材料力學第七章課后題答案彎曲變形

1、第七章彎曲變形已知彎曲剛度刃為常數(shù)，試計算橫截面7? 2圖示外伸梁WC,承受均布載荷q作用 C的撓度與轉角，。B的支反力分別為題7-2圖解：1建？撓曲軸近似微分方程并枳分支座加與肋段（OWxiS:d%l _ 弘A - - - A1 dxf 2EIdiqaTEI(a)(b)du 2EI(c)24 EI -C*)X* + Dr(d)2確定積分常數(shù)梁 的位移邊界條件為在勺=0處，W =0連續(xù)條件為在X = a處叫=0C)在 Xi =x3 = a it, vpj =w2在可二乂 2=4處,E曲dX2由式(b)、條件(1)與(2),由條件(4)、式(a)與(c)，得由條件(3)、式(b)與d),得3計算

2、截面C的撓度與轉角將所得枳分常數(shù)值代入式(0與()得CE段的轉角與撓度方程分別為&嚴_2對+垃-6EI - 3EIw_L +理”愛- 24EI - 3EI - 14EI將X2=0代入上述二式，即得截而 C的轉角與撓度分別為O =八一(U) 3EI叱一宜)24E1A/ e(b)7-3圖示各梁，彎曲剛度刃均為常數(shù)。試根據梁的彎矩圖與約束條件畫出撓曲軸的 致形狀。3幣0 F(乙We2a C aD a題7-3圖解：族梁的彎矩圖及撓曲軸的人致形狀示如圖7-3o7? 6 圖示簡支梁，左、右端各作用一個力偶矩分別為Mi與他的力偶。如欲使撓曲軸的拐點位離左端 3處，則力偶矩Mi與衛(wèi)保持何種關系。13題7-6圖

3、解：梁的彎矩圖如圖7-6所示。依題意，拐點或M=0的截而，應在x=l/3處，即耍求 一，-13 3由此得M = 2M圖767-7在圖示懸臂梁上，載荷f盯沿梁軸移動。如欲使載荷在移動時始終保持相同的高度，則此梁應預彎成何種形狀。設彎曲剛度創(chuàng)為常數(shù)題7-7圖解：在位丁磁而x的敦荷F作用卜？，該截而的撓度為w(x) = -A-(1)3EI因此，如果將梁預彎成Fl w(x)=一 3EI的形狀，則當我荷F沿梁軸移動時，我荷始終保持同樣高度。7? 8圖示懸臂梁，彎曲剛度刃為常數(shù)。在外力作用卜，梁的撓曲軸方程為 v=ax3式中，a為已知常數(shù)。試訓梁的剪力與彎矩圖，并確定梁所承受的瑕荷。題7-8圖M = EI

4、A = 6EIaxdv2一=6Elack梁的剪力、彎矩圖如圖7-8所示。r 516卜為“ 困 H I2.外力分析在區(qū)間缶5內.由上式與剪力彎矩圖的連續(xù)性可知，在該區(qū)間內既無分布載荷，也無集中載荷由剪力、彎矩圖可知，截面占的剪力與彎矩分別為耳 B = 6EIaMB. =6EIal在梁端切取微段B B.并研究其平衡，得作用在截面B的集中力與集中力偶矩分別為F = 6EIa (I)Me = GEIal (0)7-9圖示各梁，彎曲剛度刃均為常數(shù) 的撓度。試用奇異函數(shù)法計算截面 B的轉角與截面C(ar2彳a LC aD aa(d)7-9圖(a)解：1?求支反力宙梁的平衡方程工M嚴0和先v=O,得行唱心噲

