、晶體中電子的平均速度和加速度 金屬、半導(dǎo)體和絕緣體

1、 5.8 晶體中電子運(yùn)動(dòng)的速度和加速度電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)Page 1一、準(zhǔn)經(jīng)典近似，電子的平均速度晶體中電子的能帶理論：在具有晶體的平衡對稱性的電勢能中，電子的量子力學(xué)本征態(tài)可以由布洛赫電子的調(diào)制平面波的波函數(shù)來描述，能量本征值就是能帶。為了計(jì)算晶體的電性質(zhì)，要考慮在外加的電場中的布洛赫電子的量子態(tài)這是非常困難的。原因：外加的電勢能qV(r)可能破壞了布洛赫電子的哈密頓量的晶格平衡對稱性。解決辦法：準(zhǔn)經(jīng)典近似把電子運(yùn)動(dòng)當(dāng)作經(jīng)典粒子來處理。固體中的電子對外加電磁場的響應(yīng)有如一質(zhì)量為有效質(zhì)量的經(jīng)典自由電子。Page 21、電子平均速度由量子力學(xué)，電子的速度算符為由于晶體哈密頓算符中的勢場項(xiàng)與動(dòng)量算符

2、p不對易 波函數(shù)并非是速度算符的本征函數(shù)表明處于 狀態(tài)的電子沒有確定的速度，只能計(jì)算其平均速度Page 3 將算符作用到薛定諤方程的兩端，分別得到： 將梯度算符作用到布洛赫函數(shù)：Page 4 上式兩邊相等，得到 上式整理得方程左邊方程右邊H中不顯含k 上式乘以并對晶體積分，積分結(jié)果等式右邊為零：根據(jù)算符的厄米性質(zhì)厄米算符的定義：Page 6所以等式左邊也為零：與（1）式比較，得到電子的平均速度：Page 72、能量和速度的關(guān)系由（5）式，可知，電子的平均速度公與能量和狀態(tài)（k）有關(guān)，由于速度是波矢的奇函數(shù)：在能帶的底部和頂部，斜率dE/dk=0，所以在帶頂和帶底電子的速度為零。Page 8這種

3、情況和自由粒子速度總是隨能量增加而單調(diào)增加是顯然不同的。在能帶中處，速度的數(shù)值最大，如圖拐點(diǎn)C。CPage 9因能量與波矢由色散關(guān)系相聯(lián)系，能量E變化意味著電子波矢k改變，故二、電子在外場作用下的加速度，有效質(zhì)量當(dāng)對一維電子施加外場時(shí)，電子受到外場力的作用。單位時(shí)間內(nèi)外力所作的功等于電子能量的改變量：K的變化率正比于電子所受的外力，并有相同的方向，具有牛頓第二定律的形式。但f是外力。Page 10令（8）式化為上式表明在外力作用下，晶體中的電子猶如一個(gè)質(zhì)量為的自由粒子的運(yùn)動(dòng)次準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)。為有效質(zhì)量。因此稱Page 11在三維情況下，晶體中電子的有效質(zhì)量是二階張量，其分量為由于有效質(zhì)量是張量，所

4、以電子的加速度一般與外力方向不一致。這是因?yàn)槌送饬ψ饔猛猓娮舆€受到晶格周期場的作用，這個(gè)作用由有效質(zhì)量所概括。 有效質(zhì)量取決于電子的狀態(tài)，因?yàn)椴煌臓顟B(tài)能帶的曲率不同。一般而言，對于寬能帶，E（k）隨k的變化較大，有效質(zhì)量小，而對于窄能帶，有較質(zhì)量較大。緊束縛觀點(diǎn)：原子外層電子波函數(shù)交疊較多，能帶較寬，有較質(zhì)量較小，而內(nèi)層電子波函數(shù)交疊甚少，能帶較窄，有較質(zhì)量較大，定域性更強(qiáng)一些。Page 12以簡立方為例，計(jì)算緊束縛近似下電子的有效質(zhì)量：緊束縛近似下，簡立方的s態(tài)電子的能量為：其它交叉項(xiàng)的倒數(shù)全為零。在能帶底處：Page 13在能帶頂處：在能帶：上面討論表明：在帶底及帶頂, m*=常數(shù),

