集合與簡(jiǎn)易邏輯復(fù)習(xí)與小結(jié)

1、 集合與簡(jiǎn)易邏輯復(fù)習(xí)與小結(jié) 一、基礎(chǔ)知識(shí)總結(jié)基礎(chǔ)知識(shí)框圖表解二、重點(diǎn)知識(shí)歸納、總結(jié)1、集合部分解決集合問(wèn)題時(shí)，首先要明確集合元素的意義，弄清集合由哪些元素組成，需要對(duì)集合的文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化其次，由于集合知識(shí)概念多、符號(hào)多，所以要注意集合的特性，空集的特殊性，符號(hào)的表示的特殊性三是注意知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，注意集合思想與函數(shù)思想的聯(lián)系，集合與不等式、解析幾何、三角函數(shù)等知識(shí)的聯(lián)系（1）集合中元素的三大特征（2）集合的分類（3）集合的三種表示方法（4）集合的運(yùn)算n元集合共有2n個(gè)子集，其中有2n1個(gè)真子集，2n1個(gè)非空子集；AB=x|xA且xBAB=x|xA或xBA=x|xS且

2、xA，其中AS.2、不等式的解法（1）含有絕對(duì)值的不等式的解法|x|0)axa(a0) xa，或xa.|f(x)|g(x) g(x)f(x)g(x) f(x)g(x)或f(x)g(x).|f(x)|g(x)| f(x)2g(x)2f(x)g(x)f(x)g(x)0.對(duì)于含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的絕對(duì)值符號(hào)的絕對(duì)值不等式，利用“零點(diǎn)分段討論法”去絕對(duì)值. 如解不等式：|x3|2x1|0（a0），或ax2bxc0（a0）的形式，再根據(jù)“大于取兩邊，小于夾中間”得解集（若判別式0，則利用配方法求解較方便）詳細(xì)解集見(jiàn)下表：判別式=b24ac0=00）的圖象y=ax2bxcy=ax2bxcy=ax2bxc一元

3、二次方程ax2bxc=0（a0）的根有兩相異實(shí)根x1,x2(x10（a0）的解集x|xx2Rax2bxc0）的解集x|x1xx2（3）分式不等式的解法分類討論去分母法：轉(zhuǎn)整式不等式法：運(yùn)用時(shí)，必須使不等式一邊為0，轉(zhuǎn)化為0形式，則：（4）高次不等式的解法3、簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)邏輯聯(lián)結(jié)詞 “或”、“且”、“非”是判斷簡(jiǎn)單合題與復(fù)合命題的依據(jù)；真值表是由簡(jiǎn)單命題和真假判斷復(fù)合命題真假的依據(jù)，理解好四種命題的關(guān)系，對(duì)判斷命題的真假有很大幫助；掌握好反證法證明問(wèn)題的步驟（1）命題簡(jiǎn)單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題復(fù)合命題：由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題（2）復(fù)合命題的真值表 非p形式復(fù)合命題的真假可以用下表表

4、示.p非p真假假真 p且q形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示.pqp且q真真真真假假假真假假假假 p或q形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示.pqp或q真真真真假真假真真假假假（3）四種命題及其相互之間的關(guān)系一個(gè)命題與它的逆否命題是等價(jià)的（4）充分、必要條件的判定若pq且qp，則p是q的充分不必要條件；若pq且qp，則p是q的必要不充分條件；若pq且qp，則p是q的充要條件；若pq且qp，則p是q的既不充分也不必要條件.（5）反證法反證法是“命題與其逆否命題等價(jià)”這一理論的具體體現(xiàn)，用反證法證明命題的一般步驟是：假設(shè)命題的結(jié)論不成立.經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾.由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正

