復(fù)變函數(shù)與積分變換完整版課件全套ppt整本書電子講義全書電子課件最全教學(xué)教程

1、第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.1 復(fù)數(shù)1.1.1 復(fù)數(shù)的概念設(shè) ， 為兩個(gè)任意實(shí)數(shù)，稱形如 的數(shù)為復(fù)數(shù)，記為 ，其中 滿足 ，稱為虛數(shù)單位.實(shí)數(shù) 和 分別稱為復(fù)數(shù) 的實(shí)部和虛部，記為 ， . 各數(shù)集之間的關(guān)系可表示為 1.1.2 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算設(shè)復(fù)數(shù) ， ，定義 與 的四則運(yùn)算如下：加法：減法：乘法：除法：復(fù)數(shù)四則運(yùn)算規(guī)律： （1）加法交換律 （2）乘法交換律 （3）加法結(jié)合律 （4）乘法結(jié)合律 （5）乘法對(duì)于加法的分配律 復(fù)數(shù)運(yùn)算的其它結(jié)果：（1）（2）（3）若 ，則 與 至少有一個(gè)為零，反之亦然. 共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)： （1） （2）（3）（4）（5） （6）（7） 為實(shí)數(shù).例1 化簡 . 解

2、 例2 設(shè) ，求 及 .解 所以 1.1.3 復(fù)數(shù)的各種表示、模與輻角1.復(fù)數(shù)的幾何表示由復(fù)數(shù) 的定義可知，復(fù)數(shù)是由一對(duì)有序?qū)崝?shù) 惟一確定的，于是可建立全體復(fù)數(shù)和 平面上的全部點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可以用橫坐標(biāo)為 ，縱坐標(biāo)為 的點(diǎn) 表示復(fù)數(shù) （如圖1.1），這是一種幾何表示法，通常稱為點(diǎn)表示，并將點(diǎn) 與數(shù) 看作同義詞.圖1.1 圖1.2 2.復(fù)數(shù)的向量表示復(fù)數(shù) 還可以用起點(diǎn)為原點(diǎn)，終點(diǎn)為 的向量 來表示（如圖1.1）， 與 分別是 在 軸與 軸上的投影.這樣，復(fù)數(shù)與平面上的向量之間也建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.3.復(fù)數(shù)的模與輻角復(fù)數(shù)的模 如圖1.1中的向量 的長度稱為復(fù)數(shù) 的模，記作 或 ，即復(fù)數(shù)的

3、輻角 設(shè)復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的向量為 （如圖1.1）, 與實(shí)軸正方向所夾的角 ，稱為復(fù)數(shù) 的輻角,記作 ，即 并規(guī)定 按逆時(shí)針方向取值為正，順時(shí)針方向取值為負(fù).4.復(fù)數(shù)的三角表示式 稱為復(fù)數(shù) 的三角表示式.5.復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式 稱 為復(fù)數(shù) 的指數(shù)表示式. 例3 求 和 .解 例4 求 的三角表示式與指數(shù)表示式.解 因?yàn)?, 所以 設(shè)則又因?yàn)?位于第II象限，所以 ,于是 1.1.4. 復(fù)數(shù)的冪與根1. 復(fù)數(shù)的乘冪設(shè) 為正整數(shù)， 個(gè)非零相同復(fù)數(shù) 的乘積，稱為 的 次冪，記為 ，即若 ，則有當(dāng) 時(shí)，得到著名的棣莫弗 （De Moivre）公式例7 求 .解 因?yàn)?所以 例8 已知 ， 求 .解 因?yàn)?所以2

4、.復(fù)數(shù)的方根 稱滿足方程 的復(fù)數(shù) 為 的 次方根，記作 或記作 .例1 解方程 .解 因?yàn)樗?可求出6個(gè)根，它們是 例2 計(jì)算解 因?yàn)?所以 即 第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.2 區(qū)域 1.2.1. 復(fù)平面上的點(diǎn)集與區(qū)域擴(kuò)充復(fù)平面 包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面.有限復(fù)平面 不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面，或復(fù)平面.鄰域 平面上以 為心， 為半徑的圓： 內(nèi)部所有點(diǎn) 的集合稱為點(diǎn)的 鄰域，記為 ，即稱集合 為 的去心 鄰域，記作 .開集 如果點(diǎn)集 的每一個(gè)點(diǎn)都是 的內(nèi)點(diǎn)，則稱 為開集.閉集如果點(diǎn)集 的余集為開集，則稱 為閉集.連通集 設(shè)是 開集，如果對(duì)于 內(nèi)任意兩點(diǎn)，都可用折線連接起

5、來，且該折線上的點(diǎn)都屬于 ，則稱開集 是連通集.區(qū)域（或開區(qū)域） 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.閉區(qū)域 開區(qū)域 連同它的邊界一起，稱為閉區(qū)域，記為 .1.2.2 單連通域與多（復(fù)）連通域1. 簡單曲線、簡單閉曲線 若存在滿足 ， 且 的 ，使 ,則稱此曲線C有重點(diǎn)，無重點(diǎn)的連續(xù)曲線稱為簡單曲線或約當(dāng)（Jordan）曲線；除 外無其它重點(diǎn)的連續(xù)曲線稱為簡單閉曲線，例如， 是一條簡單閉曲線（如圖1.9）.圖1.9在幾何直觀上，簡單曲線是平面上沒有“打結(jié)”情形的連續(xù)曲線，即簡單曲線自身是不會(huì)相交的；簡單閉曲線除了沒有“打結(jié)”情形之外，還必須是封閉的，例如，圖1.10中的 是簡單曲線， 是簡單閉區(qū)域，圖

