長春市四模理科數(shù)學試題

1、2018年長春市高中畢業(yè)生第四次調(diào)研測試數(shù)學(理科)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，滿分150分.考試時間為120分鐘，此中第卷22題24題為選考題，其他題為必考題.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.注意事項：1答題前，考生一定將自己的姓名、準考據(jù)號碼填寫清楚，將條形碼正確粘貼在條形碼地域內(nèi).2選擇題一定用2B鉛筆填涂；非選擇題一定使用0.5毫米黑色筆跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3請依據(jù)題號序次在各題目的答題地域內(nèi)作答，超出答題地域書寫的答案無效；在稿本紙、試題卷上答題無效.4保持卡面潔凈，不要折疊、不要弄破、禁止使用涂改液、刮紙刀.第卷（選擇題，共60分）一、選擇題

2、（本大題包含12小題，每題5分，共60分，每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填涂在答題卡上）.1.設(shè)會集2AxNxBxRxx,則AB為110,60A.x|3x2B.0,1,2,3C.1,2,3D.1,22.復數(shù)1(1i的共軛復數(shù)為2i)1B.i111C.11iA.i22222211D.i223.以下函數(shù)既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是A.yxB.log2yxxC.33xyD.3yx4.等差數(shù)列a的公差為3，若na成等比數(shù)列，則2,a,aa成等比數(shù)列，則48a=4A.8B.10開始C.12k0D.16S05.某程序框圖以以下圖，該程序運轉(zhuǎn)后輸出的k的值是否S100A.4B.是

3、5SSk2k輸出C.6D.結(jié)束kk176.二項式19()x的睜開式中x3x的系數(shù)為A.84B.84C.28D.287.函數(shù)()sin()(0,)fxAxxR的部分圖像如圖，則2A.()4sin()fxx84B.()4sin()fxx84C.()4sin()fxx84D.()4sin()fxx848.甲、乙、丙、丁四人排成一列，則甲不排在乙以后的概率為A.1B.1126C.14D.129.已知22xyF分別是雙曲線11,F222ab(a0,b0)的左、右焦點，過點F垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點，若1ABF為銳角2三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是A.(1,)B.(1,3)C.(1

4、,2)D.(1,12)10.在ABC中，BAC120，AB2，AC1，點P滿足2BPBC(01)，則BPAPBC的取值范圍是A.1,34B.1,52C.2,154D.13,5411.某幾何體的三視圖以以下圖，這個幾何體的內(nèi)切球的體積為A.43B.4(23)C.43D.278912.若函數(shù)22fxxaxa0沒有零點，則a的取值范圍為A.0,1B0,12,C0,12,D0,22,第卷（非選擇題，共90分）本卷包含必考題和選考題兩部分，第13題21題為必考題，每個試題考生都一定作答，第22題24題為選考題，考生依據(jù)要求作答.二、填空題(本大題包含4小題，每題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫

5、線上).13.若函數(shù)f(x)cosx(0 x)22(x2)2，則2f_.(x)dx014.為檢查國家全民健身運動的落真相況，在某社區(qū)成年居民中隨機抽取200名，統(tǒng)計其均勻每天參加體育活動時間(h)，畫出右側(cè)頻率分布直方圖，已知該社區(qū)共有成年居民1500人，依據(jù)上述信息預(yù)計均勻每天參加體育活動時間在0.5,1.5)內(nèi)的人數(shù)約為_.15.如圖，丈量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個觀察點C與D，測得BCD15，BDC30，CD30米，并在C測得塔頂A的仰角為60，則塔的高度AB_米.16.圓2y82x內(nèi)有一點P(1,2)，AB為過點P但不與x軸垂直的弦，O為坐標原點.則OAOB

6、的取值范圍.三、解答題（本大題包含6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.17.（本小題滿分12分）等差數(shù)列a的各項均為正數(shù)，其前n項和為nS，滿足n2Sa(a1)，且222a.11求數(shù)列a的通項公式；n設(shè)bn2S13，求數(shù)列nnb的最小值項.n18.（本小題滿分12分）某學校為了研究學情，從高三年級中抽取了20名學生三次測試的數(shù)學成績和物理成績，計算出了他們?nèi)纬煽兊木鶆蛎我韵卤恚簩W生序號12345678910數(shù)1.122536506749524034學3.3.7.7.3.7.0.0.0.3物2.9.3122405839606342理37.0.3.0.0.0.7.3.7

