彈性力學(xué)及有限元

1、彈性力學(xué)與有限單元法（報告）姓名：尚建波學(xué)號： 201314010624班級：土木F1307第一題（20分）變分法中的S符號與微積分中的c/符號均表示微小變化，請問二者有何關(guān) 系？如何理解在理論上有了S則不需要有d符號。第二題（20分）設(shè)y = ）3,）不顯含X,證明：當(dāng)y = y（x）滿足固定邊界條件y（o） = A,y（b） = B時，Hy（Q = jF（），,）dx取極值的必要條件為：），罷F = C, C為常 a數(shù)。第三題（20分）以平面應(yīng)力彈性力學(xué)問題為例，寫出其8方程數(shù)學(xué)模型。并從中導(dǎo)出位移 解法數(shù)學(xué)模型以及應(yīng)力解法數(shù)學(xué)模型。第四題（20分）以平面應(yīng)力彈性力學(xué)問題為例說明最小位能原

2、理（能量法一泛函極值）對問 題的描述完全等價于第一題中的位移法描述（微分形式）。第五題（20）談一談有限單元法在工程上的使用（可結(jié)合具體實例）；說明有限單元法今 后的發(fā)展方向（理論與軟件兩個層面）（20分）。試卷要求1要求字跡工整，書寫清楚: 2絕對不允許以任何形式整體拷貝講義或他人試卷,如有雷同卷子（包括個別題的雷同），一律按不及格處理（評閱教師具有試卷雷同認(rèn)定權(quán)）；3本試卷頁作為報告的扉頁，與報告內(nèi)容采用統(tǒng)一紙張裝訂：4不符合要求的報告按不及格處理（評閱教師具有不符合要求報告的認(rèn)定權(quán)）o解答報告第一題(20分)變分法中的符號與微積分中的符號均表示微小變化，請問二者有何關(guān)系？如何理解在理 論

3、上有了則不需要有符號。解答：(1)二者的關(guān)系。d是無限小的增量，是一個微分符號，表示了一個函數(shù)的局部線性近似。對于函數(shù)，dx 反應(yīng)的是一個函數(shù)在x=x0附近的微小變化，也就是自變量的變化。d作為一個微分符號， dx必須與其他微分符號如同dy、dt成對出現(xiàn)。6是無限小的量，這個符號表示變分，所謂變分是一種假想的移動量，比如我假象 一條路徑x(t)如果x做了一個微小改變，那么記做8 x。8 (x)反應(yīng)的是對某個函數(shù)在其定義 域內(nèi)的變化，也就是如果f(x)是一個函數(shù)，f(x)+ 6 (x)也是一個函數(shù)，旦|8(x)|很小。這個涉 及泛函。泛函是函數(shù)的一種推廣，是以函數(shù)為自變量的映射J=Jy,該自變量

4、不是以函數(shù)的 值為自變量，而是以函數(shù)本身為自變量，比如一個函數(shù)在某個區(qū)間上的積分。同時，函數(shù)本 身也可以當(dāng)作特別的泛函。由于8作用于泛函類似于d作用于函數(shù)，所以6與d的運算規(guī)律大體上是類似的。(2)如何理解在理論上有了 S則不需要有d符號？d是無限小的增量，只是微分符號，表示函數(shù)的局部線性近似。6是無限小 的量，是一種假想的移動量是兩個函數(shù)的線性近似，比d更能表述函數(shù)的微小變 化，所以我個人理解有6的時候就不需要d。第二題(20分)設(shè)=y(x), F(y,y)不顯含x,證明：當(dāng)y = y(x)滿足固定b邊界條件y(o) = A,泌)=B時，Hy(Q = ()，,)，)取極值的必要條件為：a嚴(yán)-