6、1.11中的 ， 不是簡單曲線，但 是閉曲線.圖1.10 圖1.11 2. 光滑曲線、分段光滑曲線設(shè)曲線 的方程為 若 ， 在 上可導(dǎo)且 ， 連續(xù)不全為零，則稱曲線 為光滑曲線，由若干段光滑曲線銜接而成的曲線稱為分段光滑曲線.3. 單連通域、多連通域設(shè) 是復(fù)平面上一區(qū)域，如果在 內(nèi)任作一條簡單閉曲線 ，其內(nèi)部的所有點(diǎn)都在 中，則稱區(qū)域 為單連通區(qū)域；否則稱 為多連通區(qū)域或復(fù)連通區(qū)域.在幾何直觀上，單連通區(qū)域是一個(gè)沒有“空洞（點(diǎn)洞）和縫隙”的區(qū)域，而多連通區(qū)域是有“洞或縫隙”的區(qū)域，它可以是由曲線 所圍成的區(qū)域中挖掉幾個(gè)洞，除去幾個(gè)點(diǎn)或一條線段而形成的區(qū)域（如圖1.12 ）.圖1.12第1章 復(fù)

7、數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.3 復(fù)變函數(shù)1.3.1 復(fù)變函數(shù)的概念定義1 設(shè) 為給定的平面點(diǎn)集，若對(duì)于 中每一個(gè)復(fù)數(shù) ，按著某一確定的法則 ，總有確定的一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù) 與之對(duì)應(yīng)，則稱 是定義在 上的復(fù)變函數(shù)（復(fù)變數(shù) 是復(fù)變數(shù) 的函數(shù)），簡稱復(fù)變函數(shù)，記作 .其中 稱為自變量， 稱為因變量，點(diǎn)集 稱為函數(shù)的定義域.例1 將定義在全平面上的復(fù)變函數(shù) 化為一對(duì)二元實(shí)變函數(shù).解 設(shè) ， ，代入 得 比較實(shí)部與虛部得 ，例2 將定義在全平面除原點(diǎn)區(qū)域上的一對(duì)二元實(shí)變函數(shù) ， （ ）化為一個(gè)復(fù)變函數(shù).解 設(shè) ， ， 則將 ， 以及代入上式，經(jīng)整理后，得 1.3.2 映射的概念 如果復(fù)數(shù) 和 分別用 平面和 平面上的點(diǎn)

8、表示，則函數(shù) 在幾何上，可以看成是將 平面上的定義域 變到 平面上的函數(shù)值域 的一個(gè)變換或映射，它將 內(nèi)的一點(diǎn) 變?yōu)?內(nèi)的一點(diǎn) （如圖1.13）.圖1.131.3.3 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)1.反函數(shù)定義2 設(shè) 定義在 平面的點(diǎn)集 上，函數(shù)值集合 在 平面上.若對(duì)任意 ，在 內(nèi)有確定的 與之對(duì)應(yīng).反過來，若對(duì)任意一點(diǎn) ，通過法則 ，總有確定的 與之對(duì)應(yīng)，按照函數(shù)的定義，在 中確定了 為 的函數(shù)，記作 ，稱為函數(shù) 的反函數(shù)，也稱為映射 的逆映射.2.復(fù)合函數(shù)定義3 設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)?，函數(shù) 的定義域?yàn)?，值域 .若對(duì)任一 ，通過 有確定的與之對(duì)應(yīng)，從而通過 有確定的 值與 對(duì)應(yīng)，按照函數(shù)的定義，在

9、中確定了 是 的函數(shù)，記作 ，稱其為 與 的復(fù)合函數(shù).第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.4 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性1.4.1復(fù)變函數(shù)的極限定義4 設(shè)函數(shù) 在 的某去心鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)任意給定的正數(shù) （無論它多么?。┛偞嬖谡龜?shù) ，使得適合不等式 的所有 ，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 都滿足不等式則稱復(fù)常數(shù) 為函數(shù) 當(dāng)時(shí) 的極限，記作 或 定理1 設(shè) ， 則 的充分必要條件為: 且 復(fù)變函數(shù)的極限四則運(yùn)算法則：設(shè) ， ，則 (1) (2) (3) 例1 試求下列函數(shù)的極限.（1） （2）解（1）法1 設(shè) ，則 ，且 得 法2 （2） 設(shè) ，則 ，得 例2 證明函數(shù) 在 時(shí)極限不存在.證 設(shè) ，而 ， .考慮二元實(shí)函數(shù)

10、 當(dāng) 沿著 （ 為任意實(shí)數(shù)）趨向于 ，即 顯然，極限值隨 值的不同而不同，所以根據(jù)二元實(shí)變函數(shù)極限的定義知， 在 趨向于 時(shí)的極限不存在，即得結(jié)論.1.4.2 復(fù)變函數(shù)的連續(xù)定義5 設(shè) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義，若 ，則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù). 若 在區(qū)域 內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù) 在區(qū)域 內(nèi)連續(xù).定理2 函數(shù) ，在 處連續(xù)的充要條件是 和 都在點(diǎn) 處連續(xù).定理3 在 處連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商（分母在 處不等于零）在 處仍連續(xù).例3 求解 因?yàn)?在點(diǎn) 處連續(xù)，故 例4 討論函數(shù) 的連續(xù)性.解 設(shè) 為復(fù)平面上任意一點(diǎn)，則當(dāng) 時(shí)， 在 無定義，故 在 處不連續(xù).當(dāng) 落在負(fù)實(shí)軸上時(shí)，由于 ，在