7、學生序號11121314151617181920數(shù)學78.350.065.766.368.095.090.787.7103.786.7物理49.746.783.359.750.0101.376.786.099.799.0學校規(guī)定均勻名次小于或等于40.0者為優(yōu)秀，大于40.0者為不優(yōu)秀.對名次優(yōu)秀者賦分2，對名次不優(yōu)秀者賦分1，從這20名學生中隨機抽取2名，用表示這兩名學生數(shù)學科得分的和，求的分布列和數(shù)學希望；依據(jù)此次抽查數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超出0.025的前提下以為物理成績優(yōu)秀與否和數(shù)學成績優(yōu)秀與否相關(guān)系？(下邊的臨界值表和公式可供參照：P(K2k)0.150.100.050.020.

8、010.005050.001k2.072.703.845.026.637.8710.822614598K22n(adbc)(ab)(cd)(ac)(bd)，此中nabcd)19.（本小題滿分12分）如圖，棱柱ABCD的全部棱長都等A1BCD111于2，ABCA1AC60，平面AA1CC平面1ABCD.證明：BDAA；1求二面角DAA1C的余弦值；在直線CC上能否存在點P,使BP平面1DA？若存在，求出1CDA？若存在，求出1點P的地址；若不存在，請說明原由.y20.（本小題滿分12分）P如圖，已知橢圓22xy221ab(ab0)的右MOF2x焦點為F，點(1,3)2(1,0)F，點(1,3)A

9、在橢圓上.2Q求橢圓方程；點Mxy在圓(,)00222xyb上，點M在第一象限，過點M作圓222xyb，的切線交橢圓于P、Q兩點，問FPFQPQ能否為定值？假如是，求出該定值；假如不是，22說明原由.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)()sin()xfxbxbR2cosx.能否存在實數(shù)b，使得f(x)在2(0,)3上為增函數(shù)，在2(,)3上為減函數(shù)？若存在，求出b的值；若不存在，請說明原由.假如當x0時，都有f(x)0恒建立，試求b的取值范圍.請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分.22.（本小題滿分10分）C選修4-1：幾何證明選講KM如圖，在ABC中，

10、內(nèi)角C為鈍角，點ABEHEH分別是邊AB上的點，點K,M分別是邊AC,BC上的點，且,AHAC，EBBC，AEAK，BHBM.求證：E,H,M,K四點共圓；若KEEH，CE3，求線段KM的長.23.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程選講已知曲線C的極坐標方程為4cos，直線l的參數(shù)方程為2sinxt(t為參數(shù)，0cosy1tsin).化曲線C的極坐標方程為直角坐標方程；若直線l經(jīng)過點(1,0)，求直線l被曲線C截得的線段AB的長.24.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f(x)2xaa.若不等式f(x)6的解集為x|2x3，務(wù)實數(shù)a的值；在的條件下，若存在實數(shù)n使

11、f(n)mf(n)建立，務(wù)實數(shù)m的取值范圍2018年長春市高中畢業(yè)生第四次調(diào)研測試數(shù)學(理科)參照答案及評分細則一、選擇題(本大題包含12小題，每題5分，共60分)題123456789101112號答DBBCDAADDDCC案簡答與提示：1.D*AxN|9x111,2,3,4,5,6,7,8,9,10，Bxx，AB1,2.應(yīng)選D.|322.B1i1i(1i)ii1112(1i)2i2ii222i，其共軛復數(shù)為1122i.應(yīng)選B.3.B四個函數(shù)中只有函數(shù)B.yxx既是奇函數(shù)又是增函數(shù).應(yīng)選34.C令首項為a，依據(jù)條件有(a9)(a3)(a21)a3，2a.433312應(yīng)選C.5.D0123452

12、2222263100，202122232425266364127100.當kk151時，S63100；當kk161時，S.127100即該程序輸出的k7.應(yīng)選D.1r9rrrr92r6.A，令92r3r3，從而x3的系TCx()(1)Cxr199x33數(shù)為(1)C84.應(yīng)選A.97.A經(jīng)過觀察圖像可知函數(shù)圖像過(2,0)和(2,4)兩個固定點，由(2,0)可知：xx；由(2,4)可知：A4.從而84fxx.應(yīng)選A.()4sin()848.Dp2AA44412.應(yīng)選D.9.D因為ABF是以F2為極點的等腰三角形，所以ABF2為銳角三2角形的充要條件是RtAF1F2的銳角AF2F1452c2ba，

13、即2222acca,e2e10，解得12e12，而e1，所以1e12.應(yīng)選D.10.D在ABC中，依據(jù)余弦定理得222cos2212221cos1207BCABACABACBAC.依據(jù)正弦定理得ACBC1735sinBcosB.sinBsinAsinBsin1202727從而有22BPAPBC(BC)(ABBC)BC251213727()77()2427.又01，所以2BPAPBC的取值范圍是13,54.應(yīng)選D.11.C此幾何體是底面邊長為2，高為3的正四棱錐，可算出其體積為433，表面積為12.令內(nèi)切球的半徑為r，則143312rr，從而內(nèi)切球的體積為333V43433().3327應(yīng)選C.