5、 與自由粒子在實(shí)空間中的運(yùn)動(dòng)相似. 隨著E的增大（見第一布里淵區(qū)的約化能帶圖）, 能帶展寬越大, 也越大, m* 就越小. 此時(shí)電子越容易加速, 共有化運(yùn)動(dòng)的特征越明顯。晶體中電子的有效質(zhì)量不同于自由電子的質(zhì)量，是因?yàn)橛?jì)入了周期場的影響，而這種影響主要通過布拉格反射的形式在電子和晶格之間交換動(dòng)量：有效質(zhì)量大于零的情況，電子從外力場獲得的動(dòng)量多于電子交給晶格的動(dòng)量有效質(zhì)量小于零的情況，電子從外場中得到的動(dòng)量比它交給晶格的動(dòng)量少。有效質(zhì)量趨于無窮時(shí)，電子從外場中獲得的能量全部交給晶格，這時(shí)，電子的平均加速度這零。 5.11 金屬、半導(dǎo)體和絕緣體Page 15 一、滿帶不導(dǎo)電首先討論沒有外加電場的情

6、形。考慮一維布拉菲格子中與原子1s能級相對應(yīng)的能帶。能帶理論的一大貢獻(xiàn)即成功地解釋了固體為何會(huì)具有極不相同的導(dǎo)電本領(lǐng)，有的表現(xiàn)為導(dǎo)體，有的表現(xiàn)為絕緣體和半導(dǎo)體。 單位體積晶體中，其中一個(gè)波矢為的電子對電流密度的貢獻(xiàn)為能帶中所有電子對電流的貢獻(xiàn)為零。Page 16波矢為kx和-kx的電子對電流的貢獻(xiàn)成對抵消這是因?yàn)橐蚨傠娏鳛榱恪age 17現(xiàn)在設(shè)加上指向左方的外電場則每個(gè)電子均受到一電場力，使其波矢在經(jīng)歷t時(shí)間后的增加量可計(jì)算如下：有外加電場的情形Page 18于是所有電子均右移使電子在k空間的分布如右圖。満帶不導(dǎo)電的解釋：能量具有倒格子的周期性，圖中位于/a右方 k范圍內(nèi)的狀態(tài)（現(xiàn)在是被電

7、子占有的狀態(tài)），完全等價(jià)于 /a左方k范圍內(nèi)的狀態(tài)（現(xiàn)在是空態(tài)），因此兩圖的電子分布是完全等價(jià)的。Page 19一個(gè)電子的代表點(diǎn)越過位于/a 的布里淵區(qū)的邊界相當(dāng)于又從位于 /a 的邊界進(jìn)入同一布里淵區(qū)。有電場后，満帶中電子的狀態(tài)隨時(shí)發(fā)生變化，但整體上的分布始終沒有變化，仍保持對稱分布。所有電子對電流的貢獻(xiàn)依然與無外電場時(shí)一樣地成對相消，即當(dāng)有外電場時(shí)，満帶也不導(dǎo)電。Page 20二、不滿能帶無外場時(shí)，不滿能帶電子的分布是對稱的，總電流為零，當(dāng)施加外電場經(jīng)時(shí)間t后波矢變化k ，破壞了電子在倒空間的對稱分布，電子速度不再能全部成對抵消，如圖。因而能產(chǎn)生電流。即不滿的帶能導(dǎo)電。Page 21（a）