5、確.4、運(yùn)用知識(shí)、運(yùn)用方法過(guò)程中應(yīng)注意的主要問(wèn)題（1）正確理解集合的概念必須掌握構(gòu)成集合的兩個(gè)必要條件：研究對(duì)象是具體的，其屬性是確定的（2）在判斷給定對(duì)象能否構(gòu)成集合時(shí)，特別要注意它的“確定性”，在表示一個(gè)集合時(shí)，要特別注意它的“互異性”、“無(wú)序性”（3）在集合運(yùn)算中必須注意組成集合的元素應(yīng)具備的性質(zhì)（4）對(duì)由條件給出的集合要明白它所表示的意義，即元素指什么，是什么范圍用集合表示不等式（組）的解集時(shí)，要注意分辨是交集還是并集，結(jié)合數(shù)軸或文氏圖的直觀性幫助思維判斷空集是任何集合的子集，但因?yàn)椴缓糜梦氖蠄D形表示，容易被忽視，如在關(guān)系式中，易漏掉的情況（5）若集合中的元素是用坐標(biāo)形式表示的，要注意

6、滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的圖形是什么，用數(shù)形結(jié)合法解之（6）若集合中含有參數(shù)，須對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，討論時(shí)既不重復(fù)又不遺漏（7）解不等式的基本思想是化歸、轉(zhuǎn)化，解含有參數(shù)的不等式常需要分類討論，同解變形是解不等式的理論依據(jù)（8）學(xué)習(xí)四種命題，關(guān)鍵是理解命題結(jié)構(gòu)及邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義，掌握四種命題間的關(guān)系是學(xué)習(xí)充要條件的基礎(chǔ)（9）基本的邏輯知識(shí)是認(rèn)識(shí)問(wèn)題和研究問(wèn)題不可缺少的工具，是我們進(jìn)行學(xué)習(xí)、掌握和使用語(yǔ)言的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)又是邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，因此，學(xué)習(xí)一些邏輯知識(shí)是非常必要的，通過(guò)學(xué)習(xí)和訓(xùn)練可以規(guī)范和提高推理的技能，發(fā)展思維能力重點(diǎn)是正確使用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”，是否使用得

7、當(dāng)?shù)囊罁?jù)是真值表，利用真值表再結(jié)合四種命題的充要條件可判定復(fù)合命題的真假性注意區(qū)別一些易錯(cuò)的邏輯關(guān)系，如“都是”、“都不是”、“不都是”5、在學(xué)習(xí)和運(yùn)用集合知識(shí)的過(guò)程中，須注意的幾個(gè)問(wèn)題目前在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，集合知識(shí)主要有兩方面的應(yīng)用（1）把集合作為一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言，以表達(dá)一定范圍或具有某些特性的元素例如，方程（或方程組）的解集，不等式（或不等式組）的解集，具有某種性質(zhì)或滿足某些條件的數(shù)集、點(diǎn)集、向量集（以后會(huì)學(xué)）等，因集合元素的任意性，使得集合語(yǔ)言有著廣泛的應(yīng)用性（2）使用集合間的運(yùn)算法則或運(yùn)算思想，解決某些邏輯關(guān)系較復(fù)雜的問(wèn)題例如，運(yùn)用集合法判斷真假?gòu)?fù)合命題和充要條件，運(yùn)用集合的交集思想、并集

8、思想、補(bǔ)集思想解題等三、學(xué)法指導(dǎo)（一）要注意理解、正確運(yùn)用集合概念例1、若P=y|y=x2,xR，Q=y|y=x21,xR，則PQ等于（） APBQCD不知道 分析：類似上題知P集合是y=x2（xR）的值域集合，同樣Q集合是y= x21（xR）的值域集合，這樣PQ意義就明確了 解：事實(shí)上，P、Q中的代表元素都是y，它們分別表示函數(shù)y=x2,y=x21的值域，由P=y|y0,Q=y|y1，知QP，即PQ=Q 應(yīng)選B 例2、若P=y|y=x2,xR，Q=(x，y)|y=x2,xR，則必有（） APQ=BP Q CP=Q DPQ 分析：有的同學(xué)一接觸此題馬上得到結(jié)論P(yáng)=Q，這是由于他們僅僅看到兩集合