14、12.C函數(shù)f(x)的定義域為a,a，作出函數(shù)yax2(xa,a)和yx2(xa,a)的圖像，前者是圓22xya的上半圓，后者是一條折線段，觀察圖像很簡單發(fā)現(xiàn)：當0a1時，f(x)0在a,a上恒建立；當a2時，f(x)0在a,a上恒建立；當1a2時，f(x)0在a,a上總有實數(shù)根.應(yīng)選C.二、填空題(本大題包含4小題，每題5分，共20分)13.514.96015.15616.8,2簡答與提示:13.222f(x)dx2cosxdx2dxsinx|22x|sinsin02(2)0002222145.14.1500(0.820.46)0.5960(人).15.在BCD中，依據(jù)正弦定理得，CD30B

15、CsinCDBsin30152sinCBDsin(1801530).在RtABC中，ABBCtanACB152tan60156為所求.16.設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y2k(x1).設(shè)A(x,y)，11B(x,y)，則由22y2k(x1)22xy8可以得22k4k47k4k4x.x,yy12112221kk從而有22k4k47k4k4OAOBxxyy1212221k1k26k8k8k66221k1k.令4k3t，則OAOB632t2t6t25.當t0時，OAOB6；當t0時，OAOB32t3266225t6t25t6t.因為t25t(當t5時取等號)，所以8OAOB2但10OAO

16、B.6綜合可知8OAOB2為所求.三、解答題(本大題必做題5小題，三選一選1小題，共70分)17.(本小題滿分12分)【命題企圖】本小題主要觀察等差數(shù)列基本量的求取、等差數(shù)列乞降公式以及函數(shù)單調(diào)性等相關(guān)知識的應(yīng)用.【試題分析】解：由22Saa，可得22222(aad)(ad)(ad).1111又a11，可得d1.數(shù)列a是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，nan.n(4分)依據(jù)得n(n1)S，n22S13n(n1)1313nbnnnnn1.因為函數(shù)13f(x)x(x0)x在(0,13上單調(diào)遞減，在13,)上單調(diào)遞加，而3134，且132288f(3)3，3312132987f(4)4，4412所以當

17、n4時，bn獲得最小值，且最小值為2933144.33即數(shù)列bn的最小值項是b4.4(12分)18.(本小題滿分12分)【命題企圖】本小題主要觀察統(tǒng)計與概率的相關(guān)知識，詳盡涉及到隨機變量的分布列、數(shù)學希望的求法和統(tǒng)計事例中獨立性檢驗等知識內(nèi)容.【試題分析】解：依據(jù)條件的取值為2，3，4，并且在20人中，數(shù)學成績優(yōu)秀的6人，不優(yōu)秀的14人，所以有p(2)2C142C2091190，p(3)11CC6142C2084190，p(4)2CC622015190.所以的分布列為234p911908419015190(6分)數(shù)學希望918415E.()2342.6190190190(8分)依據(jù)條件列出列聯(lián)

18、表以下：物理優(yōu)秀物理不優(yōu)秀合計數(shù)學優(yōu)秀426數(shù)學不優(yōu)秀21214合計61420所以2220(41222)K.5.48755.024(42)(212)(42)(212)又2p(K5.024)0.025，所以依據(jù)此次抽查數(shù)據(jù)在犯錯誤的概率不超出0.025的前提下可以以為物理成績優(yōu)秀與否和數(shù)學成績優(yōu)秀與否相關(guān)系.(12分)19.(本小題滿分12分)【命題企圖】本小題主要觀察立體幾何的相關(guān)知識，詳盡涉及到直線與直線垂直的判斷、線面的平行關(guān)系的判斷以及二面角的求法等相關(guān)知識.【試題分析】證明：由條件知四邊形ABCD是菱形，所以BDAC，而平面AA1CC平面ABCD，平面1AACC平面11ABCDAC，所