8、無外電場（b）有外電場 不滿帶電子在k空間的分布Page 22三、價(jià)帶填充程度決定導(dǎo)電性導(dǎo)體、絕緣體與半導(dǎo)體原子結(jié)合成晶體后，原子的能級轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的能帶。由于原子內(nèi)層電子能級是充滿的，所以相應(yīng)內(nèi)層能帶也是滿帶，是不導(dǎo)電的。晶體是否導(dǎo)電取決于與價(jià)電子能級對應(yīng)的價(jià)帶是否被電子充滿。如果價(jià)帶是滿帶，這種晶體就是絕緣體或半導(dǎo)體，否則就是導(dǎo)體。由于每個(gè)能帶可容納2N個(gè)電子，N是晶體原胞數(shù)目，因此：價(jià)帶是否被電子填満取決于每個(gè)原胞所含的價(jià)電子數(shù)目，以及能帶是否交疊。Page 23對Li,Na,K等堿金屬, 每原子含一個(gè)價(jià)電子、體心立方布拉菲晶格、每個(gè)原胞只有一個(gè)價(jià)電子，整個(gè)晶體中的價(jià)電子只能填満半個(gè)價(jià)帶，

9、它們是導(dǎo)體；例如：對于Na金屬：每個(gè)原子11個(gè)電子，電子組態(tài)為：N個(gè)原子組成晶體時(shí)，3s能級過渡成能帶，能帶中有N個(gè)狀態(tài)，可以容納2N個(gè)電子。但鈉只有N個(gè)3s電子，因此能帶是半満的，在電場作用下，可以產(chǎn)生電流。Page 24 Ba、Mg、Zn等二價(jià)元素，雖然每個(gè)原胞有偶數(shù)個(gè)電子, 由于晶體結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，各方向上帶寬不等的能帶產(chǎn)生重迭, 形成一個(gè)更寬的能帶，它可包含幾個(gè)布里淵區(qū)，因而可填充比2N更多的電子，結(jié)果使能帶不完全充滿，因而也是導(dǎo)體。例如，金屬M(fèi)g：孤立原子有2個(gè)3s電子，晶體中的3s能帶可容納2N個(gè)電子，能帶應(yīng)該是満的，按照上述原則，鎂應(yīng)該是絕緣體。但實(shí)驗(yàn)指出，鎂及其它堿土族晶體都是金屬

10、，為什么？這是由于它的3s能帶和較高的能帶有交迭的現(xiàn)象。實(shí)際上，價(jià)電子并未填滿3s能帶，有一部分電子占有了能量較高的帶，因此，仍有電子在不滿的帶，使晶體具有金屬的性質(zhì)。Page 25對C, Si, Ge等, 半導(dǎo)體。具有FCC點(diǎn)陣的復(fù)式晶格，價(jià)電子的組態(tài)是一個(gè)ns和三個(gè)np態(tài)，每個(gè)初基元胞中有兩個(gè)原子，八個(gè)價(jià)電子。電子態(tài)之間有強(qiáng)烈的交迭，產(chǎn)生為禁帶隔開的二個(gè)能帶每個(gè)帶有4N個(gè)能級。從能帶結(jié)構(gòu)和電子填充情況看，半導(dǎo)體和絕緣體相似。半導(dǎo)體禁帶較窄，熱激發(fā)使満帶和空帶都成為導(dǎo)帶。熱激發(fā)的電子數(shù)目隨溫度按指數(shù)規(guī)律變化。Page 26Page 27四、空穴對于半導(dǎo)體，由于熱激發(fā)，使得満帶頂部的電子躍遷到

