江西師范大學(xué)附屬中學(xué)高三5月三模數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)江西師范大學(xué)附屬中學(xué)2022屆高考三模數(shù)學(xué)（理）試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知集合，則（）ABCD2對(duì)任意復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，是z的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中不正確的是（）ABCD3下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）ABCD4等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足：，則（）A72B75C60D1005甲乙丙丁四名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人只報(bào)一項(xiàng)，記事件“四名同學(xué)所報(bào)比賽各不相同”，事件“甲同學(xué)單獨(dú)報(bào)一項(xiàng)比賽”，則（）ABCD6雙碳，即碳達(dá)峰與碳中和的簡(jiǎn)稱，2

2、020年9月中國(guó)明確提出2030年實(shí)現(xiàn)“碳達(dá)峰”，2060年實(shí)現(xiàn)“碳中和”為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，中國(guó)加大了電動(dòng)汽車的研究與推廣，到2060年，純電動(dòng)汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動(dòng)力電池隨之也迎來了蓬勃發(fā)展的機(jī)遇Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：Ah），放電時(shí)間t（單位：h）與放電電流I（單位：A）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式，其中為Peukert常數(shù)在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間，則當(dāng)放電電流，放電時(shí)間為（）A28hB28.5hC29hD29.5h7如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）ABCD8設(shè)，若，則（）ABCD9十八世紀(jì)早期，英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒

3、發(fā)現(xiàn)了如下公式：（其中）現(xiàn)用上述公式求的值，下列選項(xiàng)中與該值最接近的是（）ABCD10滕王閣，位于江西省南昌市西北部沿江路贛江東岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代詩(shī)人王勃詩(shī)句“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色”而流芳后世如圖，小明同學(xué)為測(cè)量滕王閣的高度，在滕王閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為，在它們的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）測(cè)得樓頂A，滕王閣頂部C的仰角分別為和，在樓頂A處測(cè)得閣頂部C的仰角為，則小明估算滕王閣的高度為（）（精確到）ABCD11已知是雙曲線：的右焦點(diǎn)，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的中點(diǎn)分別為，若，則雙曲線的離心率為（）ABCD12設(shè)則a，b，c大小關(guān)系是（）AB

4、CD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13已知均為單位向量，且，則_14若多項(xiàng)式展開式僅在第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則多項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為_15定義在上的函數(shù)有零點(diǎn)，且值域，則的取值范圍是_16勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動(dòng)勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分，如圖所示，若正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，則下列結(jié)論正確的序號(hào)是_能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長(zhǎng)的最小值為a；勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為；勒洛四面體的截面面積的最大值為； 勒洛四面體的

5、體積；三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答17設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值18如圖，已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)M，N分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且如圖，將沿MN折起到的位置(1)求證：平面平面BCNM；(2)若二面角的大小為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值19已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，且橢圓的離心率為(1)求橢圓的方程；(2)是否存在直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且F點(diǎn)恰為的垂心？若

6、存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由20新型冠狀病毒的傳染主要是人與人之間進(jìn)行傳播，感染人群年齡大多數(shù)是歲以上人群.該病毒進(jìn)入人體后有潛伏期.潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時(shí)間.潛伏期越長(zhǎng)，感染到他人的可能性越高.現(xiàn)對(duì)個(gè)病例的潛伏期(單位：天)進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)潛伏期平均數(shù)為，方差為.如果認(rèn)為超過天的潛伏期屬于“長(zhǎng)潛伏期”，按照年齡統(tǒng)計(jì)樣本，得到下面的列聯(lián)表：年齡/人數(shù)長(zhǎng)期潛伏非長(zhǎng)期潛伏50歲以上6022050歲及50歲以下4080（1）是否有的把握認(rèn)為“長(zhǎng)期潛伏”與年齡有關(guān)；（2）假設(shè)潛伏期服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.（i）現(xiàn)在很多省市對(duì)入境旅

7、客一律要求隔離天，請(qǐng)用概率的知識(shí)解釋其合理性；（ii）以題目中的樣本頻率估計(jì)概率，設(shè)個(gè)病例中恰有個(gè)屬于“長(zhǎng)期潛伏”的概率是，當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值.附：0.10.050.0102.7063.8416.635若，則，.21已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上是否存在極值，若存在，請(qǐng)判斷是極大值還是極小值；若不存在，說明理由；(2)求證：函數(shù)在區(qū)間上只有兩個(gè)零點(diǎn)（二）選考題：共10分請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分22選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，且其傾斜角，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸

