地理加權(quán)回歸(GWR)

1、空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)打破大多數(shù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)和計(jì)量分析中相互獨(dú)立的基本假設(shè)，主要解決如何在橫截面數(shù)據(jù)和面板數(shù)據(jù)的回歸模型中處理空間相互作用（空間自相關(guān)）和空間結(jié)構(gòu)（空間不均勻性）分析的問(wèn)題。空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)理論認(rèn)為一個(gè)地區(qū)空間單元上的某種經(jīng)濟(jì)地理現(xiàn)象或某一屬性值與鄰近地區(qū)空間單元上同一現(xiàn)象或?qū)傩灾凳窍嚓P(guān)的。也就是說(shuō)，各區(qū)域之間的數(shù)據(jù)存在與時(shí)間序列相關(guān)相對(duì)應(yīng)的空間相關(guān)?？臻g計(jì)量模型所研究的空間效應(yīng)包括空間自相關(guān)和空間差異性。空間相關(guān)性在空間回歸模型中體現(xiàn)在誤差項(xiàng)和因變量的滯后項(xiàng)，因此，空間計(jì)量的兩個(gè)模型分別是空間自回歸模型（SpatialAutoRegressiveModel,SAR）與空間誤差模型（Spati

2、alErrorModel,SEM）,空間自回歸模型研究各變量在一個(gè)地區(qū)是否有擴(kuò)散效應(yīng)，空間誤差模型考察鄰接地區(qū)關(guān)于因變量的誤差沖擊對(duì)本地區(qū)觀察值的影響。其表達(dá)式分別為：其中，Y為因變量；W為nn階的空間權(quán)重矩陣，權(quán)數(shù)系數(shù)可以根據(jù)實(shí)際情況決定,一般用鄰接矩陣；Wy為空間滯后因變量，反映了空間距離對(duì)區(qū)域行為的作用；P為空間自回歸系數(shù)，反映相鄰區(qū)域的觀測(cè)值Wy對(duì)本地區(qū)觀察值y的影響方向和程度；X為nk的外生解釋變量向量（包括常數(shù)項(xiàng)），,為變量系數(shù)，反映了自變量X對(duì)因變量Y的影響；為誤差成分；為n1的因變量向量的空間誤差系數(shù)，衡量了相鄰地區(qū)的觀察值Y對(duì)本地區(qū)觀察值Y的影響方向和程度；為正態(tài)分布的隨機(jī)誤

3、差向量。上述兩種模型的估計(jì)如果仍采用OLS，往往導(dǎo)致各種結(jié)果和推論不夠完整、科學(xué)。本文采用極大似然法估計(jì)參數(shù)。常用檢驗(yàn)準(zhǔn)則有擬合優(yōu)度R2和對(duì)數(shù)似然值LogL。擬合優(yōu)度和對(duì)數(shù)似然值越大，模型擬合效果越好,對(duì)數(shù)似然值最大的模型最好。（一）空間權(quán)重矩陣的選取空間權(quán)重矩陣w表征了空間單位之間的相互信賴性與關(guān)聯(lián)程度。實(shí)證研究中，通常采用相鄰規(guī)則與距離規(guī)則來(lái)定義空間加權(quán)矩陣。為了研究需要，本文從地理位置特征與社會(huì)經(jīng)濟(jì)特征兩個(gè)不同角度分別建立包括相鄰規(guī)則與距離規(guī)則的空間加權(quán)矩陣，以便更準(zhǔn)確地把握房?jī)r(jià)的區(qū)域相關(guān)關(guān)系。1.地理位置特征加權(quán)矩陣。本文采用兩種常用的地理位置特征矩陣體現(xiàn)房?jī)r(jià)的空間相關(guān)關(guān)系:第一種是空

