2020-2021廣州中考數(shù)學(xué) 相似 綜合題

1、 2020-2021 廣州中考數(shù)學(xué) 相似 綜合題一、相似1如圖，在平面直角坐標系中，直線 y= x+ 與 x 軸、y 軸分別交于點 B、A，與直線y= 相交于點 C動點 P 從 O 出發(fā)在 x 軸上以每秒 5 個單位長度的速度向 B 勻速運動，點Q 從 C 出發(fā)在 OC 上以每秒 4 個單位長度的速度，向 O 勻速運動，運動時間為 t 秒（0t2）（1）直接寫出點 C 坐標及 OC、BC 長；（2）連接 PQ，若 OPQ 與 OBC 相似，求 t 的值；（3）連接 CP、BQ，若 CPBQ，直接寫出點 P 坐標【答案】（1）解：對于直線 y= x+ ，令 x=0，得到 y= A（0， ），令

2、y=0，則 x=10， B（10，0），由，解得， C（，） OC=8，BC=10 （2）解：當時， OPQ OCB， t=當時， OPQ OBC， t=1，綜上所述，t 的值為 或 1s 時， OPQ 與 OBC 相似（3）解：如圖作 PHOC 于 H OC=8，BC=6，OB=10， OC+BC =OB ，222 OCB=90， 當 PCH= CBQ 時，PCBQ PHO= BCO=90， PH BC， PH=3t，OH=4t， tan PCH=tan CBQ， t= 或 0（舍棄）， t= s 時，PCBQ【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與坐標軸交點的坐標特點求出 A,B 點的坐標，解聯(lián)立

3、直線AB,與直線 OC 的解析式組成的方程組，求出 C 點的坐標，根據(jù)兩點間的距離公式即可直接算出 OC,OB 的長；（2）根據(jù)速度乘以時間表示出 OP=5t，CQ=4t，OQ=8-4t，當 OPOC=OQOB 時， OPQ OCB，根據(jù)比例式列出方程，求解得出 t 的值；當 OPOB=OQOC 時， OPQ OBC，根據(jù)比例式列出方程，求解得出 t 的值，綜上所述即可得出 t 的值；（3）如圖作 PHOC 于 H根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出 OCB=90，從而得出當 PCH= CBQ 時，PCBQ根據(jù)同位角相等二直線平行得出 PH BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出 OPOB=PHBC=OH

4、OC,根據(jù)比例式得出 PH=3t，OH=4t，根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等及正切函數(shù)的定義，由 tan PCH=tan CBQ，列出方程，求解得出 t 的值，經(jīng)檢驗即可得出答案。2如圖，在一塊長為 a(cm)，寬為 b(cm)(ab)的矩形黑板的四周，鑲上寬為 x(cm)的木板，得到一個新的矩形（1）試用含 a，b，x 的代數(shù)式表示新矩形的長和寬；（2）試判斷原矩形的長、寬與新矩形的長、寬是不是比例線段，并說明理由【答案】（1）解：由原矩形的長、寬分別為 a(cm)，b(cm)，木板寬為 x(cm)，可得新矩形的長為(a2x)cm，寬為(b2x)cm（2）解：假設(shè)兩個矩形的長與寬是成比例線段，

5、則有，由比例的基本性質(zhì)，得 ab2bxab2ax， 2(ab)x0. ab， ab0， x0，又 x0， 原矩形的長、寬與新矩形的長、寬不是比例線段【解析】【分析】（1）根據(jù)已知，觀察圖形，可得出新矩形的長和寬。 （2）假設(shè)兩個矩形的長與寬是成比例線段，列出比例式，再利用比例的性質(zhì)得出 x=0，即可判斷。3如圖，拋物線 y=x2+bx+c 與 x 軸分別交于點 A、B，與 y 軸交于點 C，且 OA=1，OB=3，頂點為 D，對稱軸交 x 軸于點 Q（1）求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的表達式；（2）點 P 是拋物線的對稱軸上一點，以點 P 為圓心的圓經(jīng)過 A、B 兩點，且與直線 CD 相切，求點 P

6、 的坐標；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點 M，使得DCM BQC？如果存在，求出點 M的坐標；如果不存在，請說明理由【答案】（1）解：代入解得，得 拋物線對應(yīng)二次函數(shù)的表達式為：（2）解：如圖，設(shè)直線 CD 切P 于點 E連結(jié) PE、PA，作點 由得對稱軸為直線 x=1， 為等腰直角三角形為等腰三角形中，設(shè)在整理，得解得， 點 P 的坐標為或（3）解：存在點 M，使得如圖，連結(jié)為等腰直角三角形，由（2）可知，分兩種情況當時，解得 當時，解得綜上，點 M 的坐標為或【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）由（1）中的解析式易求得拋物線的對稱軸為直線 x=1，頂點 D（1，4），點