11、 從實(shí)軸上方趨于 時(shí)， 趨于 ，在 從實(shí)軸下方趨于 時(shí)， 趨于 ，所以 不連續(xù).當(dāng) 為其它情況時(shí)，由于 所以 連續(xù).定理4 若函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)，函數(shù) 在 連續(xù)，則復(fù)合函數(shù) 在 處連續(xù)（證略）.最值性質(zhì)當(dāng) 在有界閉區(qū)域 上連續(xù)時(shí)，則 也在 上連續(xù)，且可以取得最大值和最小值；有界性 在 上有界，即存在一正數(shù) ，使對(duì)于 上所有點(diǎn)，都有 .例5 討論 在閉圓域 ： 上的連續(xù)性，并求 在 上的最大值與最小值.解 因?yàn)?和 在 上連續(xù)，故 及 在 上都連續(xù).又因?yàn)?，故它在 上的最大值與最小值分別就是 的最大值與最小值.在 內(nèi)，當(dāng) 時(shí)， 取到最大值 ； 當(dāng) 時(shí)， 取到最小值 ，即對(duì)任意 都有特別指出，

12、在曲線 上點(diǎn) 處連續(xù)的意義是 第2章 解析函數(shù)2.1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2.1.1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義1 設(shè)函數(shù) 在包含 的某區(qū)域 內(nèi)有定義，當(dāng)變量 在點(diǎn) 處取得增量 時(shí)，相應(yīng)地，函數(shù) 取得增量若極限 （或 ） （2.1）存在，則稱 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，此極限值稱為 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)，記作 或 ，即 如果函數(shù) 在區(qū)域 內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱 在 內(nèi)可導(dǎo). 例1 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)（ 為正整數(shù)）.解 因?yàn)?所以，由導(dǎo)數(shù)定義有 例2 求 的導(dǎo)數(shù).解 由例1 2.1.2 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 若函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，則 在點(diǎn) 處必連續(xù).證因?yàn)?知 ，故 在點(diǎn) 處連續(xù). 2.1.3 復(fù)變函數(shù)的微分定義2 稱函數(shù) 的改變

13、量 的線性部分 為函數(shù) 在點(diǎn) 處的微分，記作 或 ，即當(dāng) 時(shí)， ，所以 在點(diǎn) 處的微分又可記為 亦即由此可知，函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)與可微是等價(jià)的. 2.1.4 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則復(fù)變函數(shù)的求導(dǎo)法則（以下出現(xiàn)的函數(shù)均假設(shè)可導(dǎo)）： （1） 其中 為復(fù)常數(shù)；（2） 其中 為正整數(shù)；（3） ；（4） （5） ；（6） ； （7） 是兩個(gè)互為反函數(shù)的單值函數(shù)，且 .例3 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1） （2） 解 （1） （2） 例4 設(shè) .解 因?yàn)?所以 第2章 解析函數(shù)2.2 解析函數(shù)的概念2.2.1解析函數(shù)的定義及其性質(zhì)1. 解析函數(shù)的定義定義3 如果函數(shù) 不僅在點(diǎn) 處可導(dǎo)，而且在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，

14、則稱 在點(diǎn) 處解析，并稱點(diǎn) 是函數(shù)的解析點(diǎn)；如果函數(shù) 在區(qū)域 內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱 在區(qū)域 內(nèi)解析或稱 為區(qū)域 內(nèi)的解析函數(shù)，區(qū)域 稱為的 解析區(qū)域. 如果 在點(diǎn) 處不解析，但在 的任一鄰域內(nèi)總有 的解析點(diǎn),則稱 為 的奇點(diǎn).例1 討論函數(shù) 的解析性.解 由例2知， 在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)且 ，則由函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)解析的定義可知，函數(shù) 在整個(gè)復(fù)平面上解析.2. 解析函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：（1）若函數(shù) 和 在區(qū)域 內(nèi)解析，則 、 、 在 內(nèi)也解析；（2）若函數(shù) 在區(qū)域 內(nèi)解析，而 在區(qū)域 內(nèi)解析，且 ，則復(fù)合函數(shù) 在 內(nèi)也解析，且.2.2.2函數(shù)解析的充要條件定理 設(shè)函數(shù) 在區(qū)域 內(nèi)有定義，則 在 內(nèi)解

15、析的充分必要條件為 在 內(nèi)任一點(diǎn) 處（1）可微； （2）滿足上式稱為柯西黎曼（Cauchy-Riemann）條件（或方程），簡稱CR條件（或方程）. 定理 函數(shù) 在區(qū)域 內(nèi)解析的充要條件為（1） 在 內(nèi)連續(xù)；（2） 在 內(nèi)滿足CR條件 ，例2 討論函數(shù) 的可導(dǎo)性，并求其導(dǎo)數(shù).解 由 得 則 顯然，在復(fù)平面內(nèi) 和 的偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)，且即和處處滿足CR條件且處處可微，所以，在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)且 .例3 討論函數(shù) 的可導(dǎo)性.解 因?yàn)?得 顯然， 、 處處具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，但僅當(dāng) 時(shí)， 、 滿足CR條件.因此， 僅在點(diǎn) 處可導(dǎo).例4 證明 在復(fù)平面上不可微.證 由于 ，于是，從而 顯然，對(duì)復(fù)平面上任