19、以BD平面(3分)AACC，又11AA平面1AACC，所以11BD.AA1因為ABC60，ABCD是菱形，所以ACABAA，而1A1AC60，所以AAC是正三角形.令BDACO，連結(jié)1AO，1則BDACOA兩兩相互垂直.,1以以下圖，分別以BDACOA所在的直線為x,y,z軸建立空間直,1角坐標系，則D(3,0,0)，A(0,1,0)，A1(0,0,3)，DA(3,1,0)，DA，平面1(3,0,3)n.(1,0,0)AACC的法向量為11設(shè)m(x,y,z)是平面DAA的法向量，則1mDA03xy0y3xmDA03x3z01xz0.令x1，則y3,z1.即m(1,3,1).設(shè)二面角DAA1C的

20、平面角為，則是銳角，并且mn15coscosm,n.11315mn1的余弦值為5所以二面角DAAC5.(8分)設(shè)這樣的點P存在，且CPCC，而1C(0,1,0),C(0,2,3)，所以1P，又B(3,0,0)，所以BP(3,1,3)，(0,1,3)DC1(3,2,3)設(shè)k(x,y,z)是平面DAC的法向量，則11kDC03x2y3z0y01kDA03x3z01xz0.令z1，則x1，即k(1,0,1).要使BP平面DA當且僅當1CDA當且僅當1kBP，所以1.這說明題0(1)(3)0(1)130目要求的點P存在，實質(zhì)上，延長獲取所求的點P.CC到點P，使得CP1CC即1(12分)20.(本小題

21、滿分12分)【命題企圖】本小題主要觀察直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，詳盡涉及到橢圓方程的求法、直線與圓錐曲線的相關(guān)知識與圓錐曲線的綜合知識.【試題分析】解：由右焦點為F，可知c1.設(shè)左焦點為2(1,0)F，可知c1.設(shè)左焦點為F，1則F，又點1(1,0)F，又點3A在橢圓上，則(1,)2332(11)()(11)()4aAFAF，2222122222abac，即橢圓方程為2,322xy；143(4分)設(shè)Pxy，(,)11Qxy則(,)2222xy11143(x2)，12x1222212PFxyxx，(1)(1)3(1)(4)211114411PFxx.(4)221122連結(jié)OM，OP，由相切條

22、件知：2x122222212PMOPOMxyxx，明顯33(1)31111441PMx.12x，10 xxPFPM.同理1122222xxQFQM.2222222FPFQPQ為定值.22224(12分)21.(本小題滿分12分)【命題企圖】本小題主要觀察函數(shù)與導數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性等知識內(nèi)容.【試題分析】解：存在b0，使得結(jié)論建立.sinx對函數(shù)(bx求導得，fx)2cosx2cosx1f(x)b2(2cosx).若bR，使f(x)在2(0,)3上遞加，在2(,)3上遞減，則2f，()03b0，這時12cosx2f，當x)時，f(x)0，f(x)(x)(0,2(

23、2cosx)3遞加；2當x,)時f(x)0，f(x)遞減.(3(5分)令2bcosx2(12b)cosx14bf(x)02(2cosx)，得bcos2x2(12b)cosx14b0.4(12b)2b(14b)4(13b).若1b，即0，則f(x)0對x0恒建立，這時f(x)在0,3上遞減，f(x)f(0)0，符合題意.若b0，則當x0時，bx0,)，2sinx33，,cosx33fsinx(不行能恒小于等于0.x)bx2cosx若b0，則sinx33f，不合題意.(x),2cosx33若113b0b，則f0，f()b10，x(0,)，(0)033使f()0.x(0,)時，f(x)0，這時f(x)遞加，f(x)f(0)0，xx00不合題意.綜上可得實數(shù)b的取值范圍是1,)3.(12分)22.(本小題滿分10分)【命題企圖】本小題主要觀察平面幾何的證明及其運算，詳盡涉及到共圓圖形的判斷和圓的性質(zhì)以及兩個三角形全等的判斷和應(yīng)用等相關(guān)知識內(nèi)容.【試題分析】解：連結(jié)CH，則因為ACAH，AKAE，所以四邊形CHEK為等腰梯形，注意到等腰梯形的對角互補，故C，H，E，K四點共圓，同理C，E，H，M四點也共圓，從而四點E，H，M，K在由三點C，E，H所確立的圓上，所以這四點共圓；(5分)連結(jié)EM，則由得E，H，M，C