7、 C（0，3），由題意可設(shè)點 P（1，m），計算易得 DCF 為等腰直角三角形， DEP 為等腰三角形，在直角三角形 PED 和 APQ 中，用勾股定理可將 PE、PA 用含 m 的代數(shù)式表示出來，根據(jù) PA=PE 可列方程求解；（3）由 DCM BQC 所得比例式分兩種情況：或，根據(jù)所得比例式即可求解。4在平面直角坐標系中，二次函數(shù)（1，0）兩點，與 y 軸交于點 C的圖象與 軸交于 A（3，0），B（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）點 P 是直線 AC 上方的拋物線上一動點，是否存在點 P，使 ACP 的面積最大？若存在，求出點 P 的坐標；若不存在，說明理由；（3）點 Q 是直線 AC

8、 上方的拋物線上一動點，過點 Q 作 QE 垂直于 軸，垂足為 E是否存在點 Q，使以點 B、Q、E 為頂點的三角形與 AOC 相似？若存在，直接寫出點 Q 的坐標；若不存在，說明理由；【答案】（1）解：由拋物線過點 A（3，0），B（1，0），則 解得 二次函數(shù)的關(guān)系解析式（2）解：連接 PO，作 PMx 軸于 M，PNy 軸于 N設(shè)點 P 坐標為（m，n），則PM =，AO=3當時，2 OC=2 10， 當時，函數(shù)有最大值此時 存在點，使 ACP 的面積最大（3）解：存在點 Q，坐標為：，分 BQE AOC， EBQ AOC， QEB AOC 三種情況討論可得出【解析】【分析】（1）由題意

9、知拋物線過點 A（3，0），B（1，0），所以用待定系數(shù)法即可求解；（2）因為三角形 ACP 是任意三角形，所以可做輔助線，連接 PO，作 PMx 軸于 M，PNy 軸于 N則三角形 ACP 的面積=三角形 APM 的面積+矩形 PMON 的面積-三角形 AOC的面積-三角形 PCN 的面積。于是可設(shè)點 P 的 橫坐標為 m，則縱坐標可用含 m 的代數(shù)式表 示出來，即 M（m, m + 2）,則三角形 ACP 的面積可用含 m 的代數(shù)式表示，整理可得是一個二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（ 3 ） 根 據(jù) 對 應(yīng) 頂 點 的 不 同 分 三 種 情 況 （ BQE AOC ， EBQ A

10、OC ， QEB AOC）討論即可求解。5在平面直角坐標系中，拋物線與 軸的兩個交點分別為 A（-3，0）、B（1，0），與 y 軸交于點 D(0，3)，過頂點 C 作 CHx 軸于點 H.（1）求拋物線的解析式和頂點 C 的坐標；（2）連結(jié) AD、CD，若點 E 為拋物線上一動點（點 E 與頂點 C 不重合），當 ADE 與 ACD 面積相等時，求點 E 的坐標；（3）若點 P 為拋物線上一動點（點 P 與頂點 C 不重合），過點 P 向 CD 所在的直線作垂線，垂足為點 Q，以 P、C、Q 為頂點的三角形與 ACH 相似時，求點 P 的坐標.【答案】 （1）解：設(shè)拋物線的解析式為 拋物線過

11、點 A(-3，0),B(1，0)，D(0，3)，解得，a=-1，b=-2，c=3，頂點 C（-1,4）； 拋物線解析式為（2）解：如圖 1， A(-3，0)，D(0，3), 直線 AD 的解析式為 y=x+3，設(shè)直線 AD 與 CH 交點為 F，則點 F 的坐標為(-1，2) CF=FH，分別過點 C、H 作 AD 的平行線，與拋物線交于點 E，由平行間距離處處相等，平行線分線段成比例可知， ADE 與 ACD 面積相等， 直線 EC 的解析式為 y=x+5，直線 EH 的解析式為 y=x+1，分別與拋物線解析式聯(lián)立，得，解得點 E 坐標為(-2，3)，；（3）解：若點 P 在對稱軸左側(cè)（如圖