16、意一點(diǎn) ， 都不滿足CR條件，所以 在整個(gè)復(fù)平面上不可微.例5 討論下列函數(shù)的解析性. （1） ； （2） ；（3） .解 （1）設(shè)因?yàn)?且這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)，故在復(fù)平面上處處解析.（2）因?yàn)?，設(shè) ，而 所以 在復(fù)平面上處處不解析（3） 因?yàn)?設(shè) ，由于 這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)雖然處處連續(xù)，但CR條件僅在原點(diǎn)處成立，因而函數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)的原點(diǎn)處可導(dǎo)，其它點(diǎn)不可導(dǎo)，可知該函數(shù)在復(fù)平面上處處不解析.第2章 解析函數(shù)2.3 初等函數(shù)及其解析性2.3.1 指數(shù)函數(shù)定義4 復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的一些重要性質(zhì)：（1）指數(shù)函數(shù) 在整個(gè) 的有限平面內(nèi)都有定義，且處處不為零. （2） （3）指數(shù)函數(shù)是以 為

17、周期的周期函數(shù)（4）指數(shù)函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上解析，且有 （2） 2.3.2 對(duì)數(shù)函數(shù)定義5 對(duì)數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù).若 ，則稱 是 的對(duì)數(shù)函數(shù)，記作 對(duì)數(shù)函數(shù)是一個(gè)多值函數(shù)，每一個(gè) 對(duì)應(yīng)著多個(gè) 的值.若令 ，則上式中的多值函數(shù)便成為了單值函數(shù)，則稱這個(gè)單值函數(shù)為多值函數(shù) 的主值，記作 ，即 例1 求 .解 因?yàn)?的模為 ，其輻角的主值為 ，所以而 又因?yàn)?的模為 ，而其輻角的主值為 ，所以 復(fù)變量對(duì)數(shù)函數(shù)具有與實(shí)變量對(duì)數(shù)函數(shù)同樣的基本性質(zhì)：（1）（2） （3） （4） ； （5）對(duì)數(shù)函數(shù)的解析性 可以證明 在除去原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸的 平面內(nèi)解析，所以 的各個(gè)分支也在除去原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸的 平面內(nèi)解

18、析（因 的每一個(gè)單值連續(xù)分支與 只相差一個(gè)復(fù)常數(shù)），且 2.3.3 冪函數(shù)定義6 設(shè) 為任意復(fù)常數(shù)，定義一般冪函數(shù)為它是指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，是多值函數(shù)(因 是多值的). 冪函數(shù)的幾種特殊情形：（1）當(dāng) 為整數(shù)時(shí)， ， 是與 無關(guān)的單值函數(shù)（ （ 為正整數(shù)）時(shí)， 為 的 次乘方，當(dāng) （ 為正整數(shù)）時(shí)， ）；）；（2）當(dāng) 為有理數(shù) 時(shí)（為既約分?jǐn)?shù)， ）， 只有 個(gè)不同的值，即當(dāng) 取時(shí)的對(duì)應(yīng)值，因此，.（3）當(dāng) 為無理數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí)， 有無窮多個(gè)值.此時(shí)的 與根式函數(shù) 的區(qū)別是： 是無窮多值函數(shù)，而 是 值函數(shù).冪函數(shù) 的解析性：（1）當(dāng) （ 為正整數(shù)）時(shí)， 在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)單值解析，且 ；（2）當(dāng)

19、 （ 為正整數(shù)）時(shí)， 在除原點(diǎn)的復(fù)平面內(nèi)解析，且（3）當(dāng) （ 為整數(shù)）時(shí)，由于對(duì)數(shù)函數(shù) 的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)解析，因而 的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)也是解析的，且.例2 求 .解 例3 求 .解 例4 求 .解 所以 的三個(gè)值分別為.2.3.4 三角函數(shù)定義7 設(shè) 為任一復(fù)變量，稱與 分別為復(fù)變量 的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)，分別記為 與 ，即正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)： （1） 與 都是以 為周期的周期函數(shù)，即 =， （2） 為奇函數(shù)， 為偶函數(shù)，即對(duì)任意的 有（3）實(shí)變函數(shù)中的三角恒等式，在復(fù)變函數(shù) 中依然成立，如 （4） 和 都是無界的. 因?yàn)?可見，當(dāng) 無限增大時(shí)，

20、 趨于無窮大，同理可知， 也是無界的.（5） ， 在復(fù)平面內(nèi)均為解析函數(shù)，且其它四個(gè)三角函數(shù)，利用 和 來定義： 例5 求 .解 根據(jù)定義，有 .2.3.5 反三角函數(shù)定義8 如果 ， 則稱 分別為 的反正弦、反余弦、反正切函數(shù)，分別記為反三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系：（1）（2）（3） 本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解復(fù)變函數(shù)積分的概念;2了解復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì);3掌握積分與路經(jīng)無關(guān)的相關(guān)知識(shí);4熟練掌握柯西古薩基本定理;5會(huì)用復(fù)合閉路定理解決一些問題;6會(huì)用柯西積分公式;7會(huì)求解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).復(fù)變函數(shù)的積分3.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念3.1.1積分的定義本章中,我們將給出復(fù)變函數(shù)積分的概念,然后討論解