5、(I)2.建立撓曲軸近似微分方程并枳分n力向右取坐標x,由題圖可見，彎矩的通用方程為撓曲軸的通用近似微分方程為將其相繼積分兩次，得EIAAx2dx 4aElw =3?確定積分常數(shù) 梁的位移邊界條件為：aA + Cx +D將條件(c)代入式,4.建立撓曲軸方程將所得C12與Q值代入式(b),得撓曲軸的通用方程為(c)(d)在 x = 0 處.w = 0在 x = la 處，w =0D=0W =，如 X 3 -叫 X -a)2-如 xEllla 2 /由此得SC段與CB段的撓曲軸方程分別為叫尸，(坐，-如x)r Ellla 2 121 El 12a12W 一，坐坐(XT)?-仝X5.計算Wc和將x

6、 = a代入上述叫或w?的表達式中.得截面C的撓度為Wc = 0將以上所得C值和x = 2a代入式G),得截而8的轉角為AAT QJ 4Me.7-BEr 4a e 12(b)解：1?求支反力12E17由梁的平衡方程工M廠0和工母=0.得(T)4 I%=gqa(T)42.建立撓曲軸近似微分方程并積分自力向右取坐標X,由題圖盯見，彎矩的通用方程為3qax -_4 _撓曲軸的通用近似微分方程為+y-dw 3qaEL- = -h-4將其相繼積分兩次，得3?確定枳分常數(shù)(C)(d)梁的位移邊界條件為Ax=O處,w=0低=2a處，w=0將條件(c)與(d)分別代入式(b),得3qa34.建立撓曲軸方程將所

7、幺寸C與Q值代入式(b),得撓曲軸的通用方程為宙此fl AC段與段的撓曲軸方程分別為吩斗竺知磐)EI 85.計算Wc和&B將x = a代入上述叭或巧的表達式中，得截而 C的撓度為%二江 Q)c 48EZ將以上所得C值和“2我入式(a),得截而的轉角為& =J_K 笈a)2_ (2a)3+?(2a-a)A亞卜巫.(0) B ET 8 6 6 1648EZ(c)解：1.求支反力由梁的平衡方程工F嚴0和工M? = 0,得FA=F (I), Ml=AFa (U)2.建立撓曲軸近似微分方程并積分自/向右取坐標X,由題圖可見，彎矩的通用方程為M = Fx + Y( X - a) +。-2a撓曲軸的通用近似

8、微分方程為刃葺=乎一用+警x-af + F 將其相繼積分兩次，得刃包二乞-A 2 + 2ALx a)+ x 2aF + Cdx 2222EIw =乎 x, -Ax3 4- a) 2 + y(x - 2a)3 + Cx + D3?確定枳分常數(shù)該梁的位移邊界條件為：Ax=O處，w=0(c)(d)必=0處，八=0dx將條件(c)與(d)分別代入式(b)和(a),得D=0, C=0.建立撓曲軸方程將所得C與D值代入式(b),得撓曲軸的通用方程為1【Fa 2 F 3 3Fa /2 , F/ . 3】Er 464 6X 山此fj AC段、CD段和段的撓曲軸方程依次為EI 4，(竺2(兀一*(x-aF+ (

9、X-2a)3O.計算和卷將x = a代入上述W或叫的表達式中,得截面C的撓度為Fa312EI將以上所得C值和X = 3d代入式(a) ?導截面B的轉角為1 Fa F ? 3Fa F Fa 盼亍？)-尹嚴右卞苗(d)解：1?求支反力由梁的平衡方程工 M = 0和為耳=0?得=4qa,F&=罟ga (T)2.建立撓曲軸近似微分方程并積分口力向右取坐標X,由題圖盯見，彎矩的通用方程為12 6a 6a_撓曲軸的通用近似微分方程為E-=h _ x_q_x3+Q_x_a 3dx- 12 6a 6a將直相繼積分兩次，得(a)刃也=空壬-旦J+且a-ar + Cdx 2424a24a/=等金備F + C+Q(

