初中數(shù)學(xué)人教八年級上冊（2023年更新）第十三章 軸對稱1課題學(xué)習(xí) 最短路徑將軍飲馬問題

1、13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題(2課時(shí)) -將軍飲馬綿陽外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校 王嬋教學(xué)目標(biāo)：1、利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題 2、理解最值問題在具體題目中的運(yùn)用教學(xué)重點(diǎn)：利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題教學(xué)難點(diǎn): 尋找題目中的最短路徑模型教學(xué)過程：一復(fù)習(xí)引入【師】同學(xué)們，以前我們就學(xué)過最短路徑的理論知識，現(xiàn)在我們先來回顧復(fù)習(xí)一下涉及到的知識【師】1.如圖，連接A、B兩點(diǎn)的所有線中，哪條最短？為什么？ 【生】最短，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間，線段最短.【師】2.如圖，點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)P與該直線l上各點(diǎn)連接的所有線段中，哪條最短？為什么？ 【生】PC最短，因?yàn)榇咕€段最短.【師】3.在以前學(xué)習(xí)三角形中，有哪

2、些有關(guān)線段大小的結(jié)論？ 【生】三角形三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊；大邊對大角【師】三邊關(guān)系還可以這樣理解，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，BA+CA最短，BA+CABA+CA【師】如圖，如何做點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)？ 二新課講解（將軍飲馬問題）如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？（兩點(diǎn)一線） 實(shí)際問題lBA【師】這個(gè)題求的A到l再到B最短路徑即哪些線段和最短？ 【生】AP+BP兩條線段和最短問題1.【師】假如A、B是直線l異側(cè)兩個(gè)點(diǎn)，你能得到最短路徑P所在位置嗎？ 【生】連接AB，與l的交點(diǎn)即為P點(diǎn)【師】你運(yùn)用的是什么知識點(diǎn)解決這個(gè)問題

3、？【生】兩點(diǎn)之間，線段最短問題2.【師】如果點(diǎn)A,B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，又應(yīng)該如何解決所走路徑最短的問題？ 【生】將B對稱到B，連接AB，交l于P點(diǎn)問題3.【師】此時(shí)A、B、P三點(diǎn)共線，AB=AP+BP，你能否證明此時(shí)AP+BP為最短？證明除了P點(diǎn)以外任意的點(diǎn)C，AC+BCAP+BP。 【師】提示：此時(shí)任取一個(gè)點(diǎn)C，AC+BC=AC+CB【生】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，則AC+CBAB【師】即三點(diǎn)共線時(shí)，AB最短【師】方法總結(jié)： 動點(diǎn)P所在的直線l為對稱軸，將其中一個(gè)定點(diǎn)B對稱為B，再連接新的定點(diǎn)B和另一個(gè)定點(diǎn)A，AB與對稱軸l的交點(diǎn)即為所求動點(diǎn)P練1.ABC為等邊三角形，高AH=1

4、0，P為AH上一動點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，則PD+PB的最小值為 . 【師】請小組討論，能不能得到答案？通過交流討論，讓學(xué)生學(xué)會用用軸對稱知識解決問題，對將軍飲馬問題進(jìn)行理解，對課堂聽課效率進(jìn)行檢測，提高聽課效率【師】這個(gè)題用到了什么模型？哪些數(shù)學(xué)知識？【生】將軍飲馬模型，軸對稱，等邊三角形三線合一【師】最短路徑的證明用的是什么方法？【生】三角形三邊關(guān)系，三點(diǎn)共線時(shí)取最小值【師】將軍飲馬問題用到的“最短”知識是什么？【生】兩點(diǎn)之間，線段最短變式1.將軍帶著馬從營房出發(fā)，先去草地吃草，再去河邊喝水，最后回到營房，怎么走路徑最短？（兩線一點(diǎn)） 【師】請同學(xué)們先分析出定點(diǎn)、動點(diǎn)、對稱軸，做出你的畫法【師

5、】再請同學(xué)們小組交流談?wù)撔〗M交流能增加同學(xué)們的學(xué)習(xí)積極性，對于提高課堂效率有很大幫助變式2.將軍帶著馬從營房出發(fā)，先去草地吃草，再去河邊喝水，最后將馬牽回馬廄，怎么走路徑最短？（兩點(diǎn)兩線） 【師】請同學(xué)們先分析出定點(diǎn)、動點(diǎn)、對稱軸，做出你的畫法【師】再請同學(xué)們小組交流討論練2.（教材p93）如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，最后回到B處，請畫出最短路徑 【師】將軍飲馬問題中一點(diǎn)兩線、兩點(diǎn)一線、兩點(diǎn)兩線用到的“最短”知識是什么？【生】兩點(diǎn)之間，線段最短例2.如圖，在ABC中，ABC=30，AB=6，ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)P、Q分別是BD、AB上的動點(diǎn)，則AP+P

6、Q的最小值為 QQ 【師】這里有兩個(gè)動點(diǎn)P、Q，角平分線即為角的對稱軸，因此將直線BD看成對稱軸，Q關(guān)于直線BD對稱后一定在直線BC上，A、P、Q三點(diǎn)形成AP+PQ何時(shí)最短？【生】三點(diǎn)共線時(shí)AP+PQ最短【師】此時(shí)P、Q均為動點(diǎn)，且A、P、Q三點(diǎn)共線，A為定點(diǎn)，Q在直線BC上運(yùn)動，何時(shí)AQ最短？【生】當(dāng)AQBC時(shí)，AQ最短【師】這個(gè)題用到了什么模型？哪些數(shù)學(xué)知識？【生】軸對稱，30所對的直角邊為斜邊的一半【師】例2用到的“最短”知識是什么？【生】垂線段最短練3.BH為ABC的角平分線，點(diǎn)O為線段BH上的動點(diǎn)，點(diǎn)G為線段BC上的動點(diǎn)，BC=4，ABC=30，則OC+OG的最小值是 三課堂小結(jié)動點(diǎn)P所在的直線l為對稱軸，將其中一個(gè)定點(diǎn)B對稱為B，再連接新的定點(diǎn)B和另一個(gè)定點(diǎn)A，AB與對稱軸l的交點(diǎn)即為所求動點(diǎn)P兩點(diǎn)一線、兩線一點(diǎn)、兩點(diǎn)兩線所用的“最短”知識是“兩點(diǎn)之間，線段最短” A為定點(diǎn)，P、Q為動點(diǎn)，A、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)AP+PQ最短角平分線，一定點(diǎn)兩動點(diǎn)所用的“最短”知識是“垂線段最短”Q 隨堂檢測1.四邊形ABCO為正方形，邊長為3，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)D在OA上，P為OB上一動點(diǎn)，“求PD+PA的最小值”要用到的數(shù)學(xué)依據(jù)是（ ）A.兩點(diǎn)之間，線段最短B.軸對稱的性質(zhì)C.兩點(diǎn)之間，線段最短及軸對稱的性質(zhì)D.以上都不正確2.P、Q為AB