柯西積分公式PPT

1、關(guān)于柯西積分公式PPT1第一張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月2一、問題的提出根據(jù)閉路變形原理知, 該積分值不隨閉曲線 C 的變化而改變, 求這個值.第二張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月3第三張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月4二、柯西積分公式定理證第四張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月5第五張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月6上不等式表明, 只要 R 足夠小, 左端積分的模就可以任意小,根據(jù)閉路變形原理知, 左端積分的值與 R 無關(guān), 所以只有在對所有的 R 積分值為零時才有可能.證畢柯西積分公式柯西介紹第六張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月7關(guān)于柯西積

2、分公式的說明:(1) 把函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的值表示. (這是解析函數(shù)的又一特征)(2) 公式不但提供了計算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法, 而且給出了解析函數(shù)的一個積分表達(dá)式.(這是研究解析函數(shù)的有力工具)(3) 一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.第七張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月8三、典型例題例1解第八張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月9由柯西積分公式第九張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月10例2解由柯西積分公式第十張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月11根據(jù)復(fù)合閉路定理,回到前面我們講過的例子：基于化為部分分式現(xiàn)在：只將分母分解因式

3、第十一張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月12根據(jù)復(fù)合閉路定理,回到前面我們講過的例子：現(xiàn)在：第十二張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月13例3解由柯西積分公式第十三張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月14例解根據(jù)柯西積分公式知,第十四張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月15例5解第十五張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月16例5解第十六張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月17由閉路復(fù)合定理, 得例5解第十七張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月18例6解根據(jù)柯西積分公式知,第十八張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月19比較兩式得第十九張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2

4、022年6月20課堂練習(xí)答案第二十張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月21四、高階導(dǎo)數(shù)問題:(1) 解析函數(shù)是否有高階導(dǎo)數(shù)? (2) 若有高階導(dǎo)數(shù), 其定義和求法是否與實(shí)變函數(shù)相同?回答:(1) 解析函數(shù)有各高階導(dǎo)數(shù). (2) 高階導(dǎo)數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示, 這與實(shí)變函數(shù)完全不同.解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義是什么?第二十一張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月22定理證第二十二張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月23根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,從柯西積分公式得第二十三張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月24第二十四張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月25第二十五張，PPT

5、共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月26再利用以上方法求極限第二十六張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月27至此我們證明了一個解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù).依次類推, 利用數(shù)學(xué)歸納法可證證畢高階導(dǎo)數(shù)公式的作用: 不在于通過積分來求導(dǎo), 而在于通過求導(dǎo)來求積分.第二十七張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月28高階導(dǎo)數(shù)典型例題例7解第二十八張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月29第二十九張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月30根據(jù)復(fù)合閉路定理第三十張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月31第三十一張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月32例8解第三十二張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于202

6、2年6月33第三十三張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月34例9解由柯西古薩基本定理得由柯西積分公式得第三十四張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月35第三十五張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月36課堂練習(xí)答案第三十六張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月37例10解第三十七張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月38根據(jù)復(fù)合閉路定理和高階導(dǎo)數(shù)公式,第三十八張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月39第三十九張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月40例11(Morera定理)證依題意可知第四十張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月41參照本章第四節(jié)定理二, 可證明因?yàn)榻馕龊瘮?shù)

7、的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),第四十一張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月42例12證不等式即證.第四十二張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月43四、小結(jié)與思考 柯西積分公式是復(fù)積分計算中的重要公式, 它的證明基于柯西古薩基本定理, 它的重要性在于: 一個解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在邊界上的值通過積分表示, 所以它是研究解析函數(shù)的重要工具.柯西積分公式:第四十三張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月44 高階導(dǎo)數(shù)公式是復(fù)積分的重要公式. 它表明了解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)這一異常重要的結(jié)論, 同時表明了解析函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別.高階導(dǎo)數(shù)公式第四十四張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年

8、6月45思考題 1. 柯西積分公式是對有界區(qū)域而言的, 能否推廣到無界區(qū)域中? 2. 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式說明解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有何不同?第四十五張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月46思考題1答案可以.其中積分方向應(yīng)是順時針方向.放映結(jié)束，按Esc退出.第四十六張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月47思考題2答案這一點(diǎn)與實(shí)變量函數(shù)有本質(zhì)的區(qū)別.放映結(jié)束，按Esc退出.第四十七張，PPT共五十頁，創(chuàng)作于2022年6月48Augustin-Louis CauchyBorn: 21 Aug 1789 in Paris, FranceDied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France柯西資料第四十八張，PPT共