北京市2010年中考數(shù)學(xué)壓軸題另解及幾點(diǎn)啟示

1、第 PAGE 5 頁 共 NUMPAGES 5 頁北京市2010年中考數(shù)學(xué)壓軸題另解讀北京市2010年中考數(shù)學(xué)卷，偶然見到該試卷的壓軸題改變了往常以初三的二次函數(shù)和圓等知識內(nèi)容為重點(diǎn)的做法，從而設(shè)計了一道需要考生能將初二學(xué)過的三角形和四邊形及初三所學(xué)的課題學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方法等內(nèi)容融為一起，并先進(jìn)行閱讀理解，隨后再進(jìn)行探索求解的研究性學(xué)習(xí)的考題，頗有新意.筆者親手做過以后，發(fā)現(xiàn)命題者的用心是何等的良苦.思索了一下，得出了該題的另一種解法，幾番比較，稍有感言，現(xiàn)奉獻(xiàn)出來，歡迎大家指教2010年北京市中考數(shù)學(xué)壓軸題【原題】第25題:問題：已知ABC中，BAC=2ACB，點(diǎn)D是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AD=CD

2、，BD=BA 探究DBC與ABC度數(shù)的比值 請你完成下列探究過程： 先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進(jìn)行分析并加以證明 (1) 當(dāng)BAC=90時，依問題中的條件補(bǔ)全右圖 觀察圖形，AB與AC的數(shù)量關(guān)系為_； 當(dāng)推出DAC=15時，可進(jìn)一步推出DBC的度數(shù)為_；可得到DBC與ABC度數(shù)的比值為_； (2) 當(dāng)BAC90時，請你畫出圖形，研究DBC與ABC度數(shù)的比值是否與(1)中的結(jié)論相同，寫出你的猜想并加以證明【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）相等 (2) 猜想：與度數(shù)的比值與（1）中的結(jié)論相同.證明:如圖2，作， 過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連結(jié). , 四邊形是等腰梯形. , ,，.,.,.,.,.與度數(shù)的比值為.【

3、另解】延長到點(diǎn)，使得連結(jié)則，在內(nèi)作，延長交于.如圖3在上，取一點(diǎn)，使得，連結(jié)、于是，四邊形為 ,，,，為等邊三角形,.在中,.與度數(shù)的比值為.說明:此解法包含了的情形.【幾點(diǎn)啟示】一、充分利用對稱變換的數(shù)學(xué)思想方法是解好數(shù)學(xué)題常用的策略該題的第（2）問可以說是一個比較難的問題，由于已知的條件均在一個三角形中比較集中，不少同學(xué)拿到手一時覺得無法下手但是如果我們能從具體的題目跳出來，僅僅從已知線段相等到要推出角的倍數(shù)關(guān)系，顯然，它們之間不不無聯(lián)系由于等腰三角形的出現(xiàn)，抓住等腰三角形固有的軸對稱性解題，將已知條件分散是解決本題的關(guān)鍵這一點(diǎn)無論是對于標(biāo)準(zhǔn)答案，還是后來的另解，我們應(yīng)該能從中看出來不能因

4、為其突顯軸對稱性的對稱軸沒有作出來，而讓我們覺得束手無策充分運(yùn)用對稱思想解題，是學(xué)好數(shù)學(xué)不可忽視的重要策略標(biāo)準(zhǔn)答案的對稱軸為過等腰三角形的頂點(diǎn)且垂直于的直線，而另解的對稱軸則為過等腰三角形的頂點(diǎn)且垂直于的直線對于證題過程中實(shí)現(xiàn)相等線段和角的位置變換，標(biāo)準(zhǔn)答案是借助于等腰梯形、等邊三角形和全等三角形來實(shí)現(xiàn)的，而另解則是通過平行四邊形、等邊三角形和全等三角形來實(shí)現(xiàn)的二、特殊與一般的辯證關(guān)系的運(yùn)用有助于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)反復(fù)進(jìn)行從特殊到一般或由一般到特殊的嘗試，不僅有利于勾通相近知識點(diǎn)的聯(lián)系，還會讓我們產(chǎn)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)會不斷促進(jìn)大腦思維敏捷的認(rèn)同，領(lǐng)悟出如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的道道來北京市的這道壓軸題通過先總體給出問題

5、，然后分情況展示在先進(jìn)行閱讀理解，從特殊情形入手，讓考生在不斷嘗試中一步一步地得出比較淺顯的結(jié)論，從而達(dá)到不斷地加以引領(lǐng)的作用的基礎(chǔ)上；再過渡到一般性的問題，并做出放手讓考生獨(dú)立完成的舉措，充分考查考生閱讀理解、探究性學(xué)習(xí)和綜合運(yùn)用所知識的能力究竟如何？題風(fēng)很好！三、像教孩子學(xué)走路那樣，正確對待數(shù)學(xué)的命題工作可以猜測，北京市的考生中能夠做出最后一問的同學(xué)不會有很多盡管有前面的添輔，猛一下子，要他們在較短的時間內(nèi)，就能實(shí)現(xiàn)題中所需要的環(huán)境條件，可以說這是比較困難的，是要摔根頭的當(dāng)然，為了盡量地減小梯度，實(shí)現(xiàn)從已知到未知的轉(zhuǎn)變，我們并非沒有辦法不妨嘗試一下：在原題中的（1）與（2）之間增加一問：若是將直角三角形所在的整體圖形即正方形作出來，如圖4你能指出的特征來嗎？由于在正方形中，又，故 是等邊三角形增加這樣的一步后，不僅讓學(xué)生能夠看到等腰三角形的軸對稱性，還能夠讓他們對圖形的局部與整體的關(guān)系形成較好的印象當(dāng)然對后面的一問也會起到提示的作用四、學(xué)會求不是，有利于加深對已有知識和方法的理解和掌握北京市的這道壓軸題，從問題（1）到問題（2）要求考生在條件發(fā)生變化后，要能跳出特殊回到一般，看看是不是能夠得到應(yīng)有的結(jié)論，探究的味道較濃受該題的影響，筆者進(jìn)行了適當(dāng)?shù)淖粉櫍贸隽溯^為理想的結(jié)果回過頭來看一看，