必修四平面向量的數(shù)量積教案

1、平面向量的數(shù)量積教案 A第 1 課時教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能1 掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2 掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；3了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題；二、過程與方法本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識三、情感、態(tài)度與價值觀通過問題的解決，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的實(shí)際操作能力；培養(yǎng)學(xué)生的交流意識、合作精神；培養(yǎng)學(xué)生敘述表達(dá)自己解題思路和探索問題的能力教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算

2、律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用 .教學(xué)關(guān)鍵：平面向量數(shù)量積的定義的理解教學(xué)方法本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識學(xué)習(xí)方法通過類比物理中功的定義，來推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算教學(xué)準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備: 多媒體、尺規(guī).學(xué)生準(zhǔn)備: 練習(xí)本、尺規(guī).教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課在物理課中，我們學(xué)過功的概念，即如果一個物體在力 F 的作用下產(chǎn)生位移s ，那么力 F 所做的功 W可由下式計(jì)算：W=| F| s|cos 0 ,其中0是F與s的夾角.我們知道力和位移都是向量，而功是一個標(biāo)量（數(shù)量）故從力所做的功出發(fā)，我

3、們就順其自然地引入向量數(shù)量積的概念二、主題探究，合作交流提出問題a b的運(yùn)算結(jié)果是向量還是數(shù)量？它的名稱是什么？由所學(xué)知識可以知道，任何一種運(yùn)算都有其相應(yīng)的運(yùn)算律，數(shù)量積是一種向量的乘法運(yùn)算，它是否滿足實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算律？師生活動：已知兩個非零向量a與b,我們把數(shù)量|a| b|cos 0叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a - b,即a - b=| a| b|cos 0 （0w。w 兀）.其中0是a與b的夾角，| a|cos 0 （ | b|cos 0）叫做向量 a在b方向上（b在a方向上）的投影.在教師與學(xué)生一起探究的活動中，應(yīng)特別點(diǎn)撥引導(dǎo)學(xué)生注意:(1)兩個非零向量的數(shù)量積是個數(shù)量，而不是向

4、量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積；(2)零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即a 0=0；(3)符號 ?！痹谙蛄窟\(yùn)算中不是乘號，既不能省略，也不能用“X”代替；(4)當(dāng)0W時cos。0,從而 a b0；當(dāng)。w兀 時，cos。0,從而 a b0.與學(xué)生共同探究并證明數(shù)量積的運(yùn)算律.已知a、b、c和實(shí)數(shù)入，則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律：a b=b a (交換律)；(入a) - b=X ( a b) =a (入b)(數(shù)乘結(jié)合律)；(a+b) - c=a - c+b - c (分配律).特別是：(1)當(dāng)aw 0時，由a-b=0不能推出b 一定是零向量.這是因?yàn)槿我慌c a垂直的非零向量 b, 者

5、B有 a b=0.注意：已知實(shí)數(shù)a、b、c (bw 0),則ab=bca=c.但對向量的數(shù)量積，該推理不正確，即a -b=b -c不能推出a=c.由上圖很容易看出，雖然 a b=b c,但a*c.對于實(shí)數(shù)a、b、c有(a b) c=a (b c);但對于向量 a、b、c, (a b) c=a (b c)不成立.這是 因?yàn)?a-b) c表示一個與c共線的向量，而a (b-c)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線， 所以(a b) c=a (b c)不成立.提出問題如何理解向量的投影與數(shù)量積？它們與向量之間有什么關(guān)系？能用“投影”來解釋數(shù)量積的幾何意義嗎？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生來總結(jié)投影的概

6、念，可以結(jié)合“探究”，讓學(xué)生用平面向量的數(shù)量積的定義，從 數(shù)與形兩個角度進(jìn)行探索研究.教師給出圖形并作結(jié)論性的總結(jié)，提出注意點(diǎn)“投影”的概念，如下圖.定義：|b|cos 0叫做向量b在a方向上的投影.并引導(dǎo)學(xué)生思考 .A投影也是一個數(shù)量，不是向量；B.當(dāng)e為銳角時投影為正值；當(dāng) e為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng) e為直角時投影為0；當(dāng)e =0。時投 影為| b| ;當(dāng)e =180時投影為-I b| .教師結(jié)合學(xué)生對“投影”的理解，讓學(xué)生總結(jié)出向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a b等于a的長度與b在a方向上投影| b|cos 0的乘積.讓學(xué)生思考：這個投影值可正、可負(fù)，也可為零，所以我們說向量的數(shù)量積的結(jié)