5、F = C, C為常數(shù)。分證明:chclx 3V所以堂_牛竺=0。上工d由于4或dy dx 或=0,=產(chǎn)竺+、M之竺一、，竺=、，仁堂里 dyr么-&Vdy dy （么-勢，dy 所以 ELC。創(chuàng)，第三題（20分）以平面應(yīng)力彈性力學(xué)問題為例，寫出其8方程數(shù)學(xué)模型。并從中導(dǎo)出位移解 法數(shù)學(xué)模型以及應(yīng)力解法數(shù)學(xué)模型。平面問題中的平衡微分方程：揭示的是應(yīng)力分量與體力分量間的相互關(guān)系。 應(yīng)注意兩個微分方程中包含著三個未知函數(shù) ox、oy、t Xy= t yx ,所以， 決定應(yīng)力分量的問題是超靜定的，還必須考慮形變和位移。5x平面問題的兒何方程：揭示的是形變分量與位移分量間的相互關(guān)系。應(yīng)注意 當(dāng)物體的位

6、移分量完全確定時，形變量即完全確定。反之，當(dāng)形變分量完全確定 時，位移分量卻不能完全確定。duJ =云平面問題中的物理方程：揭示的是形變分量與應(yīng)力分量間的相互關(guān)系。應(yīng)注意平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題物理方程的轉(zhuǎn)換關(guān)系。弓=；(6以0)弓=；(r 呻；12(1 +毋) 甘+廠 EK = gF= E % 其中 2(1 + )彈性力學(xué)位移法的數(shù)學(xué)模型：以位置函數(shù)作為基本未知量，消去其他未知量，其基本過程為:Cr =2(1 + )1 r =2(1+)G xy EduSxSv duQv yxv 1代入得& = m Jdy TOC o 1-5 h z E&Svb* n+ LL仞JE(dv伽 =T1 U 】i

7、,zr動ax J% = 2(1+ 煩 +瓦將平衡方程代入上式，得:E (du 1 一勇3 1+ 八.+、+ ”+X,=。1一矛2 矛 2 dxdy) E1-ZZ2f(52v 1- u S2v 1+ 52 u IJI/+矛 2既 2 +%=。彈性力學(xué)應(yīng)力法的數(shù)學(xué)模型:以應(yīng)力函數(shù)為基本未知量,消去其他未知量，其基本過程如下:(1)幾何方程(2)將數(shù)學(xué)方程代入上式得彖 0 - ？.）+ 奴crj = 2（1 + ）離（3）平衡方程Scr 5t5av dr、+ 易+辱=0；+弓+1,=0第四題（20分）以平面應(yīng)力彈性力學(xué)問題為例說明最小位能原理（能量法一泛函極值）對問 題的描述完全等價于第一題中的位移

8、法描述（微分形式）。由于能量變分法得到 的最終結(jié)果是虛位移原理，那么上述問題就變換為證明虛位移原理同原來位移法 微分?jǐn)?shù)學(xué)模型等價。虛位移原理（最小位能原理）i 0淀 +。)危+ 7 X冏 Qdxdy =(Xvai + Yvd)dxdy + J (*& + Y)dL Q所以有:axSsxtdxdyQf (b*6u) c(Tv Sli tdxdvI* aX8t(ydxdy fScitdxdyg &qJ-f-(yx3uydxdyg；e 公式g (b*Suydxcfy= J (ax 8u tdy=f(TxSutc o s(Z2)i7Z: L = dCl/=cosa=cos/2?=cos/J=-cosZ

9、lJ , crx3ny：dxdy= f (crx3udy= (yxdLiltdL TOC o 1-5 h z GLLf ox8sxtdxdy= ? c-.Siidxdy- |* 合二 Siitdxdyj湖-j 6 &tdxdyQLL由于（1）J by Ssytdxdy= J cy3dx.dy- JCCGJ；辦辦-&tdxdy = J - ( J a,. &m tdL- jdtdxdL。切-&(2)JQ- Jz du 6v 蛔=今+1切Sr5(7d&ridxdy J Qxy-Sx )tdxdyr( eSuytdxdv rxx3u dxdv- f Txy Suidxdx-Sutdxdy(3)&td