8、正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系(1)求直線l的參數(shù)方程和曲線C的極坐標(biāo)方程：(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求的值23選修45：不等式選講（10分）已知是正實(shí)數(shù)，且(1)求的最小值m；(2)若恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍PAGE 答案第 = 1頁(yè)，共 = sectionpages 2 2頁(yè)P(yáng)AGE 18頁(yè)參考答案：1D【解析】【分析】根據(jù)分式不等式和對(duì)數(shù)不等式的運(yùn)算求出集合A、B，結(jié)合并集的定義和運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意得，由， 即，即，所以.故選：D.2B【解析】【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可判斷A；利用復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可判斷B；利用

9、共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可判斷C；利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，得，則，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋蔇正確.故選：B.3D【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義以及導(dǎo)數(shù)分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故A不符合題意；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又，令，令，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，故B不符合題意；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?Z)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)

10、，又，所以在上單調(diào)遞增，故C不符合題意；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以是奇函數(shù)，又，令，則為增函數(shù)，又函數(shù)為增函數(shù)，所以在R上單調(diào)遞增，故D符合題意.故選：D.4B【解析】【分析】由，可得，再利用等差數(shù)列的求和公式可求出結(jié)果【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，得，化簡(jiǎn)得，所以，故選：B5D【解析】求出，根據(jù)條件概率公式即可得解.【詳解】由題：，.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查求條件概率，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出AB的概率和B的概率，根據(jù)條件概率公式計(jì)算求解.6B【解析】【分析】根據(jù)題意求出蓄電池的容量C，再把代入，結(jié)合指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得解.【詳解】解：根據(jù)題意可得，則當(dāng)時(shí)，所以，即當(dāng)

11、放電電流，放電時(shí)間為28.5h.故選：B.7D【解析】【分析】由三視圖可知該幾何體是正四棱柱截去兩個(gè)小三棱錐所得，從而可求出體積【詳解】如圖，幾何體是正四棱柱截去兩個(gè)小三棱錐所得，故選：D8D【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及二倍角余弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性確定結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，因此由得故選：D【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、二倍角余弦公式、正切函數(shù)性質(zhì)，考查綜合分析化簡(jiǎn)能力，屬中檔題.9B【解析】【分析】利用已知公式，將公式兩邊分別求導(dǎo)，結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可得到，求解即可.【詳解】因?yàn)椋ㄆ渲校?，所以?duì)兩邊分別求導(dǎo)可得：.令x=1可得：.又，則.故選：B10D【解析】【分析】在中求得，由正弦

12、定理得，再在中，計(jì)算即可.【詳解】由題意得，在中，在中，所以，由正弦定理，得，又，在中，.故選：D.11A【解析】【分析】設(shè)位于第一象限，由，得到，連接，得到，根據(jù)題意得到，求得，得出的值，結(jié)合雙曲線的定義和離心率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限，因?yàn)?，所以，設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，連接，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，所以，所以，所以，又直線的方程為，所以，所以，得，所以，所以，由雙曲線的定義可知，所以雙曲線的離心率故選：A【點(diǎn)睛】求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于

13、的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.12A【解析】【分析】根據(jù)自然常數(shù)的定義和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可知、，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得，進(jìn)而可得，即可得出結(jié)果.【詳解】由，故；，故；假設(shè)，有，令，則，所以在上單調(diào)遞增，而，則，所以成立，；故故選：A131【解析】【分析】由題得，平方即可求解.【詳解】由可得，所以，即，所以.故答案為：1.14【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得，又，結(jié)合展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.【詳解】多項(xiàng)式展開式僅在第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則，解得，由得，所以多項(xiàng)式，所以展開式中的系數(shù)為故

14、答案為：-56.15【解析】【分析】化簡(jiǎn)可得，根據(jù)題意可得，即可求出.【詳解】，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)有零點(diǎn)，所以，解得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)橹涤?，所以，解得，綜上，.故答案為：.16【解析】【分析】先求得正四面體的外接球半徑、內(nèi)切球半徑、正四面體的體積和外接球的體積，結(jié)合勒洛四面體的結(jié)構(gòu)依次分析命題，即可得出結(jié)果.【詳解】正四面體ABCD棱長(zhǎng)為a，設(shè)M是底面BCD的中心，O是其外接球（也是內(nèi)切球）的球心，外接球半徑為R，高為AM，如圖，由得，解得，（內(nèi)切球半徑）所以正四面體ABCD的體積為，外接球體積為對(duì)于，由勒洛四面體的結(jié)構(gòu)知，能容納勒洛四面體正方體的棱長(zhǎng)的最小值為a，故正確；對(duì)于，勒洛四面體能夠容納的最大