7、果是一個實(shí)數(shù).教師 和學(xué)生共同總結(jié)兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量，0為兩向量的夾角，e是與b同向的單位向量. a=a - e=| a|cos 9 . b a - b=0.C.當(dāng) a 與 b 同向時，a b=| a| b| ；當(dāng) a 與 b 反向時，a b=-| a| b| .特別地 a - a=| a|2 或| a|= Ja ? a .|a|b|E.| a b| w 1 a| b| .上述性質(zhì)要求學(xué)生結(jié)合數(shù)量積的定義自己嘗試推證，教師給予必要的補(bǔ)充和提示，在推導(dǎo)過程中理解并 記憶這些性質(zhì).討論Z果：略.向量的數(shù)量積的幾何意義為數(shù)量積a-b等于a的長度與b在a方向上投影| b|c

8、os 0的乘積.三、拓展創(chuàng)新，應(yīng)用提高例1已知| a|=5 , | b|=4 , 2與b的夾角為120 ,求a b 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的數(shù)量積并結(jié)合兩向量的夾角來求解.解：a b=| a| b|cos 0=5X4Xcos120 =5 X 4X (2=-10 .點(diǎn)評：確定兩個向量的夾角，利用數(shù)量積的定義求解.b,例2我們知道，對任意a,bCR,恒有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2- b2.對任意向量是否也有下面類似的結(jié)論？(a+b) 2=a2+2a - b+b2;(a+b) - (a-b) =a2-b2.解：(1) (a+b) 2= (a+b) ( a+b)=

9、a - b+a b+b a+b b=a2+2a b+b2；(a+b) (a-b) =a - a-a - b+b a-b - b例 3 已知 | a|=6 , | b|=4 解：(a+2b) ( a-3b)=| a| 2-a - b-6| b|2=| a| 2-| a| b|cos 0 =62-6X4Xcos60 =-72 .=a2- b2.a 與 b 的夾角為 60，求(a+2b) ( a-3 b).-6| b|-6X4=a a-a b-6 b b例4已知|a|=3, |b|=4,且a與b不共線，當(dāng)k為何值時，向量 a+kb與a-kb互相垂直? 解：a+kb與a-kb互相垂直的條件是（a+kb

10、） （ a-kb） =0,即 a2- k2b2=0.,. a2=32=9, b2=42=16,-9-16k2=0. .k= 3 .4一一，一，也就是說，當(dāng)k= 時，a+kb與a-kb互相垂直.點(diǎn)評：本題主要考查向量的數(shù)量積性質(zhì)中垂直的充要條件.四、小結(jié).先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，數(shù)量積的定義、幾何意義，數(shù)量積的重要性質(zhì)，數(shù)量積的運(yùn) 算律.教師與學(xué)生總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法，歸納類比、定義法、數(shù)形結(jié)合等.在領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的 同時，鼓勵學(xué)生多角度、發(fā)散性地思考問題，并鼓勵學(xué)生進(jìn)行一題多解.課堂作業(yè).已知a, b, c是非零向量，則下列四個命題中正確的個數(shù)為（）| a b|=| a| b| a

11、 / ba 與 b 反向 a - b=-| a| b|a，b | a+b|=| a-b| | a|=| b| a - c|=| b c|A. 1B. 2C. 3D. 4.有下列四個命題：在ABC4若AB BC0,則 ABB銳角三角形;在 ABC中，若AB BC0,則ABE鈍角三角形;AB6直角三角形的充要條件是 AB BC =0;ABC斜三角形的充要條件是 AB BC W0.其中為真命題的是（）ASB. C.D.設(shè)|a|=8, e為單位向量，a與e的夾角為60 ,則a在e方向上的投影為（）A. 4 3 B. 4 C. 42D. 8+32.設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量，且它們相互不共線，有下

