動量矩定理章

1、動量矩定理章第1頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一12 1 質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩一、質(zhì)點的動量矩對點的動量矩OxzyAFBMO(F)rd力對點O之矩：OxzyLO=MO(mv)r質(zhì)點的動量對點O之矩 質(zhì)點的動量對O點的動量矩AmvBd 固定矢量指向：按右手法則確定大?。悍较颍簬缀伪硎荆?度量質(zhì)點繞某一點轉(zhuǎn)動運動強弱的運動特征量第2頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一對軸的動量矩類似于力對點之矩與力對軸之矩的關(guān)系：質(zhì)點的動量 mv 對 x 軸之矩 ：質(zhì)點的動量 mv 對 x 軸之矩 代數(shù)量。其正負由右手法則確定。動 量 矩 單位（SI）：二、質(zhì)點系的

2、動量矩對點O 的動量矩質(zhì)點系各質(zhì)點的動量對某點O 之矩的矢量和 質(zhì)點系對O 點 的 動 量 矩第3頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一對軸的動量矩質(zhì)點系各質(zhì)點的動量對某軸之矩的代數(shù)和 質(zhì)點系對某軸的動量矩三、定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩取質(zhì)點Mi :質(zhì)點Mi 對轉(zhuǎn)軸 z 的動量矩:剛體 對轉(zhuǎn)軸 z 的動量矩:記: 稱為剛體對轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動慣量 定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸z的動量矩等于其轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角速度的轉(zhuǎn)向相同。第4頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一12 2 動量矩定理一、質(zhì)點動量對固定點的動量矩定理 質(zhì)點動量對某固定點O 的矩將上式兩邊對

3、時間求導(dǎo)，有由于O點為固定點，r 為絕對運動矢徑，有另一方面由質(zhì)點的動量定理：將上述關(guān)系代入，有質(zhì)點的動量對任一固定點的矩隨時間的變化率，等于質(zhì)點所受的力對該固定點的矩。 質(zhì)點對固定點的動量矩定理第5頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一二、對固定軸的動量矩定理xyz將上式兩邊同時向坐標軸投影，有質(zhì)點的動量對任一固定軸的矩隨時間的變化率，等于質(zhì)點所受的力對該固定軸的矩。 質(zhì)點對 固定軸 的動量矩定理三、動量矩守恒定理（1）若：質(zhì)點的動量對該固定點的矩矢保持不變。第6頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一（2）若：若作用于質(zhì)點的力對某固定點（或軸）的矩恒等

4、于零，則質(zhì)點的動量對該固定點（或軸）的矩保持不變。 動量矩守恒定理有心力：力的作用線始終過某一固定點的力，該點稱為力心。有心力作用下的質(zhì)點，對力心的動量矩矢始終保持不變（大小、方向）。第7頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一試用動量矩定理導(dǎo)出單擺(數(shù)學(xué)擺)的運動微分方程。OvA例 題第8頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一 把單擺看成一個在圓弧上運動的質(zhì)點 A，設(shè)其質(zhì)量為 m，擺線長 l 。又設(shè)在任一瞬時質(zhì)點 A 具有速度 v ，擺線 OA 與鉛垂線的夾角是 。 通過懸點 O 而垂直于運動平面的固定軸 z 作為矩軸，對此軸應(yīng)用質(zhì)點的動量矩定理由于動量

5、矩和力矩分別是解：和例 題OvA第9頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一從而可得化簡即得單擺的運動微分方程例 題OvA第10頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一一、對固定點的動量矩定理二、對固定軸的動量矩定理三、動量矩守恒定理（1）若：（2）若：第11頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一質(zhì)點系的動量矩定理一、對固定點的動量矩定理質(zhì)點系：n個質(zhì)點質(zhì)點 Mi ： 外力 內(nèi)力由質(zhì)點對固定點的動量矩定理，有簡寫成：n個方程將上述方程組兩邊相加考慮到：有：（內(nèi)力系的主矩恒等于零）第12頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星