9、中的y=x2,xR相同，而沒(méi)有注意到構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是不同的，P集合是函數(shù)值域集合，Q集合是y=x2,xR上的點(diǎn)的集合，代表元素根本不是同一類事物解：正確解法應(yīng)為：P表示函數(shù)y=x2的值域，Q表示拋物線y=x2上的點(diǎn)組成的點(diǎn)集，因此PQ=應(yīng)選A（二）要充分注意集合元素的互異性集合元素的互異性，是集合的重要屬性，教學(xué)實(shí)踐告訴我們，集合中元素的互異性常常被學(xué)生在解題中忽略，從而導(dǎo)致解題的失敗，下面再結(jié)合例題進(jìn)一步講解以期強(qiáng)化對(duì)集合元素互異性的認(rèn)識(shí)例3、若A=2，4,a32a2a7,B=1,a1,a22a2,(a23a8),a3a23a7，且AB=2，5，試求實(shí)數(shù)a的值解：AB=2，5，a32a2

10、a7=5,由此求得a=2或a=1至此不少學(xué)生認(rèn)為大功告成，事實(shí)上，這只是保證A=2,4,5，集合B中的元素是什么，它是否滿足元素的互異性，有待于進(jìn)一步考查當(dāng)a=1時(shí)，a22a2=1，與元素的互異性相違背，故應(yīng)舍去a=1當(dāng)a=1時(shí)，B=1,0,5,2,4，與AB=2，5相矛盾，故又舍去a=1當(dāng)a=2時(shí)，A=2，4，5,B=1,3,2,5,25，此時(shí)AB=2，5，滿足題設(shè)故a=2為所求例4、已知集合A=x|x23x2=0,B=x|x2axa1=0，且AB=A，則a的值為_(kāi)分析：由AB=A而推出B有四種可能，進(jìn)而求出a的值解： AB=A， ， A=1，2， B=或B=1或B=2或B=1，2若B=，則

11、令0得aR且a2，把x=1代入方程得aR，把x=2代入方程得a=3，綜上a的值為2或3點(diǎn)評(píng)：本題不能直接寫(xiě)出B=1，a1，因?yàn)閍1可能等于1，與集合元素的互異性矛盾，另外還要考慮到集合B有可能是空集，還有可能是單元素集的情況（三）要注意掌握好證明、判斷兩集合關(guān)系的方法集合與集合之間的關(guān)系問(wèn)題，是我們解答數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中經(jīng)常遇到，并且必須解決的問(wèn)題，因此應(yīng)予以重視反映集合與集合關(guān)系的一系列概念，都是用元素與集合的關(guān)系來(lái)定義的因此，在證明（判斷）兩集合的關(guān)系時(shí)，應(yīng)回到元素與集合的關(guān)系中去例5、設(shè)集合A=a|a=n21,nN*，集合B=b|b=k24k5,kN*，試證：AB 證明：任設(shè)aA，則a=n2

12、1=(n2)24(n2)5(nN*), nN*， n2N* aB故顯然，而由B=b|b=k24k5,kN*=b|b=(k2)21, kN*知1B，于是AB由、 得AB點(diǎn)評(píng)：（1）判定集合間的關(guān)系，其基本方法是歸結(jié)為判定元素與集合之間關(guān)系（2）判定兩集合相等，主要是根據(jù)集合相等的定義（3）兩個(gè)集合A、B相等，之所以不以“A、B所含元素完全相同”來(lái)定義，而是用子集來(lái)定義，顯然比較科學(xué)，它具有可操作性，用起來(lái)很方便（四）要注意空集的特殊性和特殊作用空集是一個(gè)特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集顯然，空集與任何集合的交集為空集，與任何集合的并集仍等于這個(gè)集合當(dāng)題設(shè)中