12、列四個命題：（a b）c-（c a）b=0; | a|-| b|1 B. m HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 222若 a= (cos a , sin a ), b=若a與b的夾角為鈍角，則1D. m 一2(cos B , sin B ),貝U ()m的取值范圍是()A. abB. a/bC.(a+b) ( a-b) D. (a+b) / (a-b)4.與a= (u, v)垂直的單位向量是()A.B.u二一2u2=)一2vC.,u2D.u2-，-22v2 u vv-u2-uv2,u2=)2v.已知向量 值.已知a,a= (cos23 ,cos6

13、7 ),b= (cos68 ,cos22 ) , u=a+t b (t C R),求 u 的模的最小BAC.b都是非零向量,且 a+3b與7a-5 b垂直,a-4 b與7a-2 b垂直，求a與b的夾角.已知 ABC勺三個頂點(diǎn)為參考答案：1 . C2. D3. C4. DA (1, 1), B (3, 1), C (4, 5),求 ABC勺面積.5. |a|= Ycos2 23cos2 67又 a - b=cos23=cos23 cos68 | u| 2= (a+t b),2當(dāng)1= 上時,2cos68 +cos67+sin23 sin68 cos2 23cos22 =cos45 =,2sin 2

14、3 =1,同理有 | b|=1 .c-B=a +2t a - b+t b =t + x- 2 t+1= (t+)22十12|u|、.2min=2.由已知（a+3b） ( 7a-5 b)(a+3b) - (7a-5b)=07a2+16a - b-15 b2=0.又(a-4b) ( 7a-2 b)(a-4 b)2 口 rb2-得 46a - b=23b ,即 a , b=一 2將代入，可得 7| a| 2+8| b| 2-15|，若記a與b的夾角為0 ,則cosb|又 0 0 , 180 ,0 =60 ,即 ( 7a-2 b) =07a2-30 a - b+8b2=0.|b|222=0,即 | a

15、|2=| b|2,有 | a|=| b|,a?b|agb| |bgb|a與b的夾角為1.分析：4abc=-| AB | AC |sin / BAC 而 | AB | ,2| AC |易求，要求sin /BAC可先求出cos Z解：. AB= (2, 0), AC = (3, 4),| AB |=2 , | AC |=5 ,uuu uuurABgAC 2 3 0 4 cos / BAO ujuun umr | AB | AC| 2 5S；A AB（=1| AB| AC |sin /BAG1X2X5X 4=4.225教案B第一課時教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能.了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含

16、義及其物理意義；.體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，并能 運(yùn)用性質(zhì)和運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)的判斷和運(yùn)算.二、過程與方法體會類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力.三、情感、態(tài)度與價值觀通過自主學(xué)習(xí)、主動參與、積極探究，學(xué)生能感受數(shù)學(xué)問題探究的樂趣和成功的喜悅，增加學(xué)習(xí)數(shù) 學(xué)的自信心和積極性，并養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣.教學(xué)重點(diǎn)平面向量數(shù)量積的定義，用平面向量的數(shù)量積表示向量的模、夾角. 教學(xué)難點(diǎn)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解，平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.教具多媒體、實(shí)物投影儀.內(nèi)容分析本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)

17、學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的 運(yùn)算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識.主要知識點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的3個重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律. 教學(xué)流程概念引入一概念獲得一簡單運(yùn)用一運(yùn)算律探究一理解掌握一反思提高教學(xué)設(shè)想：一、情境設(shè)置：問題1:回憶一下物理中“功”的計(jì)算，功的大小與哪些量有關(guān)？結(jié)合向量的學(xué)習(xí)你有什么想法？u uir u力做的功：W=| F |?| S|cos?, ?是5與S的夾角.（引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識功這個物理量所涉及的物理量，從“向量相乘”的角度進(jìn)行分析）二、新課講解.平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量a與b,它們的夾角是8,則數(shù)量|a