4、間相鄰加權(quán)矩陣W1,其中的元素wi，j=1表示兩個(gè)地區(qū)擁有共同的邊界，wi，j=0表示兩個(gè)地區(qū)沒(méi)有共同的邊界，然后對(duì)矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。為了避免“單 個(gè)島嶼效應(yīng)”設(shè)定海南省與廣東省、廣西壯族自治區(qū)有共同邊界。第二種是空間距離加權(quán)矩陣W2,其元素wi,j=1/d2iji工j0i=j,即兩地區(qū)之間距離越遠(yuǎn)，相互之間的影響程度越小，兩地區(qū)之間的距離di,j為兩地區(qū)省會(huì)城市之間的距離丄社會(huì)經(jīng)濟(jì)特池加權(quán)拒陌匚以地理區(qū)位走異反映;I;區(qū)域厲價(jià)的空間脫系體現(xiàn)了地理位遼時(shí)術(shù)的影響.但區(qū)域仍價(jià)前空間聯(lián)換可能會(huì)受經(jīng)擠很展水平等R-他1川素的影響二M此本部分進(jìn)一歩建立空間經(jīng)濟(jì)加祝矩陣.具體為Fw=(rt/y,yjy

5、,-,y/n,其中Yi=為樣本期內(nèi)第：個(gè)省份實(shí)際人均”丁GDP的中均值=占I工匚為樣木期內(nèi)實(shí)際人i-Ir-L均GDF的恵平均值，當(dāng)W,二II,時(shí)得蠱濟(jì)相鄰加權(quán)矩陣叭，討肥=時(shí)，得經(jīng)濟(jì)距離加權(quán)矩陣通過(guò)空Id經(jīng)濟(jì)加權(quán)矩懷町以發(fā)現(xiàn)+當(dāng)一個(gè)地區(qū)實(shí)際人均GDP比較大時(shí)(即y/yr,/Y)，對(duì)其周邊地區(qū)的影響也較尢(叭J叫，)O于是進(jìn)一步用更能反映經(jīng)濟(jì)變量之間的空間依賴性的地理加權(quán)回歸(GWR)方法，以全國(guó)30個(gè)省市為例，建立模型y，(u,v)+(u,v)X+e，i，1,2,，其中(u,v)是第i個(gè)樣i0iikiiikiiik本點(diǎn)的空間坐標(biāo)；利用加權(quán)最小二乘法來(lái)估計(jì)，估計(jì)出30個(gè)省市的模型參數(shù)，并就此分析

6、了各省市之間的差異。最后比較了普通回歸與地理加權(quán)回歸的優(yōu)劣，得出了教育支出促進(jìn)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，不同地區(qū)間促進(jìn)的效果不同的結(jié)論。長(zhǎng)期以來(lái)，在主流的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論中，空間事物無(wú)關(guān)聯(lián)及均質(zhì)性假定的局限,以及普遍使用忽視空間效應(yīng)的普通最小二乘法(OLS)進(jìn)行模型估計(jì)，使得在實(shí)際應(yīng)用中往往存在模型的設(shè)定偏差問(wèn)題,進(jìn)而導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)學(xué)研究得出的各種結(jié)果和推論不夠完整、科學(xué)，缺乏應(yīng)有的解釋力。經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的線性回歸模型的經(jīng)典假定，以及回歸模型的系數(shù)B是一個(gè)常數(shù)假定，面對(duì)異常復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)和因素變量之間的交互影響，尤其是碰到橫截面數(shù)據(jù)之間存在空間自相關(guān)性和空間異質(zhì)性時(shí)，經(jīng)典計(jì)量的線性回歸模型就顯得有些力不從心，需要發(fā)展新