13、隱含有空集參與的集合關(guān)系時(shí)，其特殊性很容易被忽視的，從而引發(fā)解題失誤例6、已知集合A=x|x2(m2)x1=0,xR，若AR=，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_分析：從方程觀點(diǎn)看，集合A是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2(m2)x1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由AR=可知該方程只有兩個(gè)負(fù)根或無(wú)實(shí)數(shù)根，從而分別由判別式轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的不等式，并解出m的范圍解：由AR=又方程x2(m2)x1=0無(wú)零根，所以該方程只有兩個(gè)負(fù)根或無(wú)實(shí)數(shù)根，即或=(m2)240解得m0或4m4點(diǎn)評(píng)：此題容易發(fā)生的錯(cuò)誤是由AR=只片面地推出方程只有兩個(gè)負(fù)根（因?yàn)閮筛e為1，因?yàn)榉匠虩o(wú)零根），而把A=漏掉，因此要全面準(zhǔn)確理解

14、和識(shí)別集合語(yǔ)言例7、已知集合A=x|x23x100，集合B=x|p1x2p1若BA，求實(shí)數(shù)p的取值范圍解：由x23x100得2x5欲使BA，只須 p的取值范圍是3p3上述解答忽略了“空集是任何集合的子集”這一結(jié)論，即B=時(shí)，符合題設(shè)應(yīng)有：當(dāng)B時(shí)，即p12p1p2由BA得：2p1且2p15由3p3 2p3當(dāng)B=時(shí)，即p12p1p2由、得：p3點(diǎn)評(píng)：從以上解答應(yīng)看到：解決有關(guān)AB=、AB=，AB等集合問(wèn)題易忽視空集的情況而出現(xiàn)漏解，這需要在解題過(guò)程中要全方位、多角度審視問(wèn)題（五）要注意集合語(yǔ)言與其它數(shù)學(xué)語(yǔ)言互譯的準(zhǔn)確性事實(shí)上，各種數(shù)學(xué)語(yǔ)言形態(tài)間的互譯，可為我們?cè)诟鼜V闊的思維領(lǐng)域里尋找問(wèn)題的解決途徑

15、，因而這種互譯是我們?cè)诮忸}過(guò)程中常常必須做的事情對(duì)于用集合語(yǔ)言敘述的問(wèn)題，求解時(shí)往往需要轉(zhuǎn)譯成一般的代數(shù)語(yǔ)言或幾何語(yǔ)言例8、已知集合有唯一元素，用列舉法表示a的值構(gòu)成的集合A 解：集合B表示方程即方程x2xa2=0有等根時(shí)a的取值集合方程有等根的條件是=(1)24(a2)=0,解得a=因此A=以上解法對(duì)嗎？不難看出，將A譯為方程有等根時(shí)a的取值集合是不準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)譯時(shí)忽視了x220，即這一隱含條件可見(jiàn)，與方程等價(jià)的應(yīng)是混合組：（）因此，在討論方程有唯一實(shí)根時(shí)，須照顧到：由于方程為分式方程，可能有增根，當(dāng)條件的二實(shí)根中有一個(gè)是方程的增根或時(shí)，方程也只有一個(gè)實(shí)根，正確解法是：方程等價(jià)于混合組（）（1）

16、當(dāng)有等根時(shí)，同上解得a=，此時(shí)，適合；（2）當(dāng)有兩個(gè)不等的實(shí)根時(shí)，由0可得a當(dāng)為的增根時(shí)，由得；當(dāng)為的增根時(shí)，由得 由（1）、（2）得點(diǎn)評(píng)：（1）集合語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯成其它語(yǔ)言，轉(zhuǎn)譯的準(zhǔn)確與否直接關(guān)系到解題的成功與失?。?）集合語(yǔ)言與其它語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯過(guò)程中，根據(jù)問(wèn)題的需要也可能轉(zhuǎn)譯成圖形語(yǔ)言，利用數(shù)形結(jié)合解題根據(jù)解題需要，有時(shí)也可能將其它語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯為集合語(yǔ)言（六）要注意數(shù)形結(jié)合解集合問(wèn)題集合問(wèn)題大都比較抽象，解題時(shí)要盡可能借助文氏圖、數(shù)軸或直角坐標(biāo)系等工具將抽象問(wèn)題直觀化、形象化、明朗化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法使問(wèn)題靈活直觀地獲解例9、設(shè)A=x|2x1，B=x|x2axb0，已知AB=x|x2，AB=x

