概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)7 2.2 離散型隨機(jī)變量

1、離散型隨機(jī)變量1復(fù)習(xí):1隨機(jī)變量隨試驗(yàn)結(jié)果不同而取不同值的變量就稱為隨機(jī)變量.對(duì)于任一基本事件 都有一實(shí)數(shù)X與之對(duì)應(yīng),則稱X為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量用來描述隨機(jī)試驗(yàn),對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),有一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果,X就有一個(gè)數(shù)值與之對(duì)應(yīng),因此,隨機(jī)變量的取值范圍是確定的,但具體取哪一個(gè)數(shù),要由試驗(yàn)結(jié)果確定.22離散型隨機(jī)變量當(dāng)隨機(jī)變量的所有取值只有有限個(gè)或可列無窮多個(gè)時(shí),這種隨機(jī)變量就稱為離散型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量所描述的隨機(jī)試驗(yàn)其試驗(yàn)結(jié)果只有有限個(gè)或者可列無窮個(gè)如果隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果只有有限個(gè)或者可列個(gè),那么隨機(jī)試驗(yàn)的任一事件的概率都可以通過基本事件的概率來計(jì)算,因此只需求出所有基本事件的概率就可以解決所有隨機(jī)

2、事件的概率33 概率分布隨機(jī)試驗(yàn)的所有基本事件的概率就稱為概率分布設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取的值為 則稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布4例：假設(shè)有10只同種電器元件,其中有叁只廢品.裝配儀器時(shí),從這批元件中任取一只,如果是廢品,則扔掉重新任取一只,如仍是廢品,則扔掉再取一只,如此繼續(xù).試求在取到正品之前,已取出的廢品數(shù)X的概率分布,并求P(X2|X1).解:5X的概率分布為X0123P7/107/307/1201/1206二項(xiàng)分布:貝努利試驗(yàn):1各次試驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立 2每次試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)用X表示n次貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則即7例 某種燈泡的使用壽命在1000小時(shí)以上的概率為0.2，求個(gè)這種

3、燈泡使用1000小時(shí)以后最多只有1個(gè)損壞的概率。解：設(shè)X= 個(gè)燈泡中壽命在1000小時(shí)以下的個(gè)數(shù)，則所求概率為8例一份試卷有道選擇題，每道題后有4個(gè)備選答案，其中只有一個(gè)是正確答案.如果一人做題時(shí)任意選擇答案，試求(1)他至少答對(duì)4題的概率;(2)他至少答對(duì)一題的概率.解:設(shè)表示答對(duì)的題數(shù)，則93 泊松分布 符合下列特點(diǎn)的隨機(jī)變量服從泊松分布(1)小概率事件發(fā)生的次數(shù),如印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù),災(zāi)害性事件數(shù)等(2)來到某公共設(shè)施要求服務(wù)的顧客數(shù),如來到某超市的顧客數(shù);要求機(jī)場(chǎng)跑道服務(wù)的飛機(jī)數(shù)等10例 某公安局在長度為t的時(shí)間內(nèi)收到的緊急呼叫次數(shù)X服從參數(shù)為(1/2)t的泊松分布,而與時(shí)間間隔的起點(diǎn)無關(guān)

4、(時(shí)間以小時(shí)計(jì)).求(1)某天中午12時(shí)至下午3時(shí)沒有收到緊急呼叫的概率.(2)求某一天中午12時(shí)至下午5時(shí)收到一次緊急呼叫次數(shù)的概率.(3)求某天下午3時(shí)至8時(shí)收到的緊急呼叫次數(shù)3至5次的概率11解(1)t =3,X服從3/2的泊松分布,所求概率為PX=0=0.22313(2)t=5,X服從5/2的泊松分布,所求概率為PX=1=0.082085(3)t=5,X服從5/2的泊松分布,所求概率為12二項(xiàng)分布與泊松分布有如下關(guān)系:當(dāng)n很大,p很小時(shí),例 設(shè)一個(gè)紡織工人照顧800個(gè)紗綻,在時(shí)間T內(nèi)每個(gè)紗綻斷頭的概率為0.005,求在時(shí)間T內(nèi)斷頭次數(shù)不超過10的概率.解 設(shè)X表示時(shí)間T內(nèi)的斷頭數(shù),則13例 某地有2500人參加某種物品保險(xiǎn),每人在年初向保險(xiǎn)公司交付保險(xiǎn)費(fèi)12元,若在這一年里該物品損壞,則可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元.設(shè)該物品的損壞率為0.2%,求保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元的概率.解 設(shè)X表示“投保人中物品損壞件數(shù)”,則XB(2500,0.002).保險(xiǎn)公司獲利=14“保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元”15問題:現(xiàn)要求保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元的概率大于0.9,問應(yīng)收取多少保險(xiǎn)費(fèi).解:設(shè)應(yīng)交a元保險(xiǎn)費(fèi),則保險(xiǎn)公司獲利2500a-2000X,于是已知16令解得:a=14.417某