21、析函數(shù)積分的性質(zhì),其中最重要的就是解析函數(shù)積分的基本定理與基本公式。這些性質(zhì)是解析函數(shù)積分的基礎(chǔ),借助于這些性質(zhì),我們將得出解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)這個(gè)重要的結(jié)論。 3.1.2積分存在的條件及其計(jì)算方法 1) 當(dāng)是連續(xù)函數(shù)且是光滑(或按段光滑)曲線時(shí)，積分是一定存在的。2)可以通過兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的積分來計(jì)算。3.1.3 積分的性質(zhì) 從積分的定義我們可以推得積分有下列一些簡單性質(zhì)，它們是與實(shí)變函數(shù)中曲線積分的性質(zhì)相類似的.我們把簡單閉曲線的兩個(gè)方向規(guī)定為正向和負(fù)向.所謂簡單閉曲線的正向是指當(dāng)順此方向沿該曲線前進(jìn)時(shí)，曲線的內(nèi)部始終位于曲線的左方，相反的方向規(guī)定為簡單閉曲線的負(fù)向.以后遇到積分

22、路線為簡單閉曲線的情形，如無特別聲明，總是指曲線的正向. 3.1.3 積分的性質(zhì)1234例1計(jì)算 其中 為從原點(diǎn)到點(diǎn) 的直線段。解 直線的方程可寫成又因?yàn)槿菀昨?yàn)證，右邊兩個(gè)線積分都與路線 無關(guān)，所以 的值無論 是怎樣的曲線都等于例2計(jì)算 其中 為以 中心， 為半徑的正向圓周, 為整數(shù).解: 的方程可寫成所以因此例3計(jì)算 的值，其中 為沿從（0，0）到（1，1）的線段：解 :例4計(jì)算 的值，其中 為沿從（0，0）到（1，1）的線段與從（1，0）到（1，1）的線段所連結(jié)成的折線。 解 :3.2 柯西古薩（CauchyGoursat）基本定理3.2.1 積分與路經(jīng)無關(guān)問題積分的值與路經(jīng)無關(guān)，或沿封閉

23、的曲線的積分值為零的條件，可能與被積分函數(shù)的解析性及區(qū)域的單連通性有關(guān).柯西古薩（CauchyGoursat）基本定理 如果函數(shù)在單連域內(nèi)處處解析，那末函數(shù)沿內(nèi)的任何一條簡單閉曲線的積分值為零。即 3.2.3 幾個(gè)等價(jià)定理定理一 如果函數(shù) 在單連域內(nèi)處處解析，那末積分 與連結(jié)從起點(diǎn)到終點(diǎn)的路線 無關(guān).定理二 如果函數(shù) 在單連域 內(nèi)處處解析，那末函數(shù) 必為內(nèi)的解析函數(shù),并且原函數(shù)的概念下面，我們再來討論解析函數(shù)積分的計(jì)算。首先引入原函數(shù)的概念：結(jié)論： 的任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)。利用原函數(shù)的這個(gè)關(guān)系，我們可以推得與牛頓萊布尼茲公式類似的解析函數(shù)積分的計(jì)算公式。定理三 如果函數(shù) 在單連域內(nèi)處處解

24、析， 為 的一個(gè)原函數(shù)，那末這里 為區(qū)域 內(nèi)的兩點(diǎn)。例 5 計(jì)算 解： 例 6 計(jì)算 解： 例7 計(jì)算 解： 例8 計(jì)算 解： 3.3 基本定理的推廣復(fù)合閉路定理我們可以把柯西古薩基本定理推廣到多連域的情況 .在區(qū)域內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，這一重要事實(shí)，稱為閉路變形原理. 例9計(jì)算 的值， 為包含圓周 在內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線。解 :3.4 柯西積分公式定理(柯西積分公式) 如果函數(shù) 在區(qū)域 內(nèi)處處解析， 為內(nèi) 的任何一條正向簡單閉曲線,它的內(nèi)部完全含于 , 為 內(nèi)的任一點(diǎn),那末 (3.4.1)公式(3.4.1)稱為柯西積分公式.通過這個(gè)公

25、式就可以把一個(gè)函數(shù)在 內(nèi)部任何一點(diǎn)的值,用它在邊界上的值來表示.例10計(jì)算 (沿圓周正向)解 由公式(3.4.1)得例11計(jì)算 (沿圓周正向)解 由公式(3.4.1)得柯西積分公式不但提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法,而且給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式,是研究解析函數(shù)的有力工具(見3.5解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)).一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值 .3.5 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù),而且有各高階導(dǎo)數(shù).這一點(diǎn)與實(shí)變函數(shù)完全不同,因?yàn)橐粋€(gè)實(shí)變函數(shù)的可導(dǎo)性不保證導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性,因而不能保證高階導(dǎo)數(shù)的存在,關(guān)于解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)我們有下面的定理定理 解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍

26、為解析函數(shù),它的 階導(dǎo)數(shù)為:其中 為 在函數(shù)的解析區(qū)域 內(nèi)圍繞 的任何一條正向簡單閉曲線,而且它的內(nèi)部完全含于 .例12 計(jì)算 其中 為正向圓周: 解:由公式(3.5.1)得第4章級(jí)數(shù)本章學(xué)習(xí)目標(biāo)了解冪級(jí)數(shù)的概念;會(huì)求泰勒級(jí)數(shù);會(huì)把函數(shù)在展開成冪級(jí)數(shù);知道冪級(jí)數(shù)和羅倫級(jí)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系;會(huì)求函數(shù)在不同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級(jí)數(shù).4.1 冪級(jí)數(shù)4.1.1冪級(jí)數(shù)的概念 同實(shí)變函數(shù)一樣,關(guān)于冪級(jí)數(shù)也有:1.收斂圓與收斂半徑2.級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)有如下性質(zhì):1)可以逐項(xiàng)求導(dǎo).2)可以逐項(xiàng)積分.3)在收斂圓內(nèi), 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)是解析函數(shù).例1求 的收斂半徑(并討論在收斂圓周上的情形)解: 因?yàn)樗? 收斂半徑

27、即原級(jí)數(shù)在圓內(nèi) 收斂,在圓外發(fā)散. 在圓周 上,原級(jí)數(shù)收斂, 所以原級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)和收斂圓周上處處收斂.4.1.2泰勒級(jí)數(shù)我們經(jīng)常利用泰勒展開式的唯一性及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)(級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo),可以逐項(xiàng)積分)來把函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù),即利用間接的方法, 把函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù).4.1.2泰勒級(jí)數(shù) 定理一 若函數(shù) 在圓盤 內(nèi)解析,則 在該圓盤內(nèi)可展成的冪級(jí)數(shù),這種展式是唯一的,且為 (4.1.3) 或 其中 這個(gè)公式(4.1.3) 稱為 在 的泰勒展開式, 它的右端稱為 在 的泰勒級(jí)數(shù), 稱為泰勒系數(shù).利用泰勒展開式,我們可以直接通過計(jì)算系數(shù),把函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù). (4.1.4) (4.1.5

28、) (4.1.6) (4.1.7)1. 只要函數(shù) 在圓盤 內(nèi)解析, 就可在 展開成泰勒級(jí)數(shù);2. 此時(shí)泰勒級(jí)數(shù), 泰勒展開式, 的冪級(jí)數(shù)為同意語;3. 若 在 平面內(nèi)處處解析,則;4. 若 只在區(qū)域 內(nèi)解析, 為內(nèi) 的一點(diǎn), 則 在 的泰勒展開式的收斂半徑 等于 到的 邊界上各點(diǎn)的最短距離;5. 若 在 平面上除若干孤立奇點(diǎn)外內(nèi)處處解析,則 等于 到最近的孤立奇點(diǎn)的距離.例2把函數(shù) 展開成 的冪級(jí)數(shù) 解: 函數(shù) 在 內(nèi)處處解析, 由公式(4.1.7)把上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),即得所求的展開式羅倫級(jí)數(shù) 定理二 設(shè)函數(shù) 在圓環(huán)域 ,內(nèi)處處解析,那末 (4.2.1)其中 (4.2.2)4.2 羅倫級(jí)數(shù)冪級(jí)

29、數(shù)在其收斂圓內(nèi)具有的許多性質(zhì)在收斂圓環(huán)域: 內(nèi)的羅倫級(jí)數(shù)也具有.1.在收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)求導(dǎo),2.在收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)積分,3.在收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級(jí)數(shù)的和函數(shù)是解析函數(shù) 求羅倫展開式的系數(shù)羅倫展開式的系數(shù) 用公式(4.2.2)計(jì)算是很麻煩的,由羅倫級(jí)數(shù)的唯一性,我們可用別的方法,特別是代數(shù)運(yùn)算,代換,求導(dǎo)和積分等方法展開,這樣往往必將便利(即間接展開法).同一個(gè)函數(shù)在不同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級(jí)數(shù)一般不同; 由羅倫級(jí)數(shù)的唯一性可知,同一個(gè)函數(shù)在相同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級(jí)數(shù)一定相同. 例3把函數(shù) 展開成 的級(jí)數(shù) 解: 因?yàn)樗岳?把函數(shù) 在收斂圓環(huán)域 內(nèi)展開成羅倫級(jí)數(shù).解

30、: 因?yàn)樗? 例5把函數(shù) 在收斂圓環(huán)域 內(nèi)展開成羅倫級(jí)數(shù).解: 因?yàn)樗? 例5把函數(shù) 在收斂圓環(huán)域 內(nèi)展開成羅倫級(jí)數(shù).解: 因?yàn)樗? 通過例3、例4、例5可知同一個(gè)函數(shù)在不同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級(jí)數(shù)一般不同; 由羅倫級(jí)數(shù)的唯一性可知,同一個(gè)函數(shù)在相同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級(jí)數(shù)一定相同. 第5章 留數(shù)本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解孤立奇點(diǎn)的概念;2.會(huì)求可去奇點(diǎn), 本性奇點(diǎn);3.熟練掌握極點(diǎn)的求法;4. 會(huì)求留數(shù);5. 熟練掌握留數(shù)定理;6. 會(huì)用留數(shù)定理計(jì)算積分;7. 了解留數(shù)的一些應(yīng)用;5.1 孤立奇點(diǎn)5.1.1孤立奇點(diǎn)的概念5.1.2 孤立奇點(diǎn)的分類根據(jù)展開的羅倫級(jí)數(shù)的不同情況將孤立奇點(diǎn)作如下分