7、的方法來(lái)彌補(bǔ)這種不足?！?】空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)(Anselin,1988)理論認(rèn)為，一個(gè)地區(qū)空間單元上的某種經(jīng)濟(jì)地理現(xiàn)象或某一屬性值與鄰近地區(qū)空間單元上同一現(xiàn)象或?qū)傩灾凳窍嚓P(guān)的。幾乎所有的空間數(shù)據(jù)都具有空間依賴性或空間自相關(guān)性的特征，空間依賴的存在打破了大多數(shù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)和計(jì)量分析中相互獨(dú)立的基本假設(shè)。也就是說(shuō)，各區(qū)域之間的數(shù)據(jù)存在與時(shí)間序列相關(guān)、相對(duì)應(yīng)的空間相關(guān)?？臻g統(tǒng)計(jì)和空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)方法是在繼承和發(fā)展完善經(jīng)典統(tǒng)計(jì)和計(jì)量方法的基礎(chǔ)上，將經(jīng)典統(tǒng)計(jì)和計(jì)量方法應(yīng)用于與地理位置及空間交互作用相關(guān)的地理空間數(shù)據(jù)，通過(guò)地理位置與空間聯(lián)系建立的統(tǒng)計(jì)與計(jì)量關(guān)系，以統(tǒng)計(jì)和計(jì)量方法識(shí)別和度量空間變動(dòng)的規(guī)律與空間模式的決

8、定因素。(一)空間經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)介紹空間統(tǒng)計(jì)和空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論與方法繼承和發(fā)展了經(jīng)典統(tǒng)計(jì)和計(jì)量理論方法，將經(jīng)典統(tǒng)計(jì)和計(jì)量方法應(yīng)用于與地理位置及空間交互作用相關(guān)的地理空間數(shù)據(jù)，通過(guò)地理位置與空間聯(lián)系建立統(tǒng)計(jì)與計(jì)量關(guān)系，以統(tǒng)計(jì)和計(jì)量方法識(shí)別和度量空間變動(dòng)規(guī)律及空間模式的決定因素。空間經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)主要研究存在空間效應(yīng)的問(wèn)題。空間效應(yīng)主要包括空間相關(guān)和空間差異性。在研究中涉及空間相鄰、空間相鄰矩陣等概念?？臻g相關(guān)空間相關(guān)指在樣本觀測(cè)中，位于位置i的觀測(cè)與其它jHi的觀測(cè)有關(guān)，即存在空間相關(guān)的原因有兩方面：相鄰空間單元存在測(cè)量誤差，空間交互影響的存在。測(cè)量誤差是由于調(diào)查過(guò)程中，數(shù)據(jù)的采集與空間中的單位有關(guān)，

9、如數(shù)據(jù)是按盛市、縣等統(tǒng)計(jì)的，但設(shè)定的空間單位與研究問(wèn)題不一致，存在測(cè)量誤差?？臻g相關(guān)不僅意味著空間上的觀測(cè)缺乏獨(dú)立性，并且意味著潛在于這種空間相關(guān)中的空間結(jié)構(gòu)，也就是說(shuō)空間相關(guān)的強(qiáng)度及模式由絕對(duì)位置和相對(duì)位置(布局，距離)決定。空間差異性空間差異性指空間上的區(qū)域缺乏均一性，如存在中心區(qū)和郊區(qū)、先進(jìn)和后進(jìn)地區(qū)等。例如，我國(guó)沿海地區(qū)和中西部地區(qū)經(jīng)濟(jì)存在較大差別。對(duì)于空間差異性，只要將空間單元的特性考慮進(jìn)去，大多可以用經(jīng)典經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)方法解決。但當(dāng)空間差異性與空間相關(guān)共同存在時(shí)，經(jīng)典經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)方法不再適用，而且這時(shí)問(wèn)題可能變得非常復(fù)雜，因?yàn)檫@時(shí)要區(qū)分空間差異性與空間相關(guān)可能非常困難。時(shí)空數(shù)據(jù)空間模型在