17、|1x3，試求a、b的值分析：可在數(shù)軸上畫(huà)出圖形，利用圖形分析解答解：如圖所示，設(shè)想集合B所表示的范圍在數(shù)軸上移動(dòng)，顯然當(dāng)且僅當(dāng)B覆蓋住集合x(chóng)|1x2，且AB=x|1x3根據(jù)二次不等式與二次方程的關(guān)系，可知1與3是方程x2axb=0的兩根， a=(13)=2， b=(1)3=3點(diǎn)評(píng)：類似本題多個(gè)集合問(wèn)題，借助于數(shù)軸上的區(qū)間圖形表示進(jìn)行處理，采用數(shù)形結(jié)合的方法，會(huì)得到直觀、明了的解題效果例10、若關(guān)于x的不等式|x2|1x|a有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析：可利用補(bǔ)集思想解題，先求不等式|x2|1-x|a無(wú)解的a的取值范圍.即對(duì)任意實(shí)數(shù)x，總有|x1|x2|a. a|x2|1-x|的最小值.由

18、知：3|x2|1-x|3. |x2|1x|a無(wú)解時(shí)，a3.故 |x2|1x|3.（七）要注意交集思想、并集思想、補(bǔ)集思想的運(yùn)用對(duì)于一些比較復(fù)雜、比較抽象，條件和結(jié)論之間關(guān)系不明朗，難于從正面入手的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在解題時(shí)，可調(diào)整思路，從問(wèn)題的反面入手，探求已知與未知的關(guān)系，這樣能起到反難為易，化隱為顯，從而將問(wèn)題得以解決，這就是“正難則反”的解題策略，是補(bǔ)集思想的具體應(yīng)用有的問(wèn)題，根據(jù)問(wèn)題具體情況，也可采用交集思想、并集思想去處理例11、已知集合A=x|x24mx2m6=0,xR，若AR，求實(shí)數(shù)m的取值范圍分析：集合A是方程x24mx2m6=0的實(shí)數(shù)解組成的非空集合，AR意味著方程的根有：（1）兩負(fù)

19、根，（2）一負(fù)根一零根，（3）一負(fù)根一正根三種情況，分別求解較麻煩，上述三種情況雖可概括為方程的較小根,但在目前的知識(shí)范圍內(nèi)求解存在困難，如果考慮題設(shè)AR的反面：AR=，則可先求方程的兩根x1、x2均非負(fù)時(shí)m的取值范圍用補(bǔ)集思想求解尤為簡(jiǎn)便解：設(shè)全集U=m|=(4m)24(2m6)0 =m|m1或m若方程x24mx2m6=0的二根為x1、x2均非負(fù)，則因此，m|m關(guān)于U補(bǔ)集m|m1即為所求點(diǎn)評(píng)：采用“正難則反”的解題策略具體地說(shuō)，就是將所研究對(duì)象的全體視為全集，求出使問(wèn)題反面成立的集合A，即 便為所求例12、命題甲：方程x2mx1=0有兩個(gè)相異負(fù)根；命題乙：方程4x24(m2)x1=0無(wú)實(shí)根，這兩個(gè)命題有且只有一個(gè)成立，求m的取值范圍 分析：使命題甲成立的m的集合為A，使命題乙成立的m的集合為B，有且只有一個(gè)命題成立是求A與B的