31、類:1.可去奇點(diǎn)2.極點(diǎn)3.本性奇點(diǎn)5.1 孤立奇點(diǎn)5.1.1孤立奇點(diǎn)的概念定義1 如果函數(shù) 在 處不解析,但在 的某個(gè)去心鄰域 內(nèi)處處解析,那末 稱為 的孤立奇點(diǎn).1可去奇點(diǎn)定義2 如果羅倫級(jí)數(shù)中不含 的負(fù)冪項(xiàng),那么孤立奇點(diǎn) 稱為 的可去奇點(diǎn).這時(shí) 在它的孤立奇點(diǎn) 的去心鄰域內(nèi)的羅倫級(jí)數(shù)實(shí)際上就是一個(gè)普通的冪級(jí)數(shù) 例如 是 的可去奇點(diǎn)因?yàn)?在 的去心鄰域內(nèi)的羅倫級(jí)數(shù)為2極點(diǎn)定義3 如果 的羅倫級(jí)數(shù)中只有有限多個(gè) 的負(fù)冪項(xiàng),且其中關(guān)于 的最高冪為, 即那么孤立奇點(diǎn) 稱為 的 級(jí)極點(diǎn). 3本性奇點(diǎn)定義4 如果羅倫級(jí)數(shù)中含有無窮多個(gè) 的負(fù)冪項(xiàng),那么孤立奇點(diǎn) 稱為 的本性奇點(diǎn).5.1.3 函數(shù)的零點(diǎn)

32、與極點(diǎn)的關(guān)系 定理 (1) 如果 是 的 級(jí)零點(diǎn),則 是的 級(jí)零點(diǎn); (2) 如果 是 的 級(jí)極點(diǎn), 則 是 的 級(jí)零點(diǎn),反過來也成立.例1試求 的孤立奇點(diǎn)解 因?yàn)槠渲?在 解析, 并且 似乎 是函數(shù) 的二級(jí)極點(diǎn),其實(shí)是一級(jí)極點(diǎn).由此可見,我們在求函數(shù)孤立奇點(diǎn)時(shí),不能一看函數(shù)的表面形式就急于做出結(jié)論.例2試求 的孤立奇點(diǎn)解: 因?yàn)槠渲?在 解析, 并且 似乎 是函數(shù) 的三級(jí)極點(diǎn),其實(shí)是二級(jí)極點(diǎn).由此可見,我們在求函數(shù)孤立奇點(diǎn)時(shí),不能一看函數(shù)的表面形式就急于做出結(jié)論.5.2 留數(shù)5.2.1 留數(shù)概念5.2.2 留數(shù)定理 定理一(留數(shù)定理) 設(shè)函數(shù) 在區(qū)域 內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn) 處處解析. 是 內(nèi)包

33、含諸奇點(diǎn)的任意一條正向簡單閉曲線,則 (5.2.2)一、如果 是 的可去奇點(diǎn),那末 因?yàn)榇藭r(shí) 在 的展開式是泰勒展開式,所以.二、如果 是 的本性奇點(diǎn),那末 那就往往只能用 在 展開成羅倫級(jí)數(shù)的方法求 三、如果 是 的極點(diǎn)我們有以下三個(gè)計(jì)算留數(shù)的規(guī)則.規(guī)則1 如果 是 的一級(jí)極點(diǎn)，那末 （5.2.3）三、如果 是 的極點(diǎn)規(guī)則2 如果 是 的 級(jí)極點(diǎn)，那末 （5.2.4）規(guī)則3設(shè) 及 在 都解析, 如果 那么 是 的一級(jí)極點(diǎn)，而 (5.2.5)例3計(jì)算積分 為正向圓周:解:根據(jù)規(guī)則1,有同理因此 例3我們也可用規(guī)則3來求留數(shù):因此 例4求 在 處的留數(shù).解:應(yīng)用規(guī)則3*5.3.1 在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留

34、數(shù)關(guān)于在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)的計(jì)算,我們有以下的規(guī)則:規(guī)則4 (5.3.3)*5.4.1 留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用 復(fù)變函數(shù)是一門工程數(shù)學(xué)，在工程技術(shù)上有許多應(yīng)用,復(fù)變函數(shù)在穩(wěn)定平面流場和靜電場以及在工程技術(shù)上都有許多用,由于涉及到許多專業(yè)知識(shí),因此我們在此只簡述一點(diǎn)留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用.在數(shù)學(xué)以及實(shí)際問題中往往要求出一些定積分的值,而這些定積分中,被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示出來;有時(shí)即便可求出原函數(shù),計(jì)算也往往比較復(fù)雜.利用留數(shù)定理,來計(jì)算這些類型的定積分,只需計(jì)算這些解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù);這樣一來就把問題大大簡化了.第6章 傅立葉變換6.1 傅立葉積分6.2 傅立葉變