10、模型中考慮時(shí)間維增加了描述的復(fù)雜性，但綜合時(shí)間空間的模型在實(shí)際工作中非常有用。在經(jīng)典的經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)模型中，這是綜合截面和時(shí)間序列數(shù)據(jù)的情形。如果數(shù)據(jù)不存在空間相關(guān)，則可以采用PanelData模型。Anselin(1988)將似不相關(guān)(SUR)模型擴(kuò)展到空間的情形，提出空間SUR模型。【2】(五)空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的空間自相關(guān)分析【5】根據(jù)空間統(tǒng)計(jì)和空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)原理方法，首先應(yīng)采用空間統(tǒng)計(jì)分析Moran指數(shù)法檢驗(yàn)因變量(被解釋變量)是否存在空間自相關(guān)性或集聚現(xiàn)象，如果存在，則需要在空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論方法支持下，建立空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型，進(jìn)行區(qū)域經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)集聚的空間計(jì)量估計(jì)和檢驗(yàn)。MoransI定義如下

11、：工W(Y-Y)(Y-Y)ijijIj=1_S2工Wiji1j1其中，S2丄,(Y-Y)，Y1,Y,ninii1i1表示第i地區(qū)的觀測(cè)值，n為地區(qū)總數(shù)，W為二進(jìn)制的鄰接空間權(quán)值矩陣，ij表示其中的任一元素，采用鄰接標(biāo)準(zhǔn)或距離標(biāo)準(zhǔn)，其目的是定義空間對(duì)象的相互鄰接關(guān)系。一般鄰接標(biāo)準(zhǔn)的為Wij廠1,當(dāng)區(qū)域i和區(qū)域相鄰；當(dāng)區(qū)域i和區(qū)域不相鄰;式中，i1,2,，n；12n或Hn。 # #MoransI可看作各地區(qū)觀測(cè)值的乘積和，其取值范圍為-1I0,存在n階非奇異對(duì)稱陣B,使得W-1，B2。令Y*，B-1Y，iiiX*，B-1X，則E(Y*)，B-1E(Y)，B-1X，X*Var(Y*)，B-1Var(

12、Y)B-1，821n于是，我們得到回歸點(diǎn)i的參數(shù)估計(jì)向量可以表示如下：(u,v)二(XW(u,v)X)，1XW(u,v)Yiiiiii其中W(u,v)是nn的加權(quán)矩陣,對(duì)角線上的每個(gè)元素都是關(guān)于觀測(cè)值所在ii位置j與回歸點(diǎn)i的位置之間距離的函數(shù)，其作用是權(quán)衡不同空間位置(j=1,2，n)的觀測(cè)值對(duì)于回歸點(diǎn)i參數(shù)估計(jì)的影響程度，而非對(duì)角元素為0.矩陣W(u,v)可以表示為如下形式：iiTOC o 1-5 h zW)iiWiiW(u,v)二i2W.丿in，W）。in記做w二diag(W,W,iiii2加權(quán)矩陣函數(shù)的選擇為了估計(jì)方程中GWR的參數(shù)，選擇一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)決定加權(quán)矩陣W是很重要的.i在空間分析

13、中，一般認(rèn)為距離回歸點(diǎn)i較近的觀測(cè)值對(duì)回歸點(diǎn)i處的參數(shù)估計(jì)影響較大，而遠(yuǎn)離回歸點(diǎn)i的觀測(cè)值的影響就較小.所以,在估計(jì)回歸點(diǎn)i的參數(shù)時(shí)，必須給予離i較近的地區(qū)更多的關(guān)注，也就是優(yōu)先考慮較近觀測(cè)值的影響.根據(jù)這一思想，可供選擇的權(quán)函數(shù)有多種形式，比如距離的倒數(shù).通常選擇Gauss函數(shù)作為權(quán)函數(shù)，其形式如下：W=exp(，d2)TOC o 1-5 h zijij這里d是回歸點(diǎn)i和位置j中心的距離，是帶寬.W是關(guān)于d的連續(xù)單ijijij調(diào)遞減函數(shù)隨d的增大而減小并且當(dāng)d=0時(shí)，W=1。ijijij距離衰減參數(shù)的確定式中的是一個(gè)描述權(quán)重與距離之間函數(shù)關(guān)系的非負(fù)距離衰減參數(shù),不同的將產(chǎn)生不同的權(quán)重W.對(duì)于

