2018年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過專題38拋物線文

1、PAGE PAGE - 26 -考點(diǎn)38拋物線了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率）.一、拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F) 距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線拋物線關(guān)于過焦點(diǎn)F與準(zhǔn)線垂直的直線對(duì)稱，這條直線叫拋物線的對(duì)稱軸，簡(jiǎn)稱拋物線的軸注意：直線l不經(jīng)過點(diǎn)F，若l經(jīng)過F點(diǎn)，則軌跡為過定點(diǎn)F且垂直于定直線l的一條直線2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

2、（3）頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（4）頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.注意：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以p的值永遠(yuǎn)大于0，當(dāng)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)值時(shí)，不要出現(xiàn)p0的錯(cuò)誤.二、拋物線的幾何性質(zhì)1拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形幾何性質(zhì)范圍對(duì)稱性關(guān)于x軸對(duì)稱關(guān)于x軸對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱焦點(diǎn)準(zhǔn)線方程頂點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0)離心率2拋物線的焦半徑拋物線上任意一點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)F的連線段，叫做拋物線的焦半徑根據(jù)拋物線的定義可得焦半徑公式如下表：拋物線方程焦半徑公式3拋物線的焦點(diǎn)弦拋物線的焦點(diǎn)弦即過焦點(diǎn)F

3、的直線與拋物線所成的相交弦焦點(diǎn)弦公式既可以運(yùn)用兩次焦半徑公式得到，也可以由數(shù)形結(jié)合的方法求出直線與拋物線的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式得到，設(shè)AB為焦點(diǎn)弦，則拋物線方程焦點(diǎn)弦公式其中，通過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱軸而交拋物線于A，B兩點(diǎn)的線段AB，稱為拋物線的通徑對(duì)于拋物線，由，可得，故拋物線的通徑長(zhǎng)為2p4必記結(jié)論直線AB過拋物線的焦點(diǎn)，交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，如圖：（1）y1y2p2，x1x2eq f(p2,4).（2）|AB|x1x2p，x1x2p，即當(dāng)x1x2時(shí)，弦長(zhǎng)最短為2p.（3）eq f(1,|AF|)eq f(1,|BF|)為定值eq f(2,p

4、).（4）弦長(zhǎng)ABeq f(2p,sin2)(為AB的傾斜角)（5）以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切（6）焦點(diǎn)F對(duì)A，B在準(zhǔn)線上射影的張角為90.考向一拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1拋物線定義的實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為“一動(dòng)三定”：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，一個(gè)定點(diǎn)F（拋物線的焦點(diǎn)），一條定直線l（拋物線的準(zhǔn)線），一個(gè)定值 1（拋物線的離心率）.2拋物線的離心率e1，體現(xiàn)了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦的問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即或，使問題簡(jiǎn)化典例1已知拋物線C:x2=2py(p0)上一點(diǎn)A(m,4)到其焦點(diǎn)的距離為,則p,m的值分別為Ap

5、=1,m=2Bp=1,m=2Cp=,m=2Dp=,m=2【答案】D【解析】由拋物線的方程得其準(zhǔn)線方程為y=-p2,根據(jù)拋物線的定義可知,4+p2=174,解得p=,所以拋物線的方程為x2=y,將A(m,4)代入拋物線的方程,解得m=2. 典例2已知圓的方程為x2+y2=4,若拋物線過點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),且以圓的切線為準(zhǔn)線,則拋物線的焦點(diǎn)的軌跡方程為A(x0)B(x0)C(y0)D(y0)【答案】D的橢圓.A,B在拋物線上,焦點(diǎn)F不在x軸上,故拋物線的焦點(diǎn)的軌跡方程是(y0).1已知點(diǎn)F是拋物線y 2 = 4x的焦點(diǎn)，M、N是該拋物線上兩點(diǎn)，| MF | + | NF | = 6，則

6、MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為AB2CD3考向二求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程1求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)的位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：若無(wú)法確定拋物線的位置，則需分類討論.特別地，已知拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，一般有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程.典例3若點(diǎn)A,B在拋物線y2=2px(p0)上,O是坐標(biāo)原點(diǎn),若正三角形OAB的面積為43,則該拋物線的方程是Ay2=xBy2=3xCy2=23xDy2=x【答案】A【解析】根據(jù)對(duì)稱性,可知ABx軸,由于正三角形OAB的面積是43,故AB2=43

7、,故AB=4,正三角形OAB的高為23,故可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(23,2),代入拋物線方程得4=43p,解得p=,故所求拋物線的方程為y2=x.典例4求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出對(duì)應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程（1）過點(diǎn)；（2）焦點(diǎn)在直線上當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，此時(shí)拋物線的方程為；當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，此時(shí)拋物線的方程為.故所求拋物線的方程為或，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是，.2已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸重合于橢圓短軸所在的直線，拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.考向三焦點(diǎn)弦問題與拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)有關(guān)的問題，可直接應(yīng)用公式求解.解題時(shí)，需依據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定弦長(zhǎng)公式是由交點(diǎn)橫坐標(biāo)定還是由交點(diǎn)縱坐標(biāo)定