10、b)3.確定積分常數(shù)梁的位移邊界條件為:在 x = 0 處，w =0(c)(d)將條件(C)代入式(b),得將條件(d)代入式,得c 187C= 720qa4.建立撓曲軸方程 將所得C與Q值代入式(b),得撓曲軸的通用方程為“卻等備+朗7-瞬刃由itUAC段與CB段的撓曲軸方程分別為1 Jqa 弓 q1 El 72120u187八3720 x)1 Jqa(EP 72187ga3120a720 x5 ?計算Wc和卷將x = a代入上述叫或叫的表達式中,得截面C的撓度為jA Q) 240 刃將以上所得O值和x = la代入式(a),得截面B的轉角為_gn3r7x4 161187 2030一百寸一幣

11、+幣一麗一 720E1()7-10 圖示各梁，叭1111剛度刃均為常數(shù)試用疊加法計算截而萬的轉角與戲而撓度。1/2 IQ(b)題7? 10圖(a)解：LljF產生的位移為F13(6如=(I)由產生的位移為14 I 23EI (I) 6EI圖 7-10b由圖(1)可得截面B的轉角為EI 2由圖(1)和圖(2)，應用疊加法得截面C的撓度為Fl Fl 3 Fl_3 11F13_ + - + -=-es(-)0、2，c BWq = W R + + Wc =+ + (?)C3 16EI 8E1 14EI 4SEI解:AB梁段及BC段的受力卜#況示如圖7-1 Oc( 1)和(2) ?I*-& U HYPE

12、RLINK l bookmark6 o Current Document 11 “ 1J11； 111 hl h; J b! B!c圖7-10c由圖仃)可得截面占的轉角為弘總，1如If)24EI 3EI 2 24EI由圖和圖(2)，應用疊加法得截面C的撓度為yvc=0g-a+wcA= (b 2-4a2)-八-24EI(b3-4a2b-3a3)SEI 24 ElM小、八2 = - (O), Wy =應用疊加法，得截面8的轉角及截面C的撓度分別為c c c Fl 2 M.I (O)卷=0別+ 0滬=-+B 肌 B. 16 EI 3EI3(/)F13,八九廣(b)解:AB梁段及BC梁段的受力卜#況示

13、如圖7-10b (1)和。(d)解：求色時可以書中附錄E的7號梁為某礎，以x代替G以q(r)dr代橋F,寫出萬 端截 面的微轉角式中，q(Q為截面工處的我荷集度，其值為能尸夕卜(b)將式(b)代入式(a)后兩邊枳分，即得截面B的轉角為(O)求可以教材附錄E中8兮梁為某礎，所求截面C的撓度為表中所列0的一半，即一刃昇|w =3 = (I)2 76SEI7-12 圖示外伸梁，兩端承受載荷F作用，彎曲剛度刃為常數(shù)。試問：當x/Z為何值時，梁跨度中點的撓度與門宙端的撓度數(shù)值相等;當x/Z為何值時，梁跨度中點的撓度最人。/(a)/?2丫解:題7-12圖在端點力偶爐M作用F.跨度為Q的簡支梁的中點撓度為M

14、.a2C 16EI將梁端載荷F簡化到截而刀與G遂寸簡支梁QG的受力如圖b所示，梁端各作用-附加力偶矩用。根據上述公式，簡支梁 DG中點的撓度為fc = 2 Fxl-的6ei 用(/-2X)2(al在上述二力偶矩作用F,截面D的轉角為_&(/-2x) | &(Z-2x)用(/-2x)8E13E1 -+-6EI1E1 -所以，外伸梁端點/的撓度為(0)以3EI3EI 2EI為使梁跨度中點C與梁端/I的撓度數(shù)值相等.即使C)Fx(l八2x) 2 _Fx3SEI 3 1E1 -xx=0.152Z為使梁跨度中點C的撓度最人，由式(a),并令 (-8/x+12x2)=0dSEI7-14 圖示各剛架,各截面