6、期一 質(zhì)點系對任一固定點的動量矩隨時間的變化率，等于質(zhì)點系所受外力對該固定點矩的矢量和（主矩）。 質(zhì)點系對固定點的動量矩定理二、對固定軸的動量矩定理將式向固定坐標軸投影，得 質(zhì)點系對任一固定軸的動量矩隨時間的變化率，等于質(zhì)點系所受外力對該固定軸矩的代數(shù)和（主矩）。 質(zhì)點系對固定軸的動量矩定理注：與動量定理類似，質(zhì)點系的內(nèi)力不影響質(zhì)點系總動量矩第13頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一三、質(zhì)點系動量矩守恒（1）若：（2）若：（各力與z軸平行或相交） 質(zhì)點系動量矩守恒定理第14頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一質(zhì)點系的動量矩對點O 的動量矩：對軸的動量

7、矩：定軸轉(zhuǎn)動剛體對軸的動量矩注意： 動量矩的轉(zhuǎn)向與角速度轉(zhuǎn)向一致質(zhì)點系的動量矩定理對點固定點O 的動量矩定理注：與動量定理類似，質(zhì)點系的內(nèi)力不影響質(zhì)點系總動量矩對固定軸的動量矩定理動量矩守恒定理守恒條件：第15頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一例：高爐上運送礦料的卷揚機。半徑為 R 的卷筒可繞水平軸O 轉(zhuǎn)動，它關(guān)于轉(zhuǎn)軸 O 的轉(zhuǎn)動慣量為 J 。沿傾角為 的斜軌被提升的重物A 質(zhì)量為m 。作用在卷筒上主動轉(zhuǎn)矩為 M 。設(shè)繩重和摩擦均可不計。試求重物的加速度。解：(1) 研究對象 卷筒與重物A 整個系統(tǒng)(2) 受力：（所有外力）(3) 分析運動，計算系統(tǒng)對軸O的動量矩： 以

8、順時針方向為正(4) 外力對軸O 的矩：s對重物A，有(5) 代入動量矩定理：方向與速度方向相同第16頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一 兩個鼓輪固連在一起，其總質(zhì)量是 m，對水平轉(zhuǎn)軸 O的轉(zhuǎn)動慣量是 JO ；鼓輪的半徑是 r1 和 r2 。繩端懸掛的重物 A和 B 質(zhì)量分別是 m1 和 m2 (圖a)，且 m1 m2。試求鼓輪的角加速度。OABr1r2(a)例 題第17頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一解: 取鼓輪，重物 A , B 和繩索為研究對象(圖b)。對鼓輪的轉(zhuǎn)軸 z (垂直于圖面，指向讀者)應(yīng)用動量矩定理，有OABr1r2(b)v1v

9、2m1gm0gm2gF0y系統(tǒng)的動量矩由三部分組成，等于考慮到 v1 = r1 ， v2 = r2 ，則得外力主矩僅由重力 m1g 和 m2g 產(chǎn)生，有例 題第18頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一將表達式 (b) 和 (c) 代入方程 (a)，即得從而求出鼓輪的角加速度方向為逆鐘向。OABr1r2(b)v1v2m1gm0gm2gF0y例 題第19頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一解：取系統(tǒng)為研究對象例 題 均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m，圓輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為JO。圓輪在重物P帶動下繞固定軸O轉(zhuǎn)動，已知重物重量為W。求：重物下落的加速度OPWvmg

10、FOxFOy應(yīng)用動量矩定理第20頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一小 結(jié)1.動量矩質(zhì)點對固定點的動量矩質(zhì)點對固定軸的動量矩質(zhì)點系對固定點的動量矩質(zhì)點系對固定軸的動量矩定軸轉(zhuǎn)動剛體注意：第21頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一2.質(zhì)點系的動量矩定理對點固定點O 的動量矩定理注：與動量定理類似，質(zhì)點系的內(nèi)力不影響質(zhì)點系總動量矩對固定軸的動量矩定理3.動量矩守恒定理守恒條件：第22頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一例 題求：此時系統(tǒng)的角速度zaallABCDozABCD解：取系統(tǒng)為研究對象mgmg系統(tǒng)對z軸的動量矩守恒受力分析：