15、球與勒洛四面體的弧面相切，如圖，其中點(diǎn)E為該球與勒洛四面體的一個(gè)切點(diǎn)，O為該球的球心，易知該球的球心O為正四面體ABCD的中心，半徑為OE，連接BE，易知B、O、E三點(diǎn)共線，且，因此，故正確；對(duì)于，由勒洛四面體的結(jié)構(gòu)知勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為a，最大的截面即經(jīng)過四面體ABCD表面的截面，如圖，根據(jù)勒洛四面體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，不妨設(shè)此截面為投影光線垂直于正四面體的一個(gè)面ABD時(shí)，勒洛四面體在與平面ABD平行的一個(gè)投影平面上的正投影，當(dāng)光線與平面ABD夾角不為時(shí)，易知截面投影均為上圖所示圖像在平面上的投影，其面積必然減小上圖截面為三個(gè)半徑為a，圓心角為的扇形的面積減去兩個(gè)邊長(zhǎng)為a的正

16、三角形的面積，即，故錯(cuò)誤；對(duì)于，勒洛四面體的體積介于正四面體ABCD的體積和正四面體ABCD的外接球的體積之間，正四面體ABCD的體積，正四面體ABCD的外接球的體積，所以，故正確故答案為：.17(1)(2)【解析】【分析】(1)利用與之間的關(guān)系可得，根據(jù)待定系數(shù)法可證明數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出結(jié)果；(2)根據(jù)裂項(xiàng)相消法可得，進(jìn)而求出，有對(duì)恒成立，從而得出的最小值.(1)由，又，兩式相減可得，即，又當(dāng)時(shí)，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列所以，即；(2)由，則，因?yàn)椋?，即?duì)恒成立，所以實(shí)數(shù)的最小值為18(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）通

17、過證明可得平面即可證明；（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量關(guān)系即可求出.(1)如圖，在中，由，則，故，則，所以 如圖，則有，又，則平面，又平面BCNM，所以平面平面BCNM；(2)由（1）知，即為二面角的平面角，則，在內(nèi)過點(diǎn)作于O，連接OC，則，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，以分別為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，又平面的一個(gè)法向量為，則，故所求銳二面角的余弦值為19(1)(2)存在；【解析】【分析】(1)根據(jù)題意和橢圓離心率的定義可得，由三角形的面積公式可得，即可求出；(2)設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示出和，結(jié)合垂心的定義可得，根據(jù)平面向量數(shù)量積的

18、坐標(biāo)表示列出關(guān)于m的方程，解之即可.(1)依題意得，即，則，又，則，所以所求橢圓的方程為(2)由（1）知，故直線MF的斜率為若符合題意的直線l存在，可設(shè)直線，由，消去y整理得，則，即又，則，由F點(diǎn)恰為的垂心等價(jià)于，即由于，故，所以或當(dāng)時(shí)，直線PQ經(jīng)過點(diǎn)M，此時(shí)不構(gòu)成三角形，故舍去故直線l的方程為20（1）有；（2）（i）答案見解析；（ii）250.【解析】【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，利用求得，與臨界表值對(duì)比下結(jié)論；（2）()根據(jù)，利用小概率事件判斷； ()易得一個(gè)患者屬于“長(zhǎng)潛伏期”的概率是，進(jìn)而得到，然后判斷其單調(diào)性求解.【詳解】（1）依題意有，由于，故有的把握認(rèn)為“長(zhǎng)期潛伏”與年齡有

19、關(guān)；（2）()若潛伏期，由，得知潛伏期超過天的概率很低，因此隔離天是合理的；()由于個(gè)病例中有個(gè)屬于長(zhǎng)潛伏期，若以樣本頻率估計(jì)概率，一個(gè)患者屬于“長(zhǎng)潛伏期”的概率是，于是，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，.故當(dāng)時(shí)，取得最大值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可以簡(jiǎn)化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式的三個(gè)條件：(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p；(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率21(1)存在；極小值(2)證明見解析【解析】【分析】（1）轉(zhuǎn)化為判斷導(dǎo)函數(shù)是否存在變號(hào)零點(diǎn)，對(duì)求導(dǎo)后，判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得結(jié)果；（2）當(dāng)時(shí)，利用單調(diào)性得恒成立，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得在上只有一個(gè)零點(diǎn).由此可證結(jié)