10、xdvJ所以、+ 4 dvtdxdyj(/ax + m tx.,itdxdydL-(lr.X + wa. tdxdydL j(瓦& + Ys8vdxdy = 0jS+S 邛.L他仰bx+羽上)&也4倒 dL =| (7(7X + hi j itdLsq&料+ m、伽也 + j (l(j x + m母.B&L + | (/ ax + m J 伽誠位移的變分符合邊界條牛&c =0Su.=0Su J= 仰區(qū) + m L pirdL = oI(T;.&v + QQSc(f cySultdlJSutdxdy) + (J crv3vm tdL- J淑次功)+j T&itmdL- | = Siitdxdyr

11、 f 孩dL-已H必)-j (X0/+Y時dL = 0LQLQS eXv ditdxdy-8/ + 禮 + 、dx cy從而有:| (lax + rn殘閩也=仰+ m理ltdL +f(0 + m j.削dL + f (虹 + m utdLX TOC o 1-5 h z *如+ m Txy 徹也 + f (/ S + m 理 pftdL j (/ ryx + m er】. BHL&FLj (/crx + m ixy 際IL + j (/% + m ixy 網(wǎng)也*$fj (/ rvx + m(7,.伊如 + j (，J + m % ptdL、*于是j(C7X?X +(T.&V + 七步個成方 一

12、j(Xv6u + *次功,一 jX.dll + YydL = 0na；嚕+務(wù)小吵：邑+笙+1 ex 印 7+ mj, itdxdydLv | (l & + m務(wù)務(wù)wg小!暨-令-邛g-.X；OXv &dxcfy_ (a, cidxdydL- J (X0 + Y$&)dL = 0J(/o + 也& 一X：伽dL一 J (/豈。第五題（20）談一談有限單元法在工程上的使用（可結(jié)合具體實例）：說明有限單元法今 后的發(fā)展方向（理論與軟件兩個層面）（20分）。我對有限元法的認(rèn)識：1960年，Clough在求解平面彈性問題時，第一次提出了 “有 限單元法”的概念，從此，有限元誕生并成為一門新興的學(xué)科。有限

13、元法是一種高效能、常用的求解微分方程的計算方法。有限元法在早期是以變分原 理為基礎(chǔ)發(fā)展起來的，所以它廣泛地應(yīng)用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場 中。其基本思想是由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問題。基本原理是將連續(xù)的求解 域離散為一組單元的組合體，用在每個單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來分片的表示求解域上待求的 未知場函數(shù)，近似函數(shù)通常由未知場函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在單元各節(jié)點的數(shù)值插值函數(shù)來表達(dá)，從 而使一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。有限元法作為一種求解偏微分方程的數(shù)值計算方法。它具有通用性和實用性。有限元數(shù) 值計算方法有：位移有限單元法、應(yīng)力有限元法和雜交有限元法。最傳統(tǒng)的

14、有限元法為位移 有限單元法，以位移作為基本求解。對于一個力學(xué)問題的描述有兩種方法：（1）微元分析 法；（2）虛位移原理。彈性力學(xué)數(shù)學(xué)模型的求解問題可以等價為求解某個泛函指標(biāo)的極值 宗量問題。有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，后來隨著計算機的發(fā)展慢慢用于流體力學(xué)的數(shù) 值模擬。到目前為止，有一大批的有限元分析軟件，如ANSYS, ABAQUS等?，F(xiàn)在這些大型 有限元通用軟件己經(jīng)可以解決比較復(fù)雜的問題了。限元法在群樁基礎(chǔ)中的應(yīng)用：將有限元數(shù)值模擬分析方法應(yīng)用于群樁工作性狀的分析 上，在此基礎(chǔ)上運用ANSYS軟件對群樁進(jìn)行有限元數(shù)值模擬，采用三維建模，得到樁數(shù)、 承臺尺寸，對群樁效應(yīng)的影響；不同位置的基樁

