廈門大學(xué)線性代數(shù)2-3向量組的最大無關(guān)組與秩課件

1、1第三節(jié) 向量組的最大無關(guān)組與秩一、向量組的秩二、向量組的等價(jià)三、向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系2一、向量組的秩一個(gè)向量組所含的向量個(gè)數(shù)最多的無關(guān) 部分組有什么性質(zhì)?問題定義2.3.1 如果一個(gè)向量組的一個(gè)部分組 線性無關(guān), 并且向量組中的任意一個(gè)向量都可以由 線性表出, 則稱 為這個(gè)向量組 的一個(gè)最大線性無關(guān)向量組, 簡(jiǎn)稱最大無關(guān)組.向量組的 最大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)r稱為向量組的秩,記作 只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組, 并規(guī)定它的秩為0. 3例1設(shè)向量組 A: 1 = 1, 1, 1T ,2 =2,1, 0T , 3 =3,2,1T求A的一個(gè)最大無關(guān)組解因 1 , 2線性無關(guān) , 3 = 1

2、+ 2 1 , 2為A的一個(gè)最大無關(guān)組 1 , 3和2 , 3也都是A的最大無關(guān)組例2n維單位坐標(biāo)向量組1,2,n 是Rn的一個(gè)最大無關(guān)組 因?yàn)橄蛄拷M1,2,n 線性無關(guān)而n+1個(gè)n 維向量必然線性相關(guān),Rn的任一個(gè)向量都可由1,2,n 線性表出所以1,2,n 為Rn的一個(gè)最大無關(guān)組例7一個(gè)向量組的最大無關(guān)組與原向量組有什么關(guān)系?向量組最大無關(guān)組的四個(gè)基本問題 存在、唯一、個(gè)數(shù)、求法需要進(jìn)一步討論兩個(gè)向量組之間的關(guān)系 向量組最大無關(guān)組的幾個(gè)問題8二、向量組的等價(jià)設(shè)有兩個(gè)n維向量組A與B, 如果向量組A的每個(gè)向量可由向量組B線性表出,則稱向量組A可由向量組B線性表出,如果向量組A和向量組B可以互

3、相線性表出,則稱向量組A與向量組B是等價(jià)的,記為 向量組A 向量組B定義2.3.2從而11 向量組A,B,C之間的等價(jià)具有下列性質(zhì)(1) 自反性 A A (2) 對(duì)稱性 A B = B A(3) 傳遞性 A B, B C =A C向量組的等價(jià)關(guān)系滿足：14定理2.3.2如果n維向量組1, 2 , s可由n維向量組1,2 ,t線性表出,并且st,則向量組1, 2 , s必線性相關(guān) 如果向量組1,2 ,s 可由向量組 1,2 ,t線性表出,并且1,2 ,s線性無關(guān), 則s t 推論2.3.215兩個(gè)等價(jià)的線性無關(guān)的向量組所含向量的個(gè)數(shù)相同推論2.3.3一個(gè)向量組的任意兩個(gè)最大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)相同推論2.3.4推論2.3.5等價(jià)向量組的秩相等 推論2.3.5的逆命題不成立17向量組1,2 可由向量組1,2線性表示綜合(1)(2), 這兩個(gè)向量組等價(jià)復(fù)習(xí)三、向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系向量組 , , ， 稱為矩陣A的行向量組一個(gè)矩陣有三個(gè)“秩”： 矩陣A的秩、矩陣的行秩、矩陣的列秩22定理2.3.3行初等變換不改變矩陣的行秩與列秩241=1,2,3T, 2=-3,-2,3T3=4,7,9T, 4=5,9,12T例4 已知向量組求1,2,3,4的秩及其一個(gè)最大無關(guān)組,并將其余向量用這個(gè)最大無關(guān)組線性表出解令A(yù)=1,