同濟(jì)五版補(bǔ)充

1、1例 證明矩陣 與 行向量組等價(jià)的充要條件是齊次方程組 與 同解.證 析：討論兩個(gè)向量組等價(jià)，首先想到定理2的推論，但是推論講的是兩個(gè)列向量組等價(jià)的充要條件，即矩陣 與 的向量組等價(jià)現(xiàn)在討論的是行向量組，而 與 的行向量組就是 與 的列向量組，因此矩陣 與 的行向量組等價(jià)一、例題證明2必要性： 矩陣 與 的行向量組等價(jià)，就是方程組 與 可以互推.也就是方程組 與 同解.充分性：方程組 與 同解方程組 、 與 同解它們的解集的秩相等它們系數(shù)矩陣的秩相等，即矩陣 與 的行向量組等價(jià).3說(shuō)明矩陣 與 的行向量組等價(jià)，就是方程組 與 可以互推.因此，此例可以該敘為：齊次方程組 與 可互推的充要條件是它

2、們同解.4例 設(shè) ，證明 .證記 ，則都是方程 的解設(shè) 的解集為 ，由 知，即而由定理7知，故5說(shuō)明由于當(dāng) 時(shí)，有 ，所以 的解； 的行向量都是齊次方程 的解.此例的結(jié)論：當(dāng) 時(shí)， 有 著十分廣泛的應(yīng)用.當(dāng) 時(shí)， 的列向量都是齊次方程這里 =矩陣 的列數(shù)=矩陣 的行數(shù).6例 證明證 析：此題仍然是運(yùn)用解空間的維數(shù)與系數(shù)矩陣的秩的關(guān)系證明結(jié)論的一道題目.下面證方程組 與 同解：若 滿足 ，則有 ，即設(shè) 為 矩陣， 為 維列向量.若 滿足 ，則有即從而推知由以上可知 與 同解，因此7說(shuō)明此題的結(jié)論對(duì)任意實(shí)矩陣都是成立的，但對(duì)復(fù) 矩陣結(jié)論不成立. 因?yàn)閷?duì)于復(fù)列向量 ，不能由 推出復(fù)矩陣 ，結(jié)論應(yīng)該為此題的結(jié)論是矩陣 的一個(gè)重要性質(zhì).8二、小結(jié)設(shè) 元齊次線性方程組 的解集為 ，則解集 的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組稱為齊次方程組的基礎(chǔ)解系.設(shè) ，則 ，知基礎(chǔ)解系含 個(gè)解向量.設(shè) 為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則其通解為設(shè)非齊次方程組 的一個(gè)解為 ，對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系為 ，則 的通解為9求解方程組 的“標(biāo)準(zhǔn)程序”： 用初等行變換化簡(jiǎn)增廣矩陣； 判斷方程是否有解，若有解，則將增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形； 根據(jù)增廣矩陣的行最簡(jiǎn)形求出一個(gè)特解； 根據(jù)系數(shù)矩陣的行最簡(jiǎn)形（將增