14、給定的d，如果越大,在位置j的觀測(cè)值的ijij權(quán)重就越小，反之，則在位置j的觀測(cè)值的權(quán)重就越大.另一方面，對(duì)于給定的,對(duì)離i距離越近的點(diǎn)來(lái)說(shuō)，權(quán)重逐漸趨近于1,對(duì)于那些離i距離很遠(yuǎn)的點(diǎn)來(lái)說(shuō)，權(quán)重會(huì)逐漸減小到0，從而在估計(jì)回歸點(diǎn)i的參數(shù)時(shí)能夠有效地排除那些遠(yuǎn)離i點(diǎn)位置上的觀測(cè)值，同時(shí)又保持了空間數(shù)據(jù)的連續(xù)性。從上面分析可知不同的會(huì)產(chǎn)生不同的權(quán)重矩陣W(i=1,2,n)，而且可i以選擇的不是惟一的。Brunsdon等用交叉實(shí)證方法(即Cross2Validation)來(lái)選擇一個(gè)最合適的。如果的值過(guò)大，這樣會(huì)使得除回歸點(diǎn)外其它觀測(cè)值點(diǎn)的權(quán)重接近零,從而在參數(shù)估計(jì)中失去作用，因此不宜取值太大.一般選擇

15、一個(gè)較小的，根據(jù)等式來(lái)計(jì)算加權(quán)矩陣W（i二1,2,）通過(guò)加權(quán)最小二乘方法獲i得參數(shù)的估計(jì)值。i將估計(jì)值代入地理加權(quán)回歸（GWR）模型中，我們就得到了Y的估計(jì)值Y（）ii工i(j=1,2,m)通過(guò)下式計(jì)算得到CV值：CV=工ji=1這里Y（）表示回歸點(diǎn)i的觀測(cè)值不參與估算過(guò)程得到的Y的估計(jì)值。Y（）TOC o 1-5 h zHiiHi作為Y的估計(jì)值，在迭代的過(guò)程中省略了與x有關(guān)的計(jì)算，只需要計(jì)算回歸i附iik近位置的觀測(cè)數(shù)據(jù)，而不計(jì)算它本身的觀測(cè)數(shù)據(jù)。重新選擇一個(gè)重復(fù)上述過(guò)程得到m個(gè)不同的CV值，通過(guò)CV=min（CV,CV,，CV）12m來(lái)尋找最合適的值（即CV對(duì)應(yīng)的）。（一）數(shù)據(jù)來(lái)源78為了

16、進(jìn)一步探索不同地區(qū)間教育與經(jīng)濟(jì)間的差異關(guān)系，本文還引入了30個(gè)省市省會(huì)地區(qū)相互之間的公路營(yíng)運(yùn)里程，作為衡量各省之間距離的指標(biāo)，這些數(shù)據(jù)來(lái)源于中國(guó)高速公路及各等級(jí)公路網(wǎng)地圖冊(cè)。（二）各省市地區(qū)說(shuō)明本文所涉及到得省市地區(qū)依次為：北京，天津，河北，山西，內(nèi)蒙古，遼寧，吉林，黑龍江，上海，江蘇，浙江，安徽，福建，江西，山東，河南，湖北，湖南，廣東，廣西，重慶，四川，貴州，云南，西藏，陜西，甘肅，青海，寧夏，新疆。涉及到得省會(huì)地區(qū)依次為：北京，天津，石家莊，太原，呼和浩特，沈陽(yáng)，長(zhǎng)春，哈爾濱，上海，南京，杭州，合肥，福州，南昌，濟(jì)南，鄭州，武漢，長(zhǎng)沙，廣州，南寧，重慶，成都，貴陽(yáng)，昆明，拉薩，西安，蘭州