12、 2），只能是 CPQ ACH，得 PCQ= CAH，分別過點 C、P 作 x 軸的平行線，過點 Q 作 y 軸的平行線，交點為 M 和 N，由 CQM QPN， 得=2， MCQ=45，設(shè) CM=m，則 MQ=m，PN=QN=2m，MN=3m， P 點坐標為(-m-1，4-3m)，將點 P 坐標代入拋物線解析式，得，解得 m=3，或 m=0(與點 C 重合，舍去) P 點坐標為(-4，-5)；若點 P 在對稱軸右側(cè)（如圖），只能是 PCQ ACH，得 PCQ= ACH，延長 CD 交 x 軸于 M， M(3，0)過點 M 作 CM 垂線，交 CP 延長線于點 F，作 FNx 軸于點 N， M

13、CH=45，CH=MH=4 MN=FN=2， F 點坐標為(5，2)， 直線 CF 的解析式為 y=，聯(lián)立拋物線解析式，得，解得點 P 坐標為(， ).， )，綜上所得，符合條件的 P 點坐標為(-4，-5)，(【解析】 【分析】（1）將 A（-3，0）、B（1，0）、D(0，3)，代入 y=ax2+bx+3 求出即可；(2)求出直線 AD 的解析式，分別過點 C、H 作 AD 的平行線，與拋物線交于點 E，利用 ADE 與 ACD 面積相等，得出直線 EC 和直線 EH 的解析式，聯(lián)立出方程組求解即可;(3)（3）分兩種情況討論：點 P 在對稱軸左側(cè)；點 P 在對稱軸右側(cè). 6如圖 1，在平

14、面直角坐標系中，已知拋物線 y=ax +bx-5 與 x 軸交于 A(-1，0)，B(5，0)兩2點，與 y 軸交與點 C.（1）求拋物線的函數(shù)表達式;（2）若點 D 是 y 軸上的點，且以 B、C、D 為頂點的三角形與ABC 相似，求點 D 的坐標;（3）如圖 2，CE/x 軸與拋物線相交于點 E，點 H 是直線 CE 下方拋物線上的動點，過點 H且與 y 軸平行的直線與 BC、CE 分別相交于點 F，G，試探求當點 H 運動到何處時，四邊形CHEF 的面積最大，求點 H 的坐標及最大面積.【答案】 （1）解：把 A(-1，0)，B(5，0)代入 y=ax +bx-5 可得2，解得二次函數(shù)的

15、解析式為 y=x -4x-5.2（2）解：如圖 1,令 x=0，則 y=5， C(0,5)， OC=OB， OBC= OCB=45， AB=6,BC=5， 要使以 B,C,D 為頂點的三角形與ABC 相似,則有或，當時，CD=AB=6， D(0,1)，當時， CD= D(0,，)，即：D 的坐標為(0,1)或(0,)；（3）解：設(shè) H(t，t2-4t-5) x 軸，又因為點 E 在拋物線上，即，解得（舍去） BC 所在直線解析式為 y=x-5,則，而 CE 是定值， 當 HF 的值最大時，四邊形 CHEF 有最大面積。當時，HF 取得最大值 ，四邊形 CHEF 的最大面積為,此時 H( ，)【

16、解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法直接確定出拋物線解析式；（2）分兩種情況，利用相似三角形的比例式即可求出點 D 的坐標；（3）先求出直線 BC 的解析式，進而求出四邊形 CHEF 的面積的函數(shù)關(guān)系式，即可求出最大值； 7如圖，在矩形 ABCD 中，AB=2cm， ADB=30P，Q 兩點分別從 A，B 同時出發(fā)，點 P沿折線 ABBC 運動，在 AB 上的速度是 2cm/s，在 BC 上的速度是 2 cm/s；點 Q 在 BD上以 2cm/s 的速度向終點 D 運動，過點 P 作 PNAD，垂足為點 N連接 PQ，以 PQ，PN為鄰邊作PQMN設(shè)運動的時間為 x（s），PQMN 與矩形 AB

17、CD 重疊部分的圖形面積為 y（cm ）2（1）當 PQAB 時，x=_；（2）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出 x 的取值范圍；（3）直線 AM 將矩形 ABCD 的面積分成 1：3 兩部分時，直接寫出 x 的值【答案】（1）（2）解：如圖 1 中，當 0 x 時，重疊部分是四邊形 PQMNy=2xx=2x 2如圖中，當 x1 時，重疊部分是四邊形 PQEN y= （2x+2txx=x +2x如圖 3 中，當 1x2 時，重疊部分是四邊形 PNEQy= （2x+2）x2（x1）=x 32x+4；綜上所述，y=（3）解：如圖 4 中，當直線 AM 經(jīng)過 BC 中點 E 時，滿足條件則有：