15、的受力情況；以及樁側(cè)摩阻力的分布性狀。 通過分析結(jié)果達(dá)到改進(jìn)和提高群樁設(shè)計及施工的安全和經(jīng)濟的目的。有限元方法在基礎(chǔ)沉降計算中的應(yīng)用及工程實例：在連續(xù)介質(zhì)中，對于一般土體可以采 用非線性彈性本構(gòu)模型或彈塑性本構(gòu)模型，考慮復(fù)雜的邊界條件、土體應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的非線 性特性、土體的應(yīng)力歷史和水與骨架上應(yīng)力的耦合效應(yīng)，可以考慮土與結(jié)構(gòu)的共同作用、土 層的各向異性，還可以模擬現(xiàn)場逐級加荷，能考慮側(cè)向變形及三維滲流對沉降的影響，并能 求得任意時刻的沉降、水平位移、孔隙壓力和有效應(yīng)力的變化。從計算方法上來說，由于其 計算參數(shù)多，且需通過三軸試驗確定，程序復(fù)雜難以為一般工程設(shè)計入員接受，在實際工程 中沒有得到普

16、遍應(yīng)用，只能用于重要工程、重要地段的地基沉降的計算。有限元的發(fā)展趨勢 及方向：隨著有限元技術(shù)應(yīng)用的不斷擴大，其發(fā)展呈現(xiàn)如下特點：（1）單一場計算向多物理耦合 場問題的求解發(fā)展有限元分析技術(shù)應(yīng)用在裝備產(chǎn)品的設(shè)計制造中,主要是求解線性的結(jié)構(gòu)問題，但根據(jù)火 電、風(fēng)電、核電等裝備產(chǎn)品的極端性、復(fù)雜性、多場性特點，結(jié)構(gòu)非線性，流體動力學(xué)和耦合 場問題的應(yīng)用迫在眉睫，如汽輪機葉片、風(fēng)機槳葉的流體動力學(xué)問題、流固耦合問題,重型裝 備產(chǎn)品熱加工過程的熱、結(jié)構(gòu)、電磁多場耦合的問題。隨著有限元技木的深層次應(yīng)用，需要 解決的工程問題也越來越復(fù)雜，耦合場的計算求解必定成為有限元軟件開發(fā)的發(fā)展方向。（2）由求解線性問題

17、發(fā)展到求解非線性問題隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，線性理論巳經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足設(shè)計的要求，許多工程問題如材料的 破壞與失效、裂紋擴展等僅靠線性理論根本不能解決，必須進(jìn)行非線性分析求解，例如薄板 成形就要求同時考慮結(jié)構(gòu)的大位移、大應(yīng)變（幾何非線性）和塑性（材料非線性）；而對塑 料、橡膠、陶瓷、混凝土及巖土等材料進(jìn)行分析或需考慮材料的塑性、蠕變效應(yīng)時則必須考 慮材料非線性。為此國外一些公司花費了大量的人力和物力開發(fā)非線性求解分析軟件，如 ADINA、ABAQUS等。它們的共同特點是具有高效的非線性求解器、豐富而實用的非線性 材料庫，ADINA還同時具有隱式和顯式兩種時間積分方法。（3）與CAD/CAM等軟件的集

18、 成有限元分析軟件的一個發(fā)展趨勢是與通用計算機輔助工程軟件的集成使用，即數(shù)據(jù)信息 在整個產(chǎn)品設(shè)計制造過程中的無縫多向流通，實現(xiàn)新產(chǎn)品開發(fā)中三維設(shè)計、有限元分析優(yōu)化、 數(shù)控加工等過程的快速響應(yīng)，滿足工程師快捷地解決復(fù)雜工程問題的要求，提高設(shè)計水平和 效率。（4）提高自動化的網(wǎng)格處理能力應(yīng)用有限元技術(shù)求解問題過程中，產(chǎn)品幾何模型離散后的有限元網(wǎng)格質(zhì)量直接影響著計 算量的大小和分析結(jié)果的正確性。各軟件公司在網(wǎng)格處理方面的投入也在加大，劃分網(wǎng)格的 效率和質(zhì)量都有所提高,但在實際工業(yè)生產(chǎn)中，尤其是專業(yè)領(lǐng)域復(fù)雜產(chǎn)品的分析中還存在問 題，如網(wǎng)格劃分的自動化、網(wǎng)格質(zhì)量檢查的標(biāo)準(zhǔn)化。要想擺脫裝備產(chǎn)品分析中繁重的網(wǎng)格處