18、| b|cos?叫a與b的數(shù)量積，記 作a?b,即有a?b=|a| b|cos?, （00 80九）.并規(guī)定：0與任何向量的數(shù)量積為0.問題2：定義中涉及哪些量？它們有怎樣的關(guān)系？運(yùn)算結(jié)果還是向量嗎？（引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)清向量數(shù)量積運(yùn)算定義中既涉及向量模的大小，又涉及向量的交角，運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量）注意：兩個向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別.（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，不是向量，符號由cos?的符號所決定.（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成 a?b；今后要學(xué)到兩個向量的外積 axb,而a?b 是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分.符號 耍”在向量運(yùn)算中不是乘號，既不能 省略，也不能用“X”代

19、替.(3)在實(shí)數(shù)中，若a?0,且a?b=0,則b=0;但是在數(shù)量積中，若a?0,且a?b=0,不 能推出b=0.因?yàn)槠渲衏os?有可能為0.(4)已知實(shí)數(shù)a、b、c (b?0),則ab=bc?a=c.但是在向量白數(shù)量積中，a?b=b?c推 導(dǎo)不出a=c.如下圖:a?b=| a| | b| cos?=| b| O4, b?c=| b| c| cos?=| b| oA? a?b=b?c,但 a?c.(5)在實(shí)數(shù)中，有(a?b) c=a (b?c)，但是在向量中，(a?b) c?a (b?c) 顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.(“投影”的概念)：作圖.

20、定義：| b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)？為銳角時投影為正值；當(dāng)？為鈍角時投影為負(fù)值； 當(dāng)？為直角時投影為0;當(dāng)？=0?時投影為|b|;當(dāng)？=180?時投影為？|b|.3,向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長度與b在a方向上投影| b| cos?的乘積.例1已知平面上三點(diǎn) A、 B、C滿足| aB |=2 , | BC |=1 , | CA |= 33 ,求AB BC + BC CA+CA . AB 的值.解：由已知，| BC 12+| CA 12=| AB | 2,所以 ABC直角三角形.而且/ ACB90 ,從而 sin / AB(=上色,

21、sin / BA(=. 22 / AB060 , / BAB30 .AB與BC的夾角為120。，BC與CA的夾角為90。，CA與AB的夾角為150。故 AB BC +BC CA +CA AB=2X1Xcos120 +1X 73 cos90 + 曲 X2cos150=-4.點(diǎn)評：確定兩個向量的夾角，應(yīng)先平移向量，使它們的起點(diǎn)相同，再考察其角的大小，而不是簡單地看成兩 條線段的夾角，如例題中AB與BC的夾角是120 ,而不是60 .探究1：非零向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它何時為正，何時為 0,何時為負(fù)？當(dāng)0 0 8 90時a - b為正；當(dāng)9 =90時a - b為零；90 9 180 時 a b

22、 為負(fù).探究2:兩個向量的夾角決定了它們數(shù)量積的符號，那么它們共線或垂直時，數(shù)量積有什么特殊性呢？4.兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量.(1) a?b?a?b=0.(2)當(dāng) a 與 b 同向時，a?b=|a| b| ；當(dāng) a 與 b 反向時，a?b=?|a| b| .特別的 a?a=| a|2|a?b| |a| b| .公式變形：COS?= a bI a II b |探究3:對一種運(yùn)算自然會涉及運(yùn)算律，回憶過去研究過的運(yùn)算律，向量的數(shù)量積應(yīng)有怎樣的運(yùn)算律？(引導(dǎo)學(xué)生類比得出運(yùn)算律，老師作補(bǔ)充說明)向量a、b、c和實(shí)數(shù)入，有a?b=b?a( Xa) ?b=X (a?b) =a? (

23、 X b)( a+b) ?c=a - c+b?c(進(jìn)一步)你能證明向量數(shù)量積的運(yùn)算律嗎？(引導(dǎo)學(xué)生證明(1)、(2)例2判斷正誤：a 0=0;0 a= 0 ;0- AB = BA; I a - b I = I a I I b I ;若 a*0,則對任一非零 |3有2,bwo；a b=0,則a與b中至少有一個為 0;對任意向量 a, b , c都有(a b ) c =a ( b - c);a與b是兩個單位向量，則 a2 = b 2.上述8個命題中只有正確;例3已知|al=3, | b I = 6 ,當(dāng)a / b ,a，b ,a與b的夾角是60時，分別求a , b . 解：當(dāng)a/ b時，若a與b同