18、tan EAB=tan QPB，=，解得 x= 如圖 5 中，當直線 AM 經(jīng)過 CD 的中點 E 時，滿足條件 此時 tan DEA=tan QPB，=，解得 x= ，綜上所述，當 x= s 或 時，直線 AM 將矩形 ABCD 的面積分成 1：3 兩部分【解析】【解答】解：（1）當 PQAB 時，BQ=2PB， 2x=2（22x）， x= s故答案為 s【分析】（1）由題意 BQ=2x,PB=2-2x，當 PQAB 時，根據(jù)含 30直角三角形的邊之間的關(guān)系得：BQ=2PB，從而列出方程，求解即可；（2）如圖 1 中，當 0 x 時，重疊部分是四邊形 PQMN由題意知：AP=2x，BQ=2x

19、，故平行四邊形 AP 邊上的高是，根據(jù)平行四邊形的面積計算方法得出 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；如圖中，當 x1 時，重疊部分的面積等于平行四邊形 APQM 的面積減去 AEM 的面積，即可得出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式；如圖 3 中，當 1x2 時，重疊部分是四邊形 PNEQ根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，分別表示出 EQ,ME,NE 的長，根據(jù)重疊部分等于平行四邊形 NPQM 的面積減去 MNE 的面積，即可列出 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系；（3）如圖 4 中，當直線 AM 經(jīng)過 BC 中點 E 時，滿足條件根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等，即 tan EAB=tan QPB，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可

20、建立方程，求解得出 x 的值；如圖 5 中，當直線 AM 經(jīng)過 CD 的中點 E 時，滿足條件根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等，即 tan DEA=tan QPB，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可建立方程，求解得出 x 的值；綜上所述即可得出答案。 8（1）如圖 1 所示，在中，求證：（2）如圖 2 所示，點 在斜邊上，點 在直角邊上，若.在矩形(或 的延長線)于點 .若 ，求 的長；若點 恰好與點 重合，請在備用圖上畫出圖形，并求 的長.【答案】 （1）證明： 在 中，中，點 在 上，連接 ，過點 作交，.（2）解： 四邊形是矩形， ，；如圖所示，設(shè)，由得，即，整理，得：解得：，所以 的長為或.【解析】

21、【分析】（1）利用平角的定義和三角形的內(nèi)角和證明即可證得結(jié)論；（2）仿（1）題證明，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果；由得，設(shè)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得關(guān)于 x 的方程，解方程即可求得結(jié)果.9操作：和都是等邊三角形，繞著 點按順時針方向旋轉(zhuǎn)， 是、的中點，有以下三種圖形.探究：（1）在上述三個圖形中，是否一個固定的值，若是，請選擇任意一個圖形求出這個比值；（2）（3）的值是否也等于這個定值，若是，請結(jié)合圖（1）證明你的結(jié)論；有怎樣的位置關(guān)系，請你結(jié)合圖（2）或圖（3）證明你的結(jié)論.與 【答案】 （1）解：是等邊三角形，由圖（1）得 AOBC，；（2）證明：，（3）證明：在圖（3）中，由（2）

22、得， 2+ 4= 1+ 3，即 AEF = AOB AOB=90，.【解析】【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得 AOBC，BO= BC= AB，根據(jù)勾股定理計算即可求得 AO=可得 AOBC，BO，即 AOBO 是一個固定的值，由同角的余角相等可得， 可 得1；（2）由等邊三角形的性質(zhì)，由（ 1）可得， 根 據(jù) 相 似 三 角 形 的 性 質(zhì) 可 得，根據(jù)相似三角形的；（3）在圖（3）中，由（2）得性質(zhì)可得 1= 2 ，根據(jù)對頂角相等得 3= 4 ，則 2+ 4= 1+ 3= AOB=90，即.10在ABC 中， ACB90，AB25，BC15 （1）如圖 1，折疊 ABC 使點 A 落在

23、AC 邊上的點 D 處，折痕交 AC、AB 分別于 Q、H，若， 求 HQ 的長S ABC9S DHQ（2）如圖 2，折疊 ABC 使點 A 落在 BC 邊上的點 M 處，折痕交 AC、AB 分別于 E、F若FM AC，求證：四邊形 AEMF 是菱形；（3）在(1)(2)的條件下，線段 CQ 上是否存在點 P，使得 CMP 和 HQP 相似？若存在，求出 PQ 的長；若不存在，請說明理由【答案】 （1）解：如圖 1 中，在 ABC 中， ACB90，AB25，BC15， AC20，設(shè) HQx ， HQ BC ， AQ x ， S ABC9S DHQ， 20159 x x ， x5 或5（舍棄）