35、換 6.3 函數(shù)及其傅立葉變換6.4 傅立葉變換的性質(zhì)6.1 傅立葉積分6.1.1主值意義下的廣義積分定義1 設(shè)函數(shù) 在實(shí)軸的任何有限區(qū)間上都可積.若極限 存在,則稱在主值意義下 在區(qū)間 上的廣義積分收斂,記為例1 計(jì)算 為實(shí)常數(shù)）解我們可以證明 為實(shí)數(shù)) 令 則 例2 設(shè)計(jì)算積分解 上式(1)稱為函數(shù) 的復(fù)指數(shù)形式的傅里葉積分公式,而等號(hào)右端的積分式稱為 的傅里葉積分(簡稱傅氏積分).從例2可以看出,函數(shù) 存在如下關(guān)系 若函數(shù) 在任何有限區(qū)間上滿足狄氏條件（即函數(shù)在任何有限區(qū)間上滿足：(1）連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)(2)至多有有限個(gè)極值點(diǎn)）,并且在 上絕對(duì)可積則有： 6.1.2 傅氏積分

36、存在定理 為連續(xù)點(diǎn) 為間斷點(diǎn)也叫做 的傅氏積分表達(dá)式 6.2.1 傅立葉變換的概念6.2 傅立葉變換 叫做的傅氏變換,象函數(shù),可記做 = 叫做的傅氏逆變換,象原函數(shù),=例3 求函數(shù) 的傅氏變換 解例4 求函數(shù) 的傅氏變換和傅氏積分表達(dá)式. 解若 上式右端為于是6.2.2 傅氏變換的物理意義頻譜 稱為的頻譜函數(shù) 其模稱為的振幅頻譜可以證明,頻譜為偶函數(shù),即6.3 函數(shù)及其傅立葉變換 在物理和工程技術(shù)中,除了用到指數(shù)衰減函數(shù)外,還常常會(huì)碰到單位脈沖函數(shù).因?yàn)樵谠S多物理現(xiàn)象中,除了有連續(xù)分布的物理量外,還會(huì)有集中在一點(diǎn)的量（點(diǎn)源）,或者具有脈沖性質(zhì)的量.例如瞬間作用的沖擊力,電脈沖等.在電學(xué)中,我們

37、要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢作用后所產(chǎn)生的電流；在力學(xué)中,要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動(dòng)情況等.研究這類問題就會(huì)產(chǎn)生我們要介紹的脈沖函數(shù).有了這種函數(shù),對(duì)于許多集中在一點(diǎn)或一瞬間的量,例如點(diǎn)電荷、點(diǎn)熱源、集中于一點(diǎn)的質(zhì)量以及脈沖技術(shù)中的非常狹窄的脈沖等,就能夠像處理連續(xù)分布的量那樣,用統(tǒng)一的方式來加以解決. 6.3.1 函數(shù)的定義 （1）看作矩形脈沖的極限（2） 函數(shù)的數(shù)學(xué)定義（3）物理學(xué)家狄拉克給出的定義滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù)稱為 函數(shù)： 1函數(shù)用一個(gè)長度等于1的有向線段來表示,如下圖 o1如下圖o定義為滿足下列條件的函數(shù)6.3.2 函數(shù)的性質(zhì)（1）對(duì)任意的連續(xù)函數(shù),都有 （2）函

38、數(shù)為偶函數(shù),即 （3）其中, 稱為單位階躍函數(shù).反之,有 . 6.3.3 函數(shù)的傅立葉變換 由于 =可見, =1, -11= . 與常數(shù)1構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì),即與 也構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì),即6.3.4 一些常見函數(shù)的傅氏變換和一些傅氏變換對(duì) 例5 可以證明單位階躍函數(shù) 的傅氏變換為 的積分表達(dá)式為 例6 證明的傅氏變換為證明=所以例7 求正弦函數(shù)的傅氏變換 可以證明6.4 傅立葉變換的性質(zhì) 6.4.1 線性性質(zhì) =設(shè)為常數(shù)則= 6.4.2 對(duì)稱性質(zhì)若=則以為自變量的函數(shù) 的象函數(shù)為 即 6.4.3 相似性質(zhì) =若則6.4.4 平移性質(zhì)（1）象原函數(shù)的平移性質(zhì)若=為實(shí)常數(shù),則 例8 求解 因?yàn)?/p>

39、所以（2）象函數(shù)的平移性質(zhì) 若=為實(shí)常數(shù),則 例9 已知求解顯然一般地且 則6.4.5 微分性質(zhì)（1）象原函數(shù)的微分性質(zhì)若=一般地,若則例10 證明證明 因?yàn)樗砸话愕兀?）象函數(shù)的微分性質(zhì)若=則或例11 已知求解6.4.6 積分性質(zhì)若=則在這里 必須滿足傅氏積分存在定理的條件,若不滿足,則這個(gè)廣義積分應(yīng)改為 6.4.7 傅氏變換的卷積與卷積定理 1上的卷積定義 若給定兩個(gè)函數(shù),則積分 稱為函數(shù)的卷積,記為卷積滿足下列性質(zhì)例12 對(duì)函數(shù)計(jì)算卷積解所以2傅氏變換的卷積定理 =(1)若則=(2)頻譜卷積定理則若第7章 拉普拉斯變換7.1 拉普拉斯變換7.2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 7.3 拉普拉斯逆變換7.4 拉普拉斯變換的應(yīng)用在 所確定的某一域內(nèi)收斂,則由此積分所確定的函數(shù)可寫為 7.1 拉普拉斯變換7.1.1