24、向，則它們的夾角6 = 0 ,.a - b = | a | | b | cosO =3X6X1= 18;若a與b反向，則它們的夾角。=180 ,.,.a b = | a | | b | cos180 =3*6x ( -1 ) = -18 ;當(dāng)a b時，它們的夾角 8 =90 ,a - b = 0 ；當(dāng)a與b的夾角是60時，有1a - b = I a | | b | cos60 =3X6X - = 9.2評述：兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是0 , 180 ,因此，當(dāng)a/ b時，有0 或1800兩種可能.評述：這一類型題，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律.三、課堂練習(xí).已知

25、| a| 二1, | b|= 2，且(a- b)與a垂直，則a與b的夾角是()A. 60 B. 30 C. 135 D. 4 5 .已知| a| =2, | b|=1 , a與b之間的夾角為那么向量 m=a-4b的模為()3A. 2B. 2VC. 6D. 12.已知a、b是非零向量，若|a|=| b|貝U ( a+b)與(a-b).已知向量 a、b 的夾角為一，| a|=2 , | b|=1 ,則 | a+b| I a-b|= .3.已知a+b=2i -8j , a- b=-8i +16j ,其中i、j是直角坐標(biāo)系中 x軸、y軸正方向上的單位向量，那 么 a , b=.已知 | a|=1 ,

26、| b|= V2 , (1)若 a/ b,求 a b; (2)若 a、b 的夾角為 45 ,求 | a+b| ; (3)若 a-b與a垂直，求a與b的夾角.參考答案：1. D 2. B 3.垂直 4.用 5.-3/6.解：(1)若a、b方向相同，則a b= J2 ;若a、b方向相反，則a b= J2 ；(2) |a+b尸卮(3) 45 .四、知識小結(jié)(1)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識？(2)關(guān)于向量的數(shù)量積，你還有什么問題？五、課后作業(yè)教材第108頁習(xí)題2. 4A組1、2、3、6、7教學(xué)后記數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)知識的形成過程和方法的教學(xué)，數(shù)學(xué)活動是以學(xué)生為主體的活動，沒有學(xué) 生積極參與

27、的課堂教學(xué)是失敗的.本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)按照“問題一一討論一一解決”的模式進(jìn)行，并以學(xué) 生為主體，教師以課堂教學(xué)的引導(dǎo)者、評價者、組織者和參與者同學(xué)生一起探索平面向量數(shù)量積定義、 性質(zhì)和運(yùn)算律的形成與發(fā)展過程.始終做到以“學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)、思維為主攻、訓(xùn)練為主線”第2課時教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能掌握平面向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用.二、過程與方法.通過平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，體會向量的代數(shù)性和幾何性.從具體應(yīng)用體會向量數(shù)量積的作用.三、情感、態(tài)度與價值觀學(xué)會對待不同問題用不同的方法分析的態(tài)度.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的綜合運(yùn)用.教具多媒

28、體、實(shí)物投影儀.教學(xué)設(shè)想一、復(fù)習(xí)引入向量的坐標(biāo)表示，為我們解決有關(guān)向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算帶來了極大的方便.上一 節(jié)，我們學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積，那么向量的坐標(biāo)表示，對平面向量的數(shù)量積的表示方 式又會帶來哪些變化呢？由此直接進(jìn)入主題.二、探究新知：.平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表小已知兩個非零向量a (X1，y1), b (X2,y2),試用a和b的坐標(biāo)表示a b .設(shè)i是x軸上的單位向量，j是y軸上的單位向量，那么a x1i y1j , b x2i y2j .所以ab (xiy1j)(x2iy? j)xzi2x1y2ij x2yi jy1y2j2.又 i i 1 , j j1 , i jj i0,所以a bx y1 y2.這就是說：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.即a b X1X2 yi y .平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式(1)設(shè) a (x, y),則 |a|2 x2 y2或|a|y2 .如果表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xyi)、(X2,y2),那么|a| J(x X2)2 (yi y2)2 (平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式).(2)向量垂直的判定設(shè) a (Xi，yi), b (X2,y2),則 a bX1X2 V1V2 0.(3)兩非零向量夾角的余弦(0)cos?= xa 21y2.|a| |b|. Xi2 yi2. X2