24、， HQ5，故答案為 5（2）解：如圖 2 中， 由翻折不變性可知：AEEM ， AFFM ， AFE MFE ， FM AC ， AEF MFE ， AEF AFE ， AEAF ， AEAFMFME ， 四邊形 AEMF 是菱形（3）解：如圖 3 中，設(shè) AEEMFMAF4m ， 則 BM3m ， FB5m ， 4m+5m25， m， AEEM EC20 CM， QG5，AQ， QC ，設(shè) PQx ， 當時， HQP MCP ，解得：x，當時， HQP PCM ，解得：x10 或，經(jīng)檢驗：x10 或 是分式方程的解，且正確，綜上所，滿足條件長 QP 的值為 或 10 或【解析】【分析】（1

25、）利用勾股定理求出 AC，設(shè) HQ=x，根據(jù) S ABC=9S DHQ ， 構(gòu)建方程即可解決問題；（2）想辦法證明四邊相等即可解決問題；（3）設(shè) AE=EM=FM=AF=4m，則BM=3m，F(xiàn)B=5m，構(gòu)建方程求出 m 的值，分兩種情形分別求解即可解決問題.11如圖 1，在 ABC 中，在 BC 邊上取一點 P，在 AC 邊上取一點 D，連 AP、PD，如果 APD 是等腰三角形且 ABP 與 CDP 相似，我們稱 APD 是 AC 邊上的“等腰鄰相似三角形”. （1）如圖 2,在 ABC 中 AB=AC, B=50， APD 是 AB 邊上的“等腰鄰相似三角形”，且AD=DP， PAC= B

26、PD，則 PAC 的度數(shù)是_；（2）如圖 3，在 ABC 中， A=2 C，在 AC 邊上至少存在一個“等腰鄰相似 APD”，請畫出一個 AC 邊上的“等腰鄰相似 APD”，并說明理由；（3）如圖 4，在 Rt ABC 中 AB=AC=2， APD 是 AB 邊上的“等腰鄰相似三角形”，請寫出AD 長度的所有可能值.【答案】 （1）30（2）解：如圖 3 中， APD 是 AC 邊上的“等腰鄰相似三角形”，理由：作 BAC 的平分線 AP 交 BC 于 P，作 PD AB 交 AC 于 D， BAP= PAD= DPA， CPD= B， DP=DA， CAB=2 C， BAP = C， APD

27、 是等腰三角形且 APB 與 CDP 相似， APD 是 AC 邊上的“等腰鄰相似三角形”（3）解：如圖 3中，當 DA=DP 時，設(shè) APD= DAP=x，若 BPD= CAP=90-x， BDP= CPA=2x， 90-x+2x+x=180， x=45， 三角形都是等腰直角三角形，易知 AD=1；若 PDB= CAP 時，設(shè) APD= DAP=x，得到 PDB= CAP=2x，易知 x=30，設(shè) AD=a，則 AP= BPD CPA，即，解得，如圖 4 中，當 PA=PD 時，易知 PDB 是鈍角， CAP 是銳角， PDB= CPA，則 BPD CPA，設(shè) AD=a，則 BD=2-a，A

28、C=2，解得 a=，如圖 5 中，當 AP=AD 時，設(shè) APD= ADP=x，則 DAP=180-2x，易知 PDB 為鈍角， CAP 為銳角， PDB= CPA=180-x， CAP=90- DAP=90-（180-2x）=2x-90，在 APC 中，2x-90+180-x+45=180，解得 x=45，不可能成立綜上所述AD 的長為 1 或或【解析】【解答】（1）解：如圖 2 中， ABAC，DADP， B C， DAP DPA， PAC BPD， APC BDP DAP DPA， APC B BAP， B PAB50， BAC180505080， PAC30故答案為 30【分析】（1）根據(jù)等邊對等角和三角形外角的性質(zhì)證明 B PAB 即可解決問題（2）如圖 3 中，作 BAC 的平分線 AP 交 BC 于 P，作 PD AB 交 AC 于 D，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線定義可得 BAP= PAD= DPA， CPD= B，結(jié)合 A=2 C 可證 APD 是等腰三角形且 APB 與 CDP 相似，即可解決問題（3）分三種情形討論：如圖 3中，當 DADP 時；如圖 4 中，當 PAPD 時；如圖 5 中，當 APAD 時；分別求解即可解決問題12拋物線 y=ax +bx+3（a0）經(jīng)過點 A（1，0），B（ ，