11、第23頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一例：均質(zhì)圓盤，其繞軸O的轉(zhuǎn)動慣量為J ，可繞通過其中心的軸無摩擦地轉(zhuǎn)動，另一質(zhì)量為 m2 的人由 B 點按規(guī)律 沿距 O 軸半徑為 r 的圓周運動。初始時，圓盤與人均靜止。求圓盤的角速度與角加速度。解：圓盤與人一起 研究對象受力分析：動量矩關(guān)于 z 軸守恒計算質(zhì)點系的動量矩：初始時：任意瞬時：負號說明實際轉(zhuǎn)向與圖中相反第24頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一134 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量一、定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩 剛體各質(zhì)點的質(zhì)量與它們到轉(zhuǎn)軸 z 垂直距離的平方的乘積之和 定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸z的動量矩等于其

12、轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角速度的轉(zhuǎn)向相同。二、轉(zhuǎn)動慣量的基本概念 稱為剛體對轉(zhuǎn)軸 z 的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 Jz 的特點：Jz 0 恒正的標量影響 Jz 的因素：與轉(zhuǎn)軸 z 的位置有關(guān)；與質(zhì)量 mi 的分布有關(guān)；改變 Jz 的方法：1. 改變質(zhì)量（密度）；2. 改變質(zhì)量分布情況。Jz 的物理意義： 物體轉(zhuǎn)動運動慣性的度量Jz 的單位（SI）：第25頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一三、轉(zhuǎn)動慣量的計算1. 積分法由定義：可得 適用于質(zhì)量連續(xù)分布，幾何形狀簡單的物體。若已知密度函數(shù)：則有常見規(guī)則形狀的均質(zhì)物體，轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心 C 的 Jz 由有關(guān)工程手冊查得。第26頁，共4

13、3頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一（1）均質(zhì)細桿桿長 l 單位長度的質(zhì)量為微段的質(zhì)量：桿的總質(zhì)量：第27頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一（2）均質(zhì)圓環(huán)（3）均質(zhì)圓板取同心圓環(huán)研究：（4）圓板對 x ，y 軸的轉(zhuǎn)動慣量由于圓板對稱：第28頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一2. 組合法 代數(shù)和O桿圓盤如：xy孔1孔2短形板 適用于均質(zhì)、簡單形狀組合的物體3. 轉(zhuǎn)動慣量的工程實用計算公式 m為剛體的質(zhì)量；z 為回轉(zhuǎn)半徑。注意： z 回轉(zhuǎn)半徑。（假想將剛體的質(zhì)量全部集中離轉(zhuǎn)軸距離z 的質(zhì)點上，而此質(zhì)點對軸 z 的轉(zhuǎn)動慣量 Jz 與原剛體

14、對軸 z 的轉(zhuǎn)動慣量 Jz 相同。） 其中 m 、Jz 由計算或?qū)嶒灉y定，然后反算z 。（注意： z 并不是質(zhì)心 C 到轉(zhuǎn)軸的距離）第29頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一四、轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理OxzyCMih 設(shè) z 軸過剛體的質(zhì)心C，z與z軸平行，兩軸間的距離為 h ，由轉(zhuǎn)動慣量的定義，有 將 代入，有 mh2?由質(zhì)心坐標的計算公式，有 轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理第30頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一均質(zhì)桿，質(zhì)量 m zCreOC均質(zhì)圓盤，質(zhì)量 m 幾點說明： 軸 z 與軸z 必須平行； z 軸必須過質(zhì)心 C ； 過質(zhì)心 C 的轉(zhuǎn)動慣量最小。

15、剛體對于任意軸的轉(zhuǎn)動慣量,等于剛體對于通過質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積第31頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一lOCdm1m2例 題第32頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一133 剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程 設(shè)定軸轉(zhuǎn)動剛體作用有力：F1、F2、Fn，轉(zhuǎn)動角速度：，轉(zhuǎn)動慣量：Jz ，其繞軸的動量矩 其轉(zhuǎn)向與 相同代入動量矩定理，有 剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程（轉(zhuǎn)動定理） 剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角加速度的乘積，等于作用于剛體上的所有外力對轉(zhuǎn)軸矩的代數(shù)和。第33頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一討

