不確定系統(tǒng)的橢圓區(qū)域極點配置

1、不確定系統(tǒng)的橢圓區(qū)域極點配置Pole Assignment for Uncertain Linear Systems in a specified EllipseLin Yufeng(Mathematics and Computer Science College of Fuzhou University, Fujian Fuzhou 350108)Linear matrix inequalities (LMIs) form of the ellipse domain is addressed based on the linear matrix inequalities (LMIs) app

2、roach. The sufficient condition of the pole assignment of the uncertain systems and disperse systems is derived based on LMIs method. Finally an example is provided to demonstrate the applicability of this proposed approach.引言控制理論的一個基本問題是設(shè)計反饋控制律, 將閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在期望的位置, 即極點配置問題。 事實上 , 精確的極點配置是不需要的 , 只要滿足將

3、閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在左半復(fù)平面的一個指定位置就可以了。近些年, 不同區(qū)域的極點配置問題理論的研究已經(jīng)十分活躍1-6, 例如 : 垂直或水平帶區(qū)域; 扇形區(qū)域 4; 圓形區(qū)域 6 和雙曲線等區(qū)域的極點配置都取得了一些進展。事實上 , 我們可以將圓盤區(qū)域的極點配置問題推廣到橢圓區(qū)域。然而 , 對于橢圓區(qū)域的魯棒穩(wěn)定性研究卻鮮見報道。本文主要研究橢圓區(qū)域的LMIs表示形式,并應(yīng)用LMIs方法,來設(shè)計狀態(tài)反饋控制器, 使閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在給定的橢圓區(qū)域內(nèi) , 推廣了基于圓盤區(qū)域內(nèi)的極點配置。最后 , 通過仿真算例 ,證明了該定理的可行性。問題描述和引理考慮以下狀態(tài)方程描述的一類不確定連續(xù)或離散系統(tǒng)

4、:其中分別是系統(tǒng)的狀態(tài)和控制向量; 是一個算子; 對于連續(xù)系統(tǒng) , 是微分算子, 即 , 對離散系統(tǒng), 表示延遲算子, 即 ;A,B 是具有適當(dāng)維數(shù)的實常數(shù)矩陣 , 表示系統(tǒng)的擾動, 且假定具有以下的形式:其中是具有適當(dāng)維數(shù)的實常數(shù)矩陣 , 是滿足的未知矩陣, 是表示適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣。定義11對復(fù)平面中的區(qū)域D,如果存在一個對稱矩陣和矩陣 , 使得 : (3)則稱D是一個線性矩陣不等式區(qū)域(簡記LMI區(qū)域)。定義 21 對于系統(tǒng) (1) 假設(shè)系統(tǒng)的系數(shù)矩陣在復(fù)平面上給定的橢圓區(qū)域D即(3)是穩(wěn)定的，對所有允許的不確定性，如果存在控制器 , 使其所對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)的所有極點均配置到給定的橢圓區(qū)域

5、D內(nèi)，則稱該控制器為給定區(qū)域極點配置的魯棒D穩(wěn)定控 制。引理11給定由 式描述的LMI區(qū)域D,則矩陣是D-穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個正定矩陣, 使得 (4)其中 : 。引理29設(shè)Y為對稱矩陣,為適維常值陣，E為時變適維陣, 滿足 , 標(biāo)量 , 則的充分必要條件為本文的目的是, 針對其不確定性, 設(shè)計狀態(tài)反饋控制器:, 使得對所有允許的擾動 , 閉環(huán)系統(tǒng)的極點均位于給定的橢圓區(qū)域內(nèi)其中本文給出了該控制律存在條件和設(shè)計方法。主要結(jié)論定理 1 矩陣的所有特征根均在給定的橢圓區(qū)域內(nèi)的充分必要條件是存在一個對稱矩陣使得下列 LMI 成立 :證明 : 假設(shè)給定的橢圓區(qū)域為 :, 其中任意一點 , 滿足

6、:(8)將 , 代入上式整理, 再根據(jù) Schur 補定理可知 , 其等價于 :(9)故橢圓區(qū)域為 LMI 區(qū)域 , 可表示為 (9) 式。若為對應(yīng)的特征值, 則根據(jù)引理1, 可知 , 只要滿足 :則 A 的特征值在給定的橢圓區(qū)域D 內(nèi) , 反之亦然 , 故命題得證。定理 2 對于所給閉環(huán)系統(tǒng) , 如果存在正定對稱矩陣, 以及標(biāo)量 , 使得對所有的不確定性 , 下列 LMI 成立 :則閉環(huán)系統(tǒng)在給定的橢圓區(qū)域(7) 內(nèi)存在極點配置的魯棒控制。系統(tǒng)的魯棒D控制律為：。證明 : 令, 對系統(tǒng) (7) 根據(jù)定理 1 有 :根據(jù)引理 2, 可得 :進而 , 根據(jù) Schur 補定理有 :故命題得證。對

7、于離散系統(tǒng)也有同樣的結(jié)論成立。仿真算例考慮不確定連續(xù)系統(tǒng):, ,其中。并且給定的橢圓區(qū)域為 :, 則根據(jù)定理2設(shè)計魯棒控制器為 : 可得 : 。下面分三種不確定性界討論閉環(huán)系統(tǒng)的極點 :(1)f=-1時, 得到閉環(huán)系統(tǒng)的極點為 :-1.9370;-2.0000(2)f=0 時, 得到閉環(huán)系統(tǒng)的極點為：-1.4424+0.3716i;-1.4424-0.3716i(3)f=1 時, 得到閉環(huán)系統(tǒng)的極點為:-1.8494+0.3891i;-1.8494-0.3891i其對應(yīng)的圖象為 :如圖 2 可知 , 該閉環(huán)的極點均被配置在了所給定的橢圓區(qū)域內(nèi)，閉環(huán)系統(tǒng)具有魯棒 D穩(wěn)定性，可見定理2可行。結(jié)語本文給出