P(A5)+P(A6)= ( ) = (15+6

11、+1)= 0.3, 所以至少4人同時上網(wǎng)的概率大于0.3,至少5人同時上網(wǎng)的概率小于0.3. 解法二：由(1)知至少3人同時上網(wǎng)的概率大于0.3,至少4人同時上網(wǎng)的概率為 PX4= 0.3, 至少5人同時上網(wǎng)的概率為 P(X5)= 0.3, 所以至少5人同時上網(wǎng)的概率小于0.3. 【評析】1獨(dú)立重復(fù)試驗是在同樣的條件下重復(fù)地、各次之間相互獨(dú)立地進(jìn)展的一種試驗.在這種試驗中，每一次試驗只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的. (2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k

12、次的概率為P(X=k)= (1-p)k，k=0,1,2,n.此時稱隨機(jī)變量X服從二項分布，在利用該公式時，一定要搞清是多少次試驗中發(fā)生k次的事件，如此題中“有3人上網(wǎng)可理解為6次獨(dú)立重復(fù)試驗恰有3次發(fā)生，即n=6，k=3.對應(yīng)演練甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標(biāo)的概率分別是 和 ,假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo),相互之間沒有影響,每次射擊是否擊中目標(biāo),相互之間也沒有影響.(1)求甲射擊4次,至少1次未擊中目標(biāo)的概率;(2)求兩人各射擊4次,甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目 標(biāo)3次的概率;(3)假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo),那么停頓射擊,問乙恰好射 擊5次后,被中止射擊的概率是多少? (1)記“甲連續(xù)射擊

13、4次至少有1次未擊中目標(biāo)為事 件A1,由題意,射擊4次,相當(dāng)于作4次獨(dú)立重復(fù)試驗,故 P(A1)=1-P(A1)=1-( )4= . 甲連續(xù)射擊4次至少有1次未擊中目標(biāo)的概率為 . (2)記“甲射擊4次,恰有2次擊中目標(biāo)為事件A2,“乙射擊4次,恰有3次擊中目標(biāo)為事件B2,那么 P(A2)= (1- )4-2= . P(B2)= (1- )4-3= . 由于甲、乙射擊相互獨(dú)立,故 P(A2B2)=P(A2)P(B2)= = . 兩人各射擊4次,甲恰有2次擊中目標(biāo)且乙恰有3次擊中目標(biāo)的概率為 . (3)記“乙恰好射擊5次后被中止射擊為事件A3,“乙第i次射擊未擊中為事件Di(i=1,2,3,4,

14、5),那么A3=D5D4D3(D2D1),且P(D4)= .由于各事件相互獨(dú)立,故 P(A3)=P(D5)P(D4)P(D3)P(D2D1) = (1- )= . 乙恰好射擊5次后被中止射擊的概率為 .考點(diǎn)四 二項分布的隨機(jī)變量的分布列一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個交通崗，假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是 .(1)設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布 列;(2)設(shè)Y為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求Y的 分布列;(3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率. 【分析】此題主要考察獨(dú)立重復(fù)試驗的概率和二項分布等知識. 【解析】1將通過每個交

15、通崗看作一次試驗，那么遇到紅燈的概率為 ，且每次試驗結(jié)果是相互獨(dú)立的,故XB(6, )，以此為根底求X的分布列. 由XB(6, )，所以X的分布列為 P(X=k)= ，k=0,1,2,3,4,5,6. 2由于Y表示這名學(xué)生在首次停車時經(jīng)過的路口數(shù)，顯然Y是隨機(jī)變量，其取值為0,1,2,3,4,5. 其中:Y=k(k=0,1,2,3,4,5)表示前k個路口沒 有遇上 紅燈，但在第k+1個路口遇上紅燈，故各概率應(yīng)按獨(dú)立 事件同時發(fā)生計算. P(Y=k)=( )k (k=0,1,2,3,4,5), 而Y=6表示一路沒有遇上紅燈, 故其概率為P(Y=6)= . 因此Y的分布列為: Y0123456P(

16、3)這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的事件為X1=X=1或X=2或或X=6,所以其概率為P(X1)= P(X=k)=1-P(X=0) =1-( )6= 0.912. 【評析】解決離散型隨機(jī)變量分布列問題時，主要依靠概率的有關(guān)概念和運(yùn)算，其關(guān)鍵是要識別題中的離散型隨機(jī)變量服從什么分布.像本例中隨機(jī)變量X表示遇到紅燈次數(shù)，而每次遇到紅燈是相互獨(dú)立的，因此這是一個獨(dú)立重復(fù)事件，符合二項分布，即XB(n,p).分布列能完整地刻畫隨機(jī)變量X與相應(yīng)概率的變化情況，在分布列中第一行表示X的所有可能取值，第二行對應(yīng)的各個值概率值必須都是非負(fù)實(shí)數(shù)且滿足其和為1.對應(yīng)演練某一中學(xué)生心理咨詢中心效勞 接通率為 ，某班3名同學(xué)商定明天分別就同一問題詢問該效勞中心，且每人只撥打一次，求他們中成功咨詢的人數(shù)X的