8、，是p與交點(diǎn)橫（縱）坐標(biāo)的和還是與交點(diǎn)橫（縱）坐標(biāo)的差，這是正確解題的關(guān)鍵.典例5過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2，y2)，若|AB|=7，求AB的中點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離.【解析】拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=1.由拋物線的定義知|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p,即x1+x2+2=7,得x1+x2=5,于是弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為,因此點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為.典例6已知過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn),斜率為22的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)兩點(diǎn),且|AB|=9.（1）求該

9、拋物線的方程;（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為拋物線上一點(diǎn),若OC=OA+OB,求的值.（2）因?yàn)閜=4,所以4x2-5px+p2=0可簡(jiǎn)化為x2-5x+4=0,從而x1=1,x2=4,y1=-22,y2=42,從而A(1,-22),B(4,42).設(shè)C(x3,y3),則OC=(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=(4+1,42-22).又y32=8x3,即22(2-1)2=8(4+1),即(2-1)2=4+1,解得=0或=2. 3已知直線過拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直，與C交于A，B兩點(diǎn)，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則的面積為A18 B24C36 D48考向四拋物線中的最值問題1.拋物線中經(jīng)常

10、根據(jù)定義把點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化，從而求解.2.有關(guān)拋物線上一點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)F和到已知點(diǎn)E（E在拋物線內(nèi)）的距離之和的最小值問題，可依據(jù)拋物線的圖形，過點(diǎn)E作準(zhǔn)線l的垂線，其與拋物線的交點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F和到已知點(diǎn)E的距離之和是最小值.典例7如圖,已知點(diǎn)Q(22,0)及拋物線上的動(dòng)點(diǎn)(x,y),則y+|Q|的最小值是A2B3C4D22【答案】A典例8已知拋物線的方程為x2=8y,F是焦點(diǎn),點(diǎn)A(-2,4),在此拋物線上求一點(diǎn)P,使|PF|+|PA|的值最小.【解析】(-2)20)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A(,0)B(,0)C(0,-2p)D(0,-p)2以x軸為對(duì)稱軸,通徑長(zhǎng)為8,頂點(diǎn)

11、為坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線方程是Ay2=8xBy2=-8xCy2=8x或y2=-8xDx2=8y或x2=-8y3已知拋物線y2=2px（p0）上一點(diǎn)Q(6,y0),且Q點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為10，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是A4B8C12D164已知點(diǎn)M(-3,2)是坐標(biāo)平面內(nèi)一定點(diǎn),若拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)Q是該拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),則|MQ|-|QF|的最小值是AB3CD25設(shè)F為拋物線C:x2=12y的焦點(diǎn),A、B、C為拋物線上不同的三點(diǎn),若FA+FB+FC=0,則|FA|+|FB|+|FC|=A3B9C12D186已知拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,B始終滿足AFB=60,過

12、弦AB的中點(diǎn)H作拋物線的準(zhǔn)線的垂線HN,垂足為N,則的取值范圍為A(0,B,+)C1,+)D(0,17若拋物線y2=2px（p0）的焦點(diǎn)與雙曲線x24y2=1的右頂點(diǎn)重合，則p=_.8已知等腰梯形的頂點(diǎn)都在拋物線上，且，則點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離是_9已知過拋物線x=4y2的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于M、N兩點(diǎn),且|MF|=,則|MN|=_.10已知拋物線C:y2=ax(a0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(0,1),射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M,與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,若|FM|MN|=13,則實(shí)數(shù)a的值為_.11已知拋物線y2=2px（p0）的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線方程是x=-1.(1)求此拋物線的方程;(2)設(shè)點(diǎn)M在

13、此拋物線上,且|MF|=3,若O為坐標(biāo)原點(diǎn),求的面積.12已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是拋物線y2=2px(p0)上的三個(gè)點(diǎn),且它們到焦點(diǎn)F的距離|AF|,|BF|,|CF|成等差數(shù)列,求證:2y22=y12+y32.13如圖所示是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬4m.若水位下降1m后，水面寬為多少？14設(shè)A,B是拋物線y2=2px(p0)上的兩點(diǎn),且滿足OAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).求證:(1)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積都為定值;(2)直線AB經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn).1（2016四川文科）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A(0,2) B (0,1)C(2,

14、0) D(1,0)2（2016新課標(biāo)全國(guó)II文科）設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，曲線y=（k0）與C交于點(diǎn)P，PFx軸，則k=AB1CD23（2015新課標(biāo)全國(guó)I文科）已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為,E的右焦點(diǎn)與拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)重合,A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn),則|AB|=A3 B6C9 D124（2017浙江）如圖，已知拋物線，點(diǎn)A，拋物線上的點(diǎn)過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q（1）求直線AP斜率的取值范圍；（2）求的最大值5（2016新課標(biāo)全國(guó)III文科）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)（1）若在線段上，是的中點(diǎn)，證明；（2）若的