11、空帶，使原來的満帶和空帶都成為導(dǎo)帶。為了描述這種近満帶的導(dǎo)電功能，人們引入“空穴”的概念。半導(dǎo)體的近満帶中未被電子占據(jù)的量子態(tài)稱為空穴。若近満帶中某k態(tài)未被電子占據(jù)，在有電場時(shí)會(huì)有電流產(chǎn)生空穴導(dǎo)電設(shè)此電流為當(dāng)有電子再填満這個(gè)k態(tài)時(shí)，此帶恢復(fù)成満帶，總電流變?yōu)榱鉖age 28即上式說明，空穴對電流的貢獻(xiàn)如同速度為而帶正電的電荷對導(dǎo)電的貢獻(xiàn)。満帶頂電子的平均加速度因?yàn)榱顒t平均速度外電場Page 29也是空穴的加速度，所以說明：由于正電荷e的粒子。空穴等價(jià)于一個(gè)具有正質(zhì)量Page 30能帶理論的主要結(jié)論：Page 31Page 32能帶理論的主要成就：Page 33能帶理論的局限性：Page 34能

12、帶理論的局限性：Page 35能帶理論的局限性：Page 36能帶理論的局限性：Page 37空穴（hole）與空位（vacancy）的區(qū)別空穴空位k(狀態(tài))空間的一種狀態(tài)空缺, 是存在這一空缺的整個(gè)能帶的描述, 同其它電子一樣, 在真實(shí)空間的位置不確定真實(shí)空間中格點(diǎn)(原子實(shí))的空缺在k空間的運(yùn)動(dòng)方向與其它電子相同（K空間的狀態(tài)變化）在真實(shí)空間以跳躍的方式運(yùn)動(dòng), (實(shí)際上是其它原子實(shí)的跳躍運(yùn)動(dòng), 而非其它原子實(shí)或晶格的總體運(yùn)動(dòng))總帶正電荷不總帶正電荷(可正可負(fù))Page 38例1：晶格常數(shù)為a的一維晶體中，電子的波函數(shù)為f是某一函數(shù)，求電子在以上狀態(tài)中的波矢。解：由此得（1）根據(jù)布洛赫定理，在

13、一維周期勢場中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)滿足于是Page 39因此得若只取布里淵區(qū)內(nèi)的值，即則有令得因此所以有在布里淵區(qū)內(nèi)的值為Page 40Page 41Page 42Page 43Page 44Page 45Page 46Page 47Page 48Page 49Page 50Page 51Page 52Page 53Page 54Page 55當(dāng)布拉格反射條件，受到晶格的全反射。反射波與入射波的干涉形成駐波（相加或相減構(gòu)成兩個(gè)不同的駐波）。時(shí)，波長正好滿足Page 56本章要點(diǎn)1、能帶理論的基本近似和結(jié)論能帶理論的基本近似：能帶理論是建立在單電子近似和周期場假定基礎(chǔ)是的晶體電子理論。能帶理論的普

14、遍結(jié)論：（1）布洛赫定理晶體電子的波函數(shù)具有形式，k是描述電子狀態(tài)的量子數(shù)，稱為電子波矢。（2）能帶晶體電子的能量只能取某些與k有關(guān)的允許值E（k），這些能帶允許值形成一個(gè)個(gè)能量準(zhǔn)連續(xù)區(qū)能帶En(k)。Page 57本章要點(diǎn)不同的的量子數(shù)n代表不同的能帶，不同能帶之間存在著能隙。（3）布洛赫波和能帶的性質(zhì)即能量在k空間具有對稱性，能量和波函數(shù)都是k的周期函數(shù)，在倒格空間具有倒子的周期性，即相差一個(gè)倒格矢的兩個(gè)狀態(tài)是等價(jià)的狀態(tài)。（4）波矢k的數(shù)目在周期性邊界條件下，引入布里淵區(qū)的概念，k的取值個(gè)數(shù)與構(gòu)成晶體的原胞數(shù)目N相同。Page 58本章要點(diǎn)2、能帶理論的近似方法近自由電子近似：以自由電子波函數(shù)作為零級近似，把晶格周期勢看作微擾。此模型適用于處理電子共有化程度較高的金屬。近自由電子近似能譜及能隙：周期勢的付里葉展開系數(shù)的兩倍。Page 59本章要點(diǎn) 緊束縛近似 此模型適合處理內(nèi)層電子* 孤立原子互相靠攏分裂的能級展寬形成能帶*