15、的彎曲剛度與扭轉剛度分別為 EI與Gh試用疊加法計算 自 由端形心C的水平與鉛垂位移。題7-14圖(a)解：由圖7-14a可以看出，在力偶矩加作用下，桿段應的截面乃產生水平位移心與 轉角如.直值分別為令=(亦=匣2EI 1EI )e (Fa)h = FahEl El由此得截面C的水平與鉛垂位移分別為處處饕32幕他*幕(Z)()圖 7-14(b)解：由圖7-14b可以看出，桿段肋處于彎扭受力狀態(tài)，截面方的鉛垂位移與轉角分 別為風獸3)卷看(O)由此得截而C的水平與鉛垂位移分別為0)JE+加+空丈+型+空3EI3EI 3EI GI, 3EI7-16 試用魯加法計算圖示以階梯形梁的報人撓度。設慣性

16、八/2 = 2ZI題7? 16圖(a)解：容易判斷，最人撓度發(fā)生在截面 和皿作用廠有C處(見卜？圖)。如圖7-163(1)所示，梁段在F空+空2EI EI 23牝2 _3兀22EI? 4 (O)Fa35 兀 3_ 5 皿 3B =為一6Eg 12 場 3)3E4 1EI.B c =A B +由圖(2)可得4C= ER3)/后，應用疊加法求得址人撓度為(a)泄+遁七+空雖12 場 4EZ 3EI、 2(b)解:不難判斷，最大撓度發(fā)生在中間截而G處G /),中(2)圖7-如圖7? 16b(l)所示，由？左右對稱，16bihiG的轉角必然為冬。由此盯將圖求仙的問題轉化為圖所示懸宵梁求撓度公的問題，并

17、盯利用木題G)中所得的結果，只需將式(a)q?的F更換為F/2即可。址后求得的最人撓度為j=jo=jfi=M(T尸W 7-17 圖示懸臂梁，承受均布載荷q與集中載荷/作用。材料的彈性模昴為E,試計算梁端的撓度及其方向q題 7? 17解:gZ4 _ llqlj _ 3qlJ 什8E A 8Eb(2b16Eb )llql 4 _2ql A3EIs 3E(2b)b 3 Eb4梁端的總撓度為其方向示如圖7-17，由圖可知.4 5.36圖 7-177-19 試求圖示各梁的支反力。設彎曲剛度刃為常數(shù)4-王;卜|12 I* 12 rl:qtIrIII rrj |IItII tI(b)題7? 19圖G）解：此

18、為三度靜不定問題？但仃反對稱條件盯以利用。此題以解除多余內約束較為方便。在作用面方處假想將梁切開，并在其左、右面各施加-MJ2.在切開截而僅方反對稱內力存在，示如圖 7-19ao1/2 *2 1+匚衛(wèi)21B圖 7-19a變形協(xié)調條件為截而B的撓度Z所以為零，這是由反對稱條件決定的。利用疊加法，得茁牛）（少-3（i）33EI 2將式（b）代入式（a）,于是得(b)21方向如圖所示。據此可求得Jt它支反力為M盯牛（U）4佗？呼山Me 考（ ）4（b）解：此為兩度靜不定問題。盯在梁問餃占處斛除耕余約束，得該靜不定結構的相當系 統(tǒng)如圖7? 19b所示。圖 7-19b變形協(xié)調條件為(d)物理關系為Wp =理_倫d=旨3艮Sei 3ei ?艮 3EI(e)將式(e)代入式(d),得總16曲相當系統(tǒng)的平衡條件，求得It它支反力為M嚴譽(O).皿心二譽(O)7-21 題7二0所示傳動軸，由丁 ？加工謀差，軸承C處的位置偏離軸線5試計算安裝后軸內的最人彎曲止 W力。C知軸的彈性模 W: = ZOOGPae解：此為一度靜不定問題。傳動軸的相當系統(tǒng)示如圖7-21o變形協(xié)調條件為% =3ABC0.25mm,(a)圖 7-21在多余支反力佗.作用卜？，截面C的撓度為2尸丁Wc =(b)將式(b