15、面積是的面積的兩倍，求中點(diǎn)的軌跡方程.變式拓展1【答案】B【解析】由題意得F(1,0),令M(x1,y1),N(x2,y2)，由拋物線的幾何意義得| MF | + | NF | = 6=x1+1+x2+1，可得x1+x2=4，所以MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.選B.法二：由已知條件可知拋物線的對(duì)稱軸為x軸，設(shè)拋物線的方程為y2mx(m0).又拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為5，m20.所求拋物線的方程為y220 x或y220 x. 3【答案】C【解析】因?yàn)锳B過拋物線的焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直，所以線段AB是拋物線的通徑，則，所以，又點(diǎn)P到AB的距離為，所以的面積為.故選C.4【答案】C【解析】點(diǎn)P到拋物線y2=4

16、x的準(zhǔn)線的距離d1等于點(diǎn)P到拋物線y2=4x的焦點(diǎn)的距離|PF|，則d1+d2的最小值即為F到直線x+2y-12=0的距離由拋物線y2=4x得F(1,0)，故選C.5【解析】以隧道頂點(diǎn)為原點(diǎn),拱高所在的直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(,).設(shè)隧道所在的拋物線方程為x2=my(m0),則()2=m(),解得m=-a,所以拋物線的方程為x2=-ay.將點(diǎn)(0.8,y)代入拋物線方程,得0.82=-ay,即y=.欲使卡車通過隧道,應(yīng)有y-()3,即a4-0.82a3,由于a0,故a12.21,所以a應(yīng)取的最小整數(shù)值為13.考點(diǎn)沖關(guān)1【答案】B【解析】拋物線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為y2

17、=x(p0),則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0).2【答案】C【解析】依題意設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0),則2p=8,所以拋物線方程為y2=8x或y2=-8x.故選C.3【答案】B4【答案】C【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為x=，當(dāng)MQx軸時(shí)，|MQ|-|QF|取得最小值，此時(shí)|MQ|-|QF|=|2+3|-|2+|=.5【答案】D【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),因?yàn)锳、B、C為拋物線上不同的三點(diǎn),則A、B、C可以構(gòu)成三角形.拋物線C:x2=12y的焦點(diǎn)為F(0,3),準(zhǔn)線方程為y=-3.因?yàn)镕A+FB+FC=0,所以利用平面向量的相關(guān)知識(shí)可得點(diǎn)F為的重心,從而有x1+x2+

18、x3=0，y1+y2+y3=9.又根據(jù)拋物線的定義可得|FA|=y1-(-3)=y1+3,|FB|=y2-(-3)=y2+3,|FC|=y3-(-3)=y3+3,所以|FA|+|FB|+|FC|=y1+3+y2+3+y3+3=y1+y2+y3+9=18.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義、幾何性質(zhì),向量的相關(guān)知識(shí).解題的關(guān)鍵是判斷出點(diǎn)F為的重心.解題時(shí),先根據(jù)拋物線的方程得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,再根據(jù)FA+FB+FC=0,判斷出點(diǎn)F為的重心,進(jìn)而可得y1+y2+y3=9,最后根據(jù)拋物線的定義求解.6【答案】D,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,故的取值范圍為(0,1.故選D.7【答案】4【解析

19、】由雙曲線x24y2=1可得a=2,則雙曲線的右頂點(diǎn)為(2,0),則,所以p=4.8【答案】【解析】由題意可設(shè)，因此，因此點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離是.9【答案】14【解析】拋物線x=4y2可化為y2=14x,其焦點(diǎn)為F(116,0),準(zhǔn)線方程為x=-116,|MF|=,點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線的距離為,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為116,故直線MF垂直于x軸,|NF|=|MF|=,|MN|=14.10【答案】2【解析】依題意得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(a4,0),設(shè)M在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為K,連接MK,由拋物線的定義知|MF|=|MK|,因?yàn)閨FM|MN|=13,所以|KN|KM|=221,又,kFN=-|KN|KM|=-

20、22,所以=22,解得a=2.由拋物線定義知，得x0=2.由在拋物線上,滿足拋物線的方程y2=4x,知，所以的面積為.12【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為x=.由拋物線的定義知,|AF|=x1+,|BF|=x2+,|CF|=x3+.|AF|,|BF|,|CF|成等差數(shù)列,2|BF|=|AF|+|CF|,2x2=x1+x3.又y2=2px,故2y22=y12+y32.13【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x22py(p0)，則A(2，2)，將其坐標(biāo)代入x22py得p1.x22y.當(dāng)水面下降1 m，得D(x0，3)(x00)，將其坐標(biāo)代入x22y得x02=6，x0=6.水面寬|CD|26m.14【解析】(1)設(shè)A(x1, y1),B(x2,y2),則y12=2px1,y22=2px2.OAOB,x1x2+y1y2=0.y12y22=4p2x1x2=4p2(-y1y2),y1y2=-4p2,x1x2=4p2.即A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積都為定值.y=2py1+y2x-2py1+y2y122p+y1=2py1+y2x+y1y2y1+y2.又y1y2=-4p2,y=2py1+y2x-4p2y1+y2=2py1+y2(x-2p).直線AB過定點(diǎn)(2p,0).直通高考1【答案】D【解析】的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義解析幾何是