17、，西寧，銀川，烏魯木齊。之所以沒(méi)有涉及海南省以及其省會(huì)城市海口，是因?yàn)楦艉５脑?，不好估算其公路營(yíng)運(yùn)歷程，故將其舍去。二、我國(guó)30個(gè)省市地區(qū)教育經(jīng)費(fèi)與經(jīng)濟(jì)間的一元線性分析（一）模型建立與分析之前，本文已經(jīng)對(duì)基于最小二乘法（OLS）的傳統(tǒng)線性回歸做了詳細(xì)的理論說(shuō)明，下面，本文將SAS軟件對(duì)經(jīng)過(guò)處理得到的省域人均GDP（也就是GRP）、人均教育經(jīng)費(fèi)兩項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行分析，其中省域人均GDP為因變量，人均教育經(jīng)費(fèi)為自變量。四、地理加權(quán)回歸(GWR)技術(shù)一般線性回歸模型把研究區(qū)域作為一個(gè)整體來(lái)看待,其結(jié)果是對(duì)研究區(qū)域整體趨勢(shì)的一種擬合或平均水平的一種描述,其掩蓋了許多有意義的地理、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象.而在更多的

18、情況下,我們需要了解研究區(qū)域內(nèi)部的變化情況,地理加權(quán)回歸方法是一種局域空間分析的方法,展示了研究區(qū)域內(nèi)部空間關(guān)系的變化圖景，為我們進(jìn)一步研究復(fù)雜的空間變化提供非常有意義的線索,地理加權(quán)回歸方法必將成為空間分析的重要工具之一.不過(guò)該技術(shù)方法還有些問(wèn)題需要做進(jìn)一步研究加以完善,如在整個(gè)研究區(qū)域內(nèi)權(quán)函數(shù)的距離衰減參數(shù)是固定不變的,作為局域空間分析方法該參數(shù)在不同的地區(qū)應(yīng)該是不一樣的。由表1可以看出，當(dāng)前，我國(guó)接受教育的情況還是比較低的。同時(shí)，東部地區(qū)明顯比西部地區(qū)受教育年數(shù)高，體現(xiàn)了地區(qū)間的差異性。(一)地理加權(quán)回歸模型(GWR)模型建立及分析通過(guò)上述初步分析可以看出，我國(guó)省域之間還是存在著一定差距

19、的。不能用一般線性回歸模型把其作為一個(gè)整體來(lái)看待,應(yīng)該用地理加權(quán)回歸方法為進(jìn)一步研究復(fù)雜的空間變化。關(guān)于地理加權(quán)回歸模型(GWR)模型，其理論部分參見(jiàn)第一部分空間變系數(shù)回歸模型的GWR模型。下面直接用SAS進(jìn)行編程建模，以下是建模后得到的各省域的GWR系數(shù)估計(jì)結(jié)果。表6GWR模型各省域參數(shù)估計(jì)由GWR模型得出的表格6,可以進(jìn)一步看出地區(qū)間的差異。就教育投入對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響來(lái)看，不同地區(qū)人均教育經(jīng)費(fèi)對(duì)人均GDP的作用相差很大，像最高的安徽省市，人均教育經(jīng)費(fèi)對(duì)人均GDP的作用達(dá)到了39.977127,廣西，廣東緊隨其后，人均教育經(jīng)費(fèi)對(duì)人均GDP正效應(yīng)比較大的地方還有遼寧，福建，新疆，貴州,江蘇，浙江，吉林，江西，上海。而另一方面，陜西人均教育經(jīng)費(fèi)對(duì)人均GDP的作用居然是-5.55705，意味著教育投入對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)甚至起著抑制的作用，同時(shí)，黑龍江，西藏也是緊隨其后，教育對(duì)經(jīng)濟(jì)起著負(fù)效應(yīng)。比較低的地方還有四川，山西，天津，北京，青海，甘肅，重慶，湖南，寧夏，內(nèi)蒙古。將P，P進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)