16、論：（1）方程建立了與 Mz 的瞬時關(guān)系（須在任意瞬時建立方程）（2） 勻變速轉(zhuǎn)動 勻速轉(zhuǎn)動 角速度 取極值（3）則有 此時 取決于JzJz 大小 說明轉(zhuǎn)動運動狀態(tài)不易改變Jz 小大 說明轉(zhuǎn)動運動狀態(tài)容易改變 慣性大 慣性小Jz 是剛體轉(zhuǎn)動運動慣性的度量應(yīng)用：（1）已知外力矩 Mz ，求 、 、 = (t) 。（2）已知 、 、 = (t) ，求與力矩 Mz 有關(guān)的量（力、距離等）。第34頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一 如圖所示，已知滑輪半徑為R，轉(zhuǎn)動慣量為J，帶動滑輪的皮帶拉力為F1和F2。求滑輪的角加速度 。 ROF1F2例 題第35頁，共43頁，2022年，5

17、月20日，21點39分，星期一根據(jù)剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程有于是得 由上式可見，只有當定滑輪為勻速轉(zhuǎn)動（包括靜止）或雖非勻速轉(zhuǎn)動，但可忽略滑輪的轉(zhuǎn)動慣量時，跨過定滑輪的皮帶拉力才是相等的。 ROF1F2解：例 題第36頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一 飛輪對O的轉(zhuǎn)動慣量為JO，以角速度O繞水平的O軸轉(zhuǎn)動，如圖所示。制動時，閘塊給輪以正壓力FN。已知閘塊與輪之間的滑動摩擦系數(shù)為fs，輪的半徑為R，軸承的摩擦忽略不計。求制動所需的時間t。 OO例 題第37頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一 以輪為研究對象。將上式積分，并根據(jù)已知條件確定積分上下限，

18、得 由此解得 解：OOFFNFOxFOyW例 題列剛體的轉(zhuǎn)動微分方程為 （取逆時針方向為正）第38頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一例：復(fù)擺（物理擺）如圖。已知擺的重量為W，擺關(guān)于轉(zhuǎn)軸O 的轉(zhuǎn)動慣量為 JO ，懸掛點（軸）O 到質(zhì)心的距離為 a ，求：復(fù)擺作微幅擺動時的運動規(guī)律。解：運動分析：任意瞬時 OC 與x軸的夾角為（注： 以增大方向為正轉(zhuǎn)向）建立定軸轉(zhuǎn)動微分方程，并求解（1）兩邊同除以 JO ，并整理得（2）當作微幅擺動（ 很?。r，（3）其解為：（4）式中：常數(shù) A、 由初始條件確定。注意：方程兩邊正轉(zhuǎn)向規(guī)定必須一致。第39頁，共43頁，2022年，5月20日

19、，21點39分，星期一例： 高爐上運送礦料的卷揚機。均質(zhì)卷筒半徑為 R，重量為G 。沿傾角為 的斜軌被提升的重物A 重 W 。作用在卷筒上主動轉(zhuǎn)矩為 M 。斜面與重物間摩擦因素為，繩重可不計。試求重物的加速度。解：(1) 研究對象 卷筒OOM（1）Axy(2) 研究對象 重物A（2）（3）（4）(3) 運動學(xué)關(guān)系：（5）聯(lián)立求解，得第40頁，共43頁，2022年，5月20日，21點39分，星期一例：圖示系統(tǒng)。均質(zhì)圓輪 A ：質(zhì)量 m1 ，半徑 r1，以角速度繞軸A 轉(zhuǎn)動；均質(zhì)圓輪 B：質(zhì)量 m2，半徑 r2，繞軸 B 轉(zhuǎn)動，初始靜止；現(xiàn)將輪 A 放置在輪 B 上，問自A輪